课件37张PPT。2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时 一元二次不等式的解法教材知识探究1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
2.①已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.②已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象.问题 1.观察实例1中的不等式，指出其含未知数个数及未知数的次数？
2.观察实例2，①中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，②中三个函数与x轴交点横坐标分别为1，3；2；无交点.由图象观察可知在②中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？提示 设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，解此不等式，最终得每本杂志的价格范围.
1.只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2.
2.对于y1＝x2－4x＋3，当x<1或x>3时，y1＝x2－4x＋3>0，当1
0；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5>0.1.一元二次不等式的概念当二次项系数不确定时要注意对二次项系数进行讨论2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据{x|xx2}R{x|x1[微判断]
1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.( )
提示 当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.( )
提示 x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )××√[微训练]
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ②④一定是一元二次不等式.
答案 B2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案 {x|x>3或x<－2}
3.不等式x2<2的解集是________.[微思考]
1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
提示 可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.2.一元二次不等式有哪些形式？提示 任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：
(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).3.一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？提示 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.题型一 解不含参数的一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2) (2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).①先将系数化为正；②先对不等式变形，化为一端为零且二次项系数大于零的形式.解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
(1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.【训练1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.③(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为解含参数的一元二次不等式题型二 【例2】 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；当0a2，所以不等式的解集为{x|xa}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，有aa2}.规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤【训练2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；题型三 三个“二次”之间的关系
【例3】 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解得a＝－6，c＝－1.(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，规律方法 应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.【训练3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.一、素养落地
1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养.
(2)借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.
(3)通过会解一元二次不等式培养数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.3.三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.二、素养训练
1.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7 A.1 B.2
C.3 D.4解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根且a>0，答案 C2.不等式x2－3x－10<0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2 答案 {x|－2 解析 x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
答案 {k|k≥4或k≤2}5.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时 一元二次不等式的解法
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
教材知识探究
1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
2.①已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.②已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象.
问题 1.观察实例1中的不等式，指出其含未知数个数及未知数的次数？
2.观察实例2，①中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，②中三个函数与x轴交点横坐标分别为1，3；2；无交点.由图象观察可知在②中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？
提示 设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，解此不等式，最终得每本杂志的价格范围.
1.只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2.
2.对于y1＝x2－4x＋3，当x<1或x>3时，y1＝x2－4x＋3>0，当10；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5>0.
1.一元二次不等式的概念 当二次项系数不确定时要注意对二次项系数进行讨论
一元二次不等式
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
解集
ax2＋bx＋c>0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c<0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
,教材拓展补遗
[微判断]
1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)
提示 当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)
提示 x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)
[微训练]
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ②④一定是一元二次不等式.
答案 B
2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案 {x|x>3或x<－2}
3.不等式x2<2的解集是________.
答案 {x|－[微思考]
1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
提示 可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.
2.一元二次不等式有哪些形式？
提示 任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：
(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).
3.一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
提示 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
题型一 解不含参数的一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
①先将系数化为正；②先对不等式变形，化为一端为零且二次项系数大于零的形式.
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}.
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
(1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.
【训练1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
解 (1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
题型二 解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a2，所以不等式的解集为{x|xa}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，有aa2}.
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
【训练2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}.
题型三 三个“二次”之间的关系
【例3】 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
与为原不等式对应方程的两根，用根与系数的关系式求解
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，且a<0，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
规律方法 应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
【训练3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}.
一、素养落地
1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养.
(2)借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.
(3)通过会解一元二次不等式培养数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.
二、素养训练
1.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根且a>0，
∴－7×(－1)＝，故a＝3.
答案 C
2.不等式x2－3x－10<0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为
{x|－2答案 {x|－23.一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是________.
解析 由题意知∴∴a<－1.
答案 {a|a<－1}
4.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________.
解析 x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
答案 {k|k≥4或k≤2}
5.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a基础达标
一、选择题
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C.? D.
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
答案 D
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于( )
A.{1，2，3} B.{1，2}
C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
解析 (2x＋1)(x－3)<0，
∴－又x∈N*且x≤5，则x＝1，2.
答案 B
3.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81
C.－64 D.64
解析 不等式x2x2－ax－b<0，其解集是{x|1解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
答案 B
4.若使有意义的x取值为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A.{a|－22}
C.{a|a≤－2或a≥2} D.{a|－2≤a≤2}
解析 由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，
即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
答案 D
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2答案 B
二、填空题
6.不等式－x2＋5x>6的解集是________.
解析 不等式－x2＋5x>6变形为x2－5x＋6<0，
因式分解为(x－2)(x－3)<0，解得2∴不等式－x2＋5x>6的解集为{x|2答案 {x|27.不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}其中a≠－1，则a的取值范围为________.
解析 x(x－a＋1)>a?(x＋1)(x－a)>0.
∵解集是{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.
答案 {a|a>－1}
8.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________.
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}.
答案 {m|m<0}
三、解答题
9.求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0；
(3)x2－4x－5≤0; (4)－4x2＋18x－≥0.
解 (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
(4)原不等式可化为≤0，
所以原不等式的解集为.
10.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.
(1)求A∩B.
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.
解 (1)由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3∴B＝{x|－1(2)由已知得解得
∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1.
∴原不等式的解集为{x|x<－3或x>1.}
能力提升
11.已知函数y＝x2－2x＋a，y<0的解集为{x|－1(1)求a，t的值；
(2)c为何值时，(c＋a)x2＋2(c＋a)x－1<0的解集为R.
解 (1)∵x2－2x＋a<0的解集为{x|－1∴－1＋t＝2，－1×t＝a，解得t＝3，a＝－3.
(2)由(1)可知a＝－3，代入得
(c－3)x2＋2(c－3)x－1<0，∵其解集为R，
∴或c＝3，解得2故c的取值范围为{c|212.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)·(x－2)>0，
对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为
.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，
x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.
综上，a<0时，原不等式的解集为；
a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
0a>1时，原不等式的解集为.
课件37张PPT。第二课时 一元二次不等式的应用教材知识探究汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问题 如何判断甲、乙两车是否超速？
提示 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2 000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.1.简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”2.一元二次不等式恒成立问题3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.提示 分式不等式中的分母不等于1，解集为{x|x>1或x≤0}.提示 注意先将x的系数化为正再解不等式.√××解析 原不等式等价于解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0∴A∩B＝{x|0答案 {x|0 解析 设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0 ∴售价b所在的范围应为90 答案 90(2)不同解.
(3)不是同解不等式.故原不等式的解集为{x|x<－2}.规律方法 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.(2)原不等式可化为题型二 【例2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.解 (1)若m＝0，显然－1<0恒成立；∴m的取值范围为{m|－4即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，又m(x2－x＋1)－6<0，【训练2】 对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
解析 由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2 答案 {a|－2【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，一、素养落地
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系提升直观想象素养，通过从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模素养.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.答案 D答案 B∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}.
答案 {x|x≤0或x>1}4.已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________.5.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
因此0故当花坛的宽度在0示范(二) 不等式恒成立问题
【典型示例】 (12分)已知y＝ax2＋x－a，
(1)若函数，求实数a的值；(2)若不等式y>－2x2－3x＋1－2a对求实数a的取值范围.一切实数x恒成立②，看到②想到解决恒成立问题可以转化为求解最值问题，本题的x属于全体实数，因此可以利用二次不等式恒成立解决.满分示范(2)由y>－2x2－3x＋1－2a得
(a＋2)x2＋4x＋a－1>0.7分
当a＝－2时，不合题意；8分解得a>2，所以a的取值范围为{a|a>2}.12分满分心得
(1)解决本题时首先判断二次函数图象的开口方向，确定取得最大值的位置为对称轴位置.
(2)在解决(a＋2)x2＋4x＋a－1>0恒成立时，易忽视对二次项系数是否为零进行讨论而失分.
(3)对于二次不等式恒成立问题通常考虑二次项系数的符号及判别式的符号.第二课时 一元二次不等式的应用
课标要求
素养要求
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
教材知识探究
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题 如何判断甲、乙两车是否超速？
提示 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2 000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.
1.简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
教材拓展补遗
[微判断]
1.利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)
2.不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×)
提示 分式不等式中的分母不等于1，解集为{x|x>1或x≤0}.
3.不等式<0的解集为{x|－1提示 注意先将x的系数化为正再解不等式.
[微训练]
1.不等式≤0的解集为________.
解析 原不等式等价于
即即－答案
2.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝________.
解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0∴A∩B＝{x|0答案 {x|03.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________.
解析 设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0∴售价b所在的范围应为90答案 90[微思考]
不等式①>0；②≥0.
想一想 (1)不等式①与(x＋1)(x＋2)>0同解吗？
(2)不等式②与(x＋1)(x＋2)≥0同解吗？
(3)不等式①和②是同解不等式吗？
提示 (1)同解.
(2)不同解.
(3)不是同解不等式.
题型一 简单分式不等式的解法
【例1】 解不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴∴
即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
规律方法 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
【训练1】 解下列不等式.
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
题型二 不等式的恒成立问题
【例2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则?－4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m<即可.
∴m的取值范围为.
规律方法 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
【训练2】 对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
解析 由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2答案 {a|－2题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0规律方法 解不等式应用题的步骤
【训练3】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x的取值范围为.
一、素养落地
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系提升直观想象素养，通过从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模素养.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
二、素养训练
1.不等式≤0的解集是( )
A.{x|x<－1或－1B.{x|－1≤x≤2}
C.{x|x<－1或x≥2}
D.{x|－1解析 此不等式等价于∴－1答案 D
2.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}
C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
答案 B
3.不等式≥－1的解集是________.
解析 ≥－1?＋1≥0?≥0?
∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}.
答案 {x|x≤0或x>1}
4.已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________.
解析 由题意知Δ<0，即1－4k<0，
得k>，即k的取值范围为.
答案
5.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
解 设花坛宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，(0根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
因此0故当花坛的宽度在0三、审题答题
示范(二) 不等式恒成立问题
【典型示例】 (12分)已知y＝ax2＋x－a，
(1)若函数y有最大值①，求实数a的值；
(2)若不等式y>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立②，求实数a的取值范围.
联想解题
看到①想到二次函数有最大值，因此二次函数的图象开口向下，又因为x为全体实数，可以直接利用公式最大值＝求解.
看到②想到解决恒成立问题可以转化为求解最值问题，本题的x属于全体实数，因此可以利用二次不等式恒成立解决.
满分示范
解 (1)由题意知a<0，且＝，3分
解得a＝－2或a＝－.5分
(2)由y>－2x2－3x＋1－2a得
(a＋2)x2＋4x＋a－1>0.7分
当a＝－2时，不合题意；8分
当a≠－2时，10分
解得a>2，所以a的取值范围为{a|a>2}.12分
满分心得
(1)解决本题时首先判断二次函数图象的开口方向，确定取得最大值的位置为对称轴位置.
(2)在解决(a＋2)x2＋4x＋a－1>0恒成立时，易忽视对二次项系数是否为零进行讨论而失分.
(3)对于二次不等式恒成立问题通常考虑二次项系数的符号及判别式的符号.
基础达标
一、选择题
1.不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A.{x|x≥5或x≤－1} B.{x|x>5或x<－1}
C.{x|－1解析 由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}.
答案 B
2.不等式≥0的解集为( )
A.{x|－1C.{x|－1≤x≤1} D.{x|－1解析 原不等式?
∴－1≤x<1.
答案 B
3.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A.A?B B.B?A
C.A＝B D.A∩B＝?
解析 A＝{x|－1答案 B
4.不等式≥1的解集是( )
A. B.
C. D.
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或
解得≤x<2，则原不等式的解集为{x|≤x<2}，
故选B.
答案 B
5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；
当a－2≠0时，
解得－2答案 D
二、填空题
6.不等式>0的解集为________.
解析 >0???x>－5且x≠2.
答案 {x|x>－5且x≠2}
7.不等式≤3的解集是________.
解析 由≤3，得－3≤0，即≥0，则解得x<0或x≥.∴不等式≤3的解集是.
答案
8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析 依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
因为0即最低产量是150台.
答案 150
三、解答题
9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
只需解得a>.
综上，所求实数a的取值范围为.
10.关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，
∴m<2x2－8x＋6恒成立，
设y＝2x2－8x＋6，
则当x＝2时，y的最小值为－2.
∴m<－2.
∴实数m的取值范围为{m|m<－2}.
能力提升
11.某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24).
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？
解 (1)设t h后蓄水池中的水量为y吨，则
y＝400＋60t－120，0≤t≤24，
令＝x，则x2＝6t，
∴t＝(0≤x≤12).
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40.
∵0≤x≤12，
故当x＝6，即t＝6时，y的最小值为40.
故从供水开始到第6 h时，蓄水池中水量最少，为40吨.
(2)依题意并结合(1)，令400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，解得4故16∵x2＝6t，∴16<6t<64.∴又－＝8，∴每天约有8 h供水紧张.
12.(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解 (1)令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，∴x－2<0.
∴a<＝＝2－x.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1.
故a的取值范围为{a|a<1}.
