2.2 基本不等式
第一课时 基本不等式
课标要求
素养要求
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0).
2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
教材知识探究
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
注意两个不等式成立的前提条件不一样，但等号成立的条件都是a＝b1.?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得≤，当且仅当a＝b时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式≥的条件是a，b都是正数，取等号的条件是a＝b，当a<0，b<0时，则有≤－
教材拓展补遗
[微判断]
1.≥对任意实数a，b都成立.(×)
提示 只有当a>0且b>0时，≥才能成立.
2.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(√)
3.若a>0，b>0，则ab≤.(√)
[微训练]
当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).
①＋≥2；②a－b≥2；
③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
解析 根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确.
答案 ③
[微思考]
1.不等式≥ab和≥中“＝”成立的条件相同吗？
提示 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.
2.“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
提示 a＝b?＝ab；a＝b>0?＝.
题型一 与基本不等式有关的比较大小问题
【例1】 设0
A.aC.a<解析 法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<答案 B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项
1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
【训练1】 比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 ＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立.
答案 ≥
题型二 用基本不等式证明不等式
【例2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
“1”代换是常用转化技巧
证明 ＋＋＝＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
【训练2】 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明 因为a，b，c全不相等，
所以与，与，与全不相等，
所以＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得，＋＋＋＋＋>6，
所以＋＋>3，
即＋＋>3.
题型三 基本不等式的灵活变形应用
【例3】 (1)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
①＋＋≥8；②≥9.
证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立).
(2)①＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
②法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二 ＝1＋＋＋.
由①知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.
规律方法 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)＋≥2(a，b同号).
(3)ab≤(a，b∈R).
(4)≥≥≥(a，b∈R＋).
【训练3】 设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明 ∵a，b均为正实数，∴＋≥，
∵＋ab≥2，∴＋＋ab≥2(当且仅当a＝b时取等号).
一、素养落地
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
二、素养训练
1.下列不等式成立的是( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a＋b≥2 D.a＋b≤2
解析 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.
答案 A
2.若0A. B.a2＋b2
C.2ab D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0答案 B
3.若x>0，则x＋________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
解析 x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
答案 ≥
4.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________(填序号).
解析 由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当
且仅当＝，即a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，①②③正确.
答案 ①②③
5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.
基础达标
一、选择题
1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A.a＝4 B.a＝
C.a＝－ D.a＝±
解析 此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.
答案 D
2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t
C.s≤t D.s解析 ∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.
答案 A
3.已知x<0，则x＋－2有( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为－4 D.最小值为－4
解析 ∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－时，即x＝－1时“＝”成立.
答案 C
4.已知0A.a2＋b2 B.2
C.2ab D.a＋b
解析 因为0所以a2＋b2又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab又因为a＋b>2(因为a≠b)，
所以a＋b最大，故选D.
答案 D
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aC.解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
二、填空题
6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
解析 x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a≠b)，∴x2∵x，y>0，∴x答案 x7.已知a>b>c，则与的大小关系是________.
解析 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，
当且仅当a－b＝b－c，
即2b＝a＋c时取等号.
答案 ≤
8.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号).
解析 因为ab≤＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确.
答案 ①③④
三、解答题
9.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.
证明 由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2.
10.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明 ∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立.
能力提升
11.设x>0，求证：x＋≥.
证明 ∵x>0，∴x＋>0，x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝.
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立.
12.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
证明 ∵＋≥2，∴≤，
即≤.
又∵＝≤＝，
∴≤.又由基本不等式得≥，
故≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
课件29张PPT。2.2 基本不等式
第一课时 基本不等式教材知识探究如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.注意两个不等式成立的前提条件不一样，但等号成立的条件都是a＝ba=b算术几何2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.不小于×√√答案 ③提示 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.2.“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？答案 B规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项
1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.答案 ≥【训练1】 比较大小： ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).题型二 用基本不等式证明不等式
【例2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，≥3＋2＋2＋2＝9.规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.证明 因为a，b，c全不相等，题型三 基本不等式的灵活变形应用证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立).∵a＋b＝1，a>0，b>0，②法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，规律方法 几个重要的不等式答案 Aa2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.答案 B答案 ≥故②恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，①②③正确.
答案 ①②③5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.课件39张PPT。第二课时 基本不等式的应用教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？最大(小)值口诀：和定积最大，积定和最小1.基本不等式与x=yx=y提示 a，b为正实数.提示 a，b为正实数.提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.×××[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.答案 50[微思考]
1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
提示 利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.解 这个同学的解法是错误的.理由如下：题型一 利用基本不等式求最值解 (1)∵x>2，∴x－2>0，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8.规律方法 利用基本不等式求最值的策略(2)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∴x＋y的最小值是18.∴x＋y的最小值是18.题型二 利用基本不等式解决实际应用问题
【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.不等式的综合应用解析 法一 (1的代换)：题型三 基本解①②可得x＝4，y＝12.所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.因为y>9，所以y－9>0，所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.所以x>1，y>9.当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.
答案 16解析 正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，答案 B答案 C即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
答案 D(3)解 ∵00，m－x>0.一、素养落地
1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.答案 C答案 D由题意得a＝4×32＝36.
答案 364.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________.第二课时 基本不等式的应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
教材知识探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.
1.基本不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
教材拓展补遗
[微判断]
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)
提示 a，b为正实数.
2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)
提示 a，b为正实数.
3.若x>2，则x＋的最小值为2.(×)
提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.
[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
解析 a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立.
答案 2
2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
解析 由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立.
答案 50
[微思考]
1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
提示 利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.
2.已知x，y为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值.
下面是某同学的解题过程：
解：因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2×＝，所以≥4.从而x＋y≥2≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由.
解 这个同学的解法是错误的.理由如下：
上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当＝＝，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.
正解 ∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4＝＋＋5≥2·＋5＝9，当且仅当即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x>2，求x＋的最小值；
(2)已知＋＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.
解 (1)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.
当且仅当＝，
即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8.
规律方法 利用基本不等式求最值的策略
【训练1】 (1)若x<0，求＋3x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解 (1)因为x<0，所以＋3x
＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12.
(2)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
法二 由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
题型二 利用基本不等式解决实际应用问题
【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积y关于x的函数的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解 (1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.
则y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1).
(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝
5 760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.
规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝
10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
题型三 基本不等式的综合应用
【探究1】 已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
解析 法一 (1的代换)：
因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二 (消元法)：由＋＝1，得x＝.
因为x>0，y>0，所以y>9.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10.
因为y>9，所以y－9>0，
所以(y－9)＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法三 (构造定值)：因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x>1，y>9.
由＋＝1，得y＋9x＝xy?xy－9x－y＋9－9＝0?(x－1)(y－9)＝9(定值).
所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝2×3＋10＝16.
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.
答案 16
【探究2】 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
解析 正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
答案
【探究3】 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9
C.8 D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
答案 B
规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.
(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.
【训练3】 (1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是( )
A.2 B.3－2
C.3＋2 D.3＋
(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A.3＋2 B.3－2
C.6－4 D.6＋4
(3)求x(m－x)(0(1)解析 ＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.
答案 C
(2)解析 ＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋＋＋＋
≥4＋2 ＋2 ＋2
＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
答案 D
(3)解 ∵00，m－x>0.
∴x(m－x)≤＝.
当且仅当x＝m－x时，即x＝时，x(m－x)(0一、素养落地
1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的图象求得函数的最值.
二、素养训练
1.当x>0时，＋4x的最小值为( )
A.4 B.8
C.8 D.16
解析 ∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
答案 C
2.已知x>－2，则x＋的最小值为( )
A.－ B.－1
C.2 D.0
解析 因为x>－2，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时“＝”成立.
答案 D
3.已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析 4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立.
由题意得a＝4×32＝36.
答案 36
4.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________.
解析 由题意得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，
所以1＋x＝≤＝1＋，
所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立.
答案 x≤
5.已知正数x，y满足＋＝1，求x＋2y的最小值.
解 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
基础达标
一、选择题
1.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A.1＋ B.2
C.3 D.4
解析 ＝＝x＋＝x－1＋＋1
≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
答案 B
2.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A. B.1
C.4 D.8
解析 ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号.
答案 C
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
解析 设仓库与车站的距离为d，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立.选A.
答案 A
4.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是( )
A.(38－3) m3 B.16 m3
C.4 m3 D.14 m3
解析 设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤2＝16，故选B.
答案 B
5.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长
18 m，则这个矩形的长、宽分别为( )
A.15， B.15，
C.7， D.7，
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
答案 A
二、填空题
6.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.
解析 根据题意，3a＋b＝2ab?＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，
当且仅当b＝a时等号成立，
则a＋b的最小值为2＋.
答案 2＋
7.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
解析 因为x>0，所以＝≤＝.
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以的最大值为.
所以a≥.
答案
8.设x>－1，则的最小值是______.
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有＝＝＝t＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.
∴当x＝1时，取得最小值9.
答案 9
三、解答题
9.(1)若x>0，求x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0解 (1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时，即x2＝4，x＝2时取等号.
∴x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，
∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈，∴4x(3－2x)的最大值为.
10.某工厂要建造一个长方体形状无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解 设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元.
根据题意，有
z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)
＝240 000＋720(x＋y).
由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800.
因此，xy＝1 600.
240 000＋720(x＋y)≥240 000＋720×2，
即z≥240 000＋720×2＝297 600.
当x＝y，即x＝y＝40时，等号成立.
所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.
能力提升
11.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值.
解 (1)∵3x＋2y＝12，
∴xy＝·3x·2y≤×＝6，
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy取得最大值为6.
(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，
∴＋＝＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴＋的最小值为1＋.
12.2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
解 (1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，生产m千克该产品需要的时间是，
所以y＝(kx2＋9)＝m，x∈[1，10].
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y＝1 000≥1 000×2＝6 000，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且3∈[1，10]，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.
