课件45张PPT。3.1.2 函数的表示法教材知识探究(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表问题 根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图象法和列表法.1.函数的三种表示方法注意三种表示方法的优缺点数学表达式图象表格2.分段函数分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.对应关系并集空集教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.( )
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.任何一个函数都可以用图象法表示.( )3.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )×××4.分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.( )
提示 图象可间断，也可连续.
5.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.( )
提示 两函数的定义域不同，则图象不同.
6.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝3x－1.( )××√[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
答案 C答案 1解析 由f(x)的图象知，f(x)的值域为[－4，3].
答案 [－4，3]3.已知f(x)的图象如图，则f(x)的值域为________.[微思考]
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.题型一 三种表示法的应用【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 (1)列表法：(2)图象法：(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.【训练1】 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.②列表法：③图象法：题型二 求函数解析式(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，规律方法 1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.方向2 用待定系数法求函数解析式
【例2－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴f(x)＝x2－2x－1.规律方法 待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.方向3 根据函数图象求解析式
【例2－3】 根据函数f(x)的图象写出它的解析式.解 当0≤x≤1时，图象为经过原点的直线，设f(x)＝kx.将点(1，2)代入得k＝2，所以此时解析式为y＝2x.
当x∈[1，2)时f(x)＝2，当x∈[2，＋∞)时f(x)＝3，规律方法 解决此类问题的关键
1.观察图象：(1)确定函数图象对应的函数类型；(2)确定图象上关键点的坐标.
2.由函数类型设出函数解析式，利用待定系数法求解.解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.题型三 分段函数求值问题【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－2
2x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.解析 (1)f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C题型四 解决问题的关键是“分段归类”坚持定义域优先的原则，注意定义域的端点应不重不漏分段函数的图象与应用(1)解析 当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1].一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
答案 A3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1.
答案 14.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解 (1)f(x)图象的简图如图所示.(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].3.1.2 函数的表示法
课标要求
素养要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.会求函数的解析式.
1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.
2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图象法和列表法.
1.函数的三种表示方法 注意三种表示方法的优缺点
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
2.分段函数 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集
分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.任何一个函数都可以用图象法表示.(×)
提示 有些函数是不能画出图象的，
如f(x)＝
3.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×)
提示 反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线.
4.分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.(×)
提示 图象可间断，也可连续.
5.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.(×)
提示 两函数的定义域不同，则图象不同.
6.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝3x－1.(√)
[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
答案 C
2.已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
解析 f(2)＝＝1.
答案 1
3.已知f(x)的图象如图，则f(x)的值域为________.
解析 由f(x)的图象知，f(x)的值域为[－4，3].
答案 [－4，3]
[微思考]
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.
题型一 三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【训练1】 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.
①解析法：S＝＋.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}.
②列表法：
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面积之和S(cm2)
③图象法：
题型二 求函数解析式
已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，常采用先换元，再消元求f(x)的解析式
方向1 换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式
【例2－1】 求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
解 (1)法一 (换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
法二 (配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
规律方法 1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
方向2 用待定系数法求函数解析式
【例2－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.
规律方法 待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
方向3 根据函数图象求解析式
【例2－3】 根据函数f(x)的图象写出它的解析式.
解 当0≤x≤1时，图象为经过原点的直线，设f(x)＝kx.将点(1，2)代入得k＝2，所以此时解析式为y＝2x.
当x∈[1，2)时f(x)＝2，
当x∈[2，＋∞)时f(x)＝3，
∴f(x)＝
规律方法 解决此类问题的关键
1.观察图象：(1)确定函数图象对应的函数类型；(2)确定图象上关键点的坐标.
2.由函数类型设出函数解析式，利用待定系数法求解.
【训练2】 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x).
解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f＝x2＋＝＋2，
令t＝x－，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，
用代替x得f＋2f(x)＝，
消去f得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0).
题型三 分段函数求值问题
【例3】 已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
【训练3】 (1)f(x)＝则f(5)的值是( )
A.24 B.21
C.18 D.16
(2)已知f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围为( )
A.(－3，＋∞) B.[－3，＋∞)
C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]
解析 (1)f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C
题型四 分段函数的图象与应用
解决问题的关键是“分段归类”坚持定义域优先的原则，注意定义域的端点应不重不漏
【例4】 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________.
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；
②画出函数f(x)的图象；
③写出函数f(x)的值域.
(1)解析 当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1则解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
答案 f(x)＝
(2)解 ①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示.
③由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).
规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.
【训练4】 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域.
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点
3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.
二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C
2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
答案 A
3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1.
答案 1
4.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
答案 f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解 (1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
基础达标
一、选择题
1.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A.3x＋2 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴
∴f(x)＝3x－2.
答案 B
2.设函数f(x)＝则f的值为( )
A. B.－
C. D.18
解析 当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，当x≤1时，f(x)＝1－x2，∴f＝f＝1－＝.故选A.
答案 A
3.已知f(1－2x)＝，则f的值为( )
A.4 B.
C.16 D.
解析 根据题意知1－2x＝，解得x＝，故＝16.
答案 C
4.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x2＋2x＋1 B.f(x)＝x2－2x＋1
C.f(x)＝x2＋2x－1 D.f(x)＝x2－2x－1
解析 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
答案 A
5.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2
C.1 D.0
解析 由题图知g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2.故选B.
答案 B
二、填空题
6.若函数f(x)＝则f(f(f(－2 019)))＝________.
解析 f(－2 019)＝0，∴f(f(－2 019))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－2 019)))＝f(π)＝π2＋1.
答案 π2＋1
7.已知f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝______.
解析 x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍).
当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
综上，x0＝－或4.
答案 －或4
8.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
解析 由表中对应值，知f(g(1))＝f(3)＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不满足条件；
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足条件；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足条件；
所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.
答案 1 2
三、解答题
9.求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(1＋)＝x－2－1，求f(x)；
(3)已知f＝x2＋，求f(x)；
(4)若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，求f(x)；
(5)已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x).
解 (1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6，
(2)设1＋＝t(t≥1)，则＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，
∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1).
(3)f＝x2＋＝－2，
∴f(x)＝x2－2.
(4)∵2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，①
用代替x，得2f＋f(x)＝＋，②
①×2－②得3f(x)＝4x－＋，
∴f(x)＝x－＋(x≠0).
(5)由解得
故f(x)＝x2－6x＋5.
10.已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
能力提升
11.某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计).
(1)在平面直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；
(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数解析式(可用[t]表示不小于t的最小整数).
解 (1)函数图象如图所示.
(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数关系.
当0当t>3时，话费为(0.2＋[t－3]×0.1)元.
故y＝
12.给定函数f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，x∈R.
(1)画出函数f(x)，g(x)的大致图象；
(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
解 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的大致图象，如图.
(2)结合函数m(x)的定义，可得到m(x)的图象如图.
由4－x2＝3x，
得x＝－4或x＝1，
结合m(x)的图象，
得m(x)的解析式为m(x)＝
