课件34张PPT。第三章 函数的概念与性质 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“fun_ction”(函数)表示“幂”.2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.[读图探新]——发现现象背后的知识函数的概念(图一) 函数的表示(图二)函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第一课时 函数的概念(一)教材知识探究问题1 时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示 0≤t≤3，0≤s≤44.1.
问题2 时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示 确定.
问题3 下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 不能.函数的概念注意函数概念中的任意性、唯一性实数集任意一个数x唯一x[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.( )
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.×××解析 只需满足x－1≥0，∴x≥1.
答案 {x|x≥1}答案 7[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定，一一对应.2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.函数关系的判断 【例1】 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )题型一 解析 (1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
答案 (1)B (2)D规律方法 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法【训练1】 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④解析 (1)A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故选B.
(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
答案 (1)B (2)D求函数值 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，题型二 规律方法 求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.题型三 求函数的定义域 解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.规律方法 当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.解析 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足(2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2，
∴M＝{x|x≤2}，∴?RM＝{x|x>2}，故选A.
答案 (1)C (2)A一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.
2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.二、素养训练
1.下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
解析 根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1.
答案 A答案 D解析 A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.故选C.
答案 C答案 D5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案 B第三章 函数的概念与性质
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“fun_ction”(函数)表示“幂”.
2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数的概念(图一) 函数的表示(图二)
函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)
问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第一课时 函数的概念(一)
课标要求
素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；
2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
教材知识探究
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.
问题1 时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示 0≤t≤3，0≤s≤44.1.
问题2 时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示 确定.
问题3 下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 不能.
函数的概念 注意函数概念中的任意性、唯一性
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
[微训练]
1.函数y＝的定义域是________.
解析 只需满足x－1≥0，∴x≥1.
答案 {x|x≥1}
2.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
解析 f(3)＝9－＝9－2＝7.
答案 7
[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定，一一对应.
2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.
题型一 函数关系的判断
【例1】 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是( )
A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x
解析 (1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
答案 (1)B (2)D
规律方法 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法
【训练1】 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A.① B.②
C.③ D.④
解析 (1)A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故选B.
(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
答案 (1)B (2)D
题型二 求函数值
【例2】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值.
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
规律方法 求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
【训练2】 已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.
题型三 求函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝(x－1)0＋；
(2)y＝＋.
解 (1)要使函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
规律方法 当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.
【训练3】 (1)函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B.{x|x>1}
C.
D.
(2)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM为( )
A.{x|x>2} B.{x|x<2}
C.{x|x≤2} D.{x|x≥2}
解析 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得
即x≥且x≠1，故选C.
(2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2，
∴M＝{x|x≤2}，∴?RM＝{x|x>2}，故选A.
答案 (1)C (2)A
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.
2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.
二、素养训练
1.下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
解析 根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1.
答案 A
2.已知函数f(x)＝，则f＝( )
A. B.
C.a D.3a
解析 f＝＝3a.故选D.
答案 D
3.下列函数中定义域为R的是( )
A.y＝ B.y＝(x－1)0
C.y＝x2＋3 D.y＝
解析 A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.故选C.
答案 C
4.函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析 要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0，故选D.
答案 D
5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案 B
基础达标
一、选择题
1.下列四个图形中，是函数图象的是( )
A.① B.①③④
C.①②③ D.③④
解析 由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.
答案 B
2.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
解析 若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02?B，故选D.
答案 D
3.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
A.①② B.①④
C.①②④ D.③④
解析 根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.
答案 B
4.函数y＝＋的定义域为( )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
解析 由题意可知解得0≤x≤1.
答案 D
5.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝其中定义域相同的函数有( )
A.①②③ B.①②
C.②③ D.②③④
解析 ①②③中函数的定义域均为R，而④中函数的定义域为{x|x≠0}，故选A.
答案 A
二、填空题
6.若f(x)＝，则f(1)＝________.
解析 f(1)＝＝.
答案
7.已知函数f(x)＝，f(a)＝3，则实数a＝____________.
解析 f(a)＝＝3，∴a＝12.
答案 12
8.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有________个.
解析 利用列表法确定函数的个数.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
答案 8
三、解答题
9.2018年是中国高铁发展迅速的一年，山东某一高铁站1～12月份的客流量走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求9月份所对应的客流量.
解 (1)由走势图可知，函数的定义域为{x|1≤x≤12且x∈N*}，值域为{y|100≤y≤160}.
(2)由图形知，9月份所对应的客流量约为100万人次.
10.山东某中学2018级高一同学选科走班情况，选择人数较多的6个组合分别是
组合代码
组合
组合人数
1
物化生
500
2
政史地
300
3
化生地
300
4
物历地
200
5
物化地
200
6
化生历
150
你会怎样表示这次选科走班人数的情况？用x，y分别表示组合代码和对应的组合人数，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
解
y是x的函数，定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{150，200，300，500}，对应关系如图.
能力提升
11.已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－4)，f的值.
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－5}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}.
(2)f(－4)＝＋＝1－＝.
f＝＋＝－＝－.
12.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f.
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现.
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，f＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.
证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
第二课时 函数的概念(二)
课标要求
素养要求
1.会判断两个函数是否为同一函数.
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求一些简单函数的值域.
1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养；
2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.
问题1 如何表示列车的运行速度的范围？
提示 我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200
问题2 还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？
提示 还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.
1.区间 注意区间端点的开闭
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
2.同一个函数 函数的三要素完全相同
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.常见函数的值域
(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.
教材拓展补遗
[微判断]
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√)
2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×)
提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同.
3.函数y＝1＋x2的值域为(1，＋∞).(×)
提示 y＝1＋x2的值域为[1，＋∞).
[微训练]
1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
x<2
2≤x≤3
x≥3
y
－1
0
1
A.{y|－1≤y≤1} B.R
C.{y|2≤y≤3} D.{－1，0，1}
解析 由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.
答案 D
2.区间[1，2)表示的集合为________.
解析 根据区间的定义，可表示为
{x|1≤x<2}.
答案 {x|1≤x<2}
3.已知函数f(x)与函数g(x)＝是同一个函数，则函数f(x)的定义域为________.
解析 因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同，
所以f(x)的定义域需满足则即x≤1且x≠0.
答案 (－∞，0)∪(0，1]
[微思考]
1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
提示 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
2.区间与集合有什么联系？
提示 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.
题型一 区间的应用 注意区间端点的写法
【例1】 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|0解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；
(3){x|－1规律方法 用区间表示数集的方法：
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
【训练1】 (1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.
(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.
解析 (1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).
(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).
答案 (1)[0，2)∪(2，＋∞) (2)(－1，＋∞)
题型二 同一函数的判断
【例2】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
(2)试判断函数y＝·与函数y＝是否为同一函数，并说明理由.
(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数.
答案 ⑤
(2)解 不相同.对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.
规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
【训练2】 下列各组函数是同一函数的是( )
A.y＝1，y＝
B.y＝·，y＝
C.y＝|x|，y＝()2
D.y＝x，y＝
解析 A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D.
答案 D
题型三 求函数的值域
对于一次函数、二次函数，反比例函数可借助图象求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式.
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
解 (1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，∴y＝－1的值域为[－1，＋∞).
(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}.
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(4)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为.
规律方法 求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.
(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
【训练3】 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；
(3)y＝；
(4)y＝2x＋4.
解 (1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0，4].
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].
(3)(分离常数法)∵y＝＝1－，
且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}.
(4)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.
3.同一函数的概念的理解
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.
二、素养训练
1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为( )
A.(5，9) B.[5，9]
C.{5，7，9} D.{5，6，7，8，9}
解析 由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.
答案 C
2.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一函数的是( )
A.没有 B.仅有②
C.有②④ D.有②③④
解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.
答案 C
3.函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A.[0，1] B.[0，1)
C.(0，1] D.(0，1)
解析 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.
答案 C
4.下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝x2＋1
解析 y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，故选B.
答案 B
5.将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x＝0或1≤x≤5}；
(3){x|x＝3或4≤x≤8}；
(4){x|2≤x≤8且x≠5}；
(5){x|3解 (1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.
(2){x|x＝0或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②.
(3){x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.
(4){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④.
(5){x|3图⑤
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)＝的定义域是( )
A.[－2，2) B.[－2，2)∪(2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(2，＋∞)
解析 x应满足即x≥－2，且x≠2.
∴函数f(x)＝的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞).故选B.
答案 B
2.下列各组函数为同一函数的是( )
A.f(x)＝x，g(x)＝
B.f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x－3
解析 A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.
答案 C
3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A.1 B.0
C.－1 D.2
解析 ∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.
答案 A
4.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|
C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x
解析 验证法.根据同一函数的定义，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.
答案 C
5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )
A.10个 B.9个
C.8个 D.4个
解析 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
答案 B
二、填空题
6.下列各对函数中是同一函数的是________(填序号).
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
解析 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数.
答案 ②④
7.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________.
解析 由题意知f(x)为一次函数，则满足所以a＝－1.
答案 －1
8.在实数的原有运算中，我们定义新运算“?”如下：当a≥b时，a?b＝a；当a解析 由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1；
当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2].
所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2].
答案 [－1，2]
三、解答题
9.求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x－；
(3)y＝2－.
解 (1)y＝＝＝5＋，且≠0，∴y≠5，∴函数的值域是{y|y≠5}.
(2)令t＝(t≥0)，∴x＝－t2＋，
∴y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1，
当t≥0时，y≤，∴函数的值域为.
(3)y＝2－＝2－，
∵0≤≤＝2，
所以y＝2－的值域为[0，2].
10.已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解 存在.理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1，1)且开口向上.
∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)
∴存在实数m＝3满足条件.
能力提升
11.已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立.
(1)求f(0)和f(1)的值.
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值.
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0), 所以f(0)＝0.令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2a＋2b.
12.对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}.
(1)求证：A?B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B.
解 (1)若A＝?，则A?B显然成立.
若A≠?，设t∈A，
则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，
从而A?B，故A?B成立.
(2)因为A＝{－1，3}，所以f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即
所以所以所以f(x)＝x2－x－3.
因为B＝{x|f(f(x))＝x}，
所以(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
所以(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
所以(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，
所以x＝±或x＝－1或x＝3.
所以B＝{－，－1，，3}.
课件33张PPT。第二课时 函数的概念(二)教材知识探究设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.问题1 如何表示列车的运行速度的范围？
提示 我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200问题2 还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？
提示 还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.1.区间注意区间端点的开闭2.同一个函数函数的三要素完全相同(1)前提条件：①定义域 ；②对应关系 .
(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.常见函数的值域
(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为 ，值域是 .
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 ，相同相同RRR教材拓展补遗
[微判断]
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( )
2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.( )
提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同.
3.函数y＝1＋x2的值域为(1，＋∞).( )
提示 y＝1＋x2的值域为[1，＋∞).√××[微训练]
1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )A.{y|－1≤y≤1} B.R
C.{y|2≤y≤3} D.{－1，0，1}
解析 由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.
答案 D2.区间[1，2)表示的集合为________.
解析 根据区间的定义，可表示为
{x|1≤x<2}.
答案 {x|1≤x<2}解析 因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同，答案 (－∞，0)∪(0，1][微思考]
1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
提示 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.2.区间与集合有什么联系？
提示 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.区间的应用注意区间端点的写法【例1】 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1 (4){x|0 解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；
(3){x|－1(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【训练1】 (1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.
(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.
解析 (1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).
(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).
答案 (1)[0，2)∪(2，＋∞) (2)(－1，＋∞)(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数.
答案 ⑤规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.解析 A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D.
答案 D求函数的值域对于一次函数、二次函数，反比例函数可借助图象求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式.题型三 (2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}.规律方法 求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.
(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.
3.同一函数的概念的理解
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.二、素养训练
1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为( )
A.(5，9) B.[5，9]
C.{5，7，9} D.{5，6，7，8，9}
解析 由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.
答案 C解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.
答案 C答案 C答案 B5.将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x＝0或1≤x≤5}；
(3){x|x＝3或4≤x≤8}；
(4){x|2≤x≤8且x≠5}；
(5){x|3 解 (1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.(2){x|x＝0或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②.
(3){x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.(4){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④.
(5){x|3