课件34张PPT。3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性教材知识探究德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.问题 (1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
提示 (1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.1.增函数与减函数注意其定义中的“任意性”f(x1)
f(x2)2.函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.单调区间一般用“，”或“和”连接常用结论记住这些结论有利于快速解题3.有关单调性的在公共定义域内，增函数＋增函数＝ ；减函数＋减函数＝ ；
增函数－减函数＝ ；减函数－增函数＝ .单调递增或单调递减（严格的）单调性增函数减函数增函数减函数教材拓展补遗
[微判断]
1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1 提示 应该为?x1，x2∈D，当x12.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.( )×√4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).( )
5.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)答案 D2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________.
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.
答案 (0，＋∞)3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________.解析 由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2][微思考]
1.?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示 是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0时，f(x)在D上为减函数.题型一 判断或证明解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，函数的单调性证明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1 (1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间.单调区间(2)如图.(3)由图象可知单调递增区间为(－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2].规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数.(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
(1)解析 观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].
答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).题型三 【例3】 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， ∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).一、素养落地
1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质.这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.
3.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1
C.y＝3－x D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C2.函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).
答案 B3.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则( )
A.f(1) C.c>f(1)>f(－2) D.f(1)>c>f(－2)
解析 二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在
[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)c>f(－2).
答案 D4.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)3.2.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.
2.理解函数单调性的作用和实际意义.
3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 .
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.
2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y (百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
提示 (1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
1.增函数与减函数 注意其定义中的“任意性”
2.函数的单调区间 单调区间一般用“，”或“和”连接
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
3.有关单调性的常用结论 记住这些结论有利于快速解题
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；
增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1提示 应该为?x1，x2∈D，当x12.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.(√)
3.函数f(x)＝在其定义域上为减函数.(×)
提示 f(x)＝在区间(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)
5.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)[微训练]
1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )
A.f(x)＝－ B.f(x)＝x
C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x
解析 由函数的图象知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D.
答案 D
2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________.
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.
答案 (0，＋∞)
3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________.
解析 由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2]
[微思考]
1.?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示 是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0时，f(x)在D上为减函数.
2.?x1，x2∈D，若>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若<0则y＝f(x)在某个区间D上是减函数？并简要说明原因.
提示 是.若>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理<0时，f(x)在D上为减函数.
题型一 判断或证明函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
证明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，
有f(x2)－f(x1)＝－＝
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1f(x2)，
因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
【训练1】 证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数.
证明 ?x1，x2∈(2，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1于是<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
题型二 求函数的单调区间
在书写单调区间时，对区间端点的开闭不作要求，但若函数在区间某些点处无意义，单调区间一定不能含有这些点
【例2】 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间.
解 (1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图.
(3)由图象可知单调递增区间为(－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2].
规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.
【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数.
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
(1)解析 观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].
答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]
(2)解 y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).
题型三 利用单调性求参数的取值范围
【例3】 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解析 (1)∵f(x)＝x2＋ax＋b对称轴为x＝－，
又f(x)在区间[1，2]上不单调，
所以1<－<2，即－4即a的取值范围为(－4，－2).
(2)由题知解得0答案 (1)(－4，－2) (2)
规律方法 由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
【训练3】 (1)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)解析 (1)由题意得解得－1≤x<.
(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图.
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).
答案 (1) (2)(－2，0)
一、素养落地
1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质.这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.
3.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.
二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1
C.y＝3－x D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C
2.函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).
答案 B
3.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则( )
A.f(1)C.c>f(1)>f(－2) D.f(1)>c>f(－2)
解析 二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在
[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)c>f(－2).
答案 D
4.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)解析 由题设知实数a应满足：
解得答案
5.已知函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围.
解 由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5].
基础达标
一、选择题
1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是( )
A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]
C.[－3，1] D.[－3，4]
解析 由图象知增区间为[－3，1]，故选C.
答案 C
2.下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析 当x10知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)答案 B
3.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A.y＝5－x B.y＝x2＋2
C.y＝ D.y＝－|x|
解析 选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.
答案 B
4.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(3，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 ∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上，直线x＝为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－.
答案 B
5.已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5)
C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)
解析 ∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，4)上为增函数，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，
∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.
答案 D
二、填空题
6.函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________.
解析 函数f(x)＝的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
答案 [－1，＋∞)
7.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号).
①f(x)＝－； ②f(x)＝－3x＋1；
③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－.
解析 由题意知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.
答案 ①③④
8.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知
解得答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明.
解 (1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.
所以
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
设1≤x1f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
所以<0，即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
10.求函数f(x)＝x＋(x>0)的单调区间.
解 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)－
＝.
∵00.
由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论.
当x1，x2∈(0，3]时，有x1x2－9<0，所以>0，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0，3]上是减函数；
当x1，x2∈[3，＋∞)时，x1x2－9>0，所以<0，
即f(x1)综上可知，函数f(x)＝x＋(x>0)的单调递减区间是(0，3]，
单调递增区间是[3，＋∞).
能力提升
11.讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性.
解 ?x1，x2∈(－1，1)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
∵x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0.
∴当a>0时，>0.
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
当a<0时，<0，
即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上为增函数.
12.若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f()＝f(x)－f(y).
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
解 (1)在f()＝f(x)－f(y)中，
令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f()<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f()∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为{x|－3课件44张PPT。第二课时 函数的最大(小)值教材知识探究科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？问题1 该天的最高气温和最低气温分别是多少？
问题2 设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
问题3 从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示 1.该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃.
2.该天某时刻的气温变化范围是[－5 ℃，25 ℃].
3.气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是一个整体概念≤≤f(x0)=M纵坐标纵坐标教材拓展补遗
[微判断]
1.若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.( )
提示 M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一个函数可能有多个最小值.( )
提示 最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
提示 值域确定，但不一定有最值.
5.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.( )
提示 f(x)＝x2的最小值为0.××√××[微训练]
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析 根据图象可知，f(x)max＝3.
答案 33.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
解析 函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，
∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案 2[微思考]
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
提示 最大值为f(b)，最小值为f(a).题型一 求函数的最值 解 作出f(x)的图象如图：利用图象规律方法 用图象法求最值的三个步骤解析 (1)作出函数f(x)的图象(如图(1)).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.图(1) 图(2)
答案 (1)1 0 (2)B题型二 利用单调性(1)证明 设1≤x11，∴x1x2－1>0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，规律方法 1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x11，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以f(x1)0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).题型三 二次函数的最值 所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；规律方法 1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.【训练3】 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，解 (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.规律方法 对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，当80≤x<120时，120<240－x≤160，当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元.一、素养落地
1.通过本节课的学习，应提升推理、计算的能力，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的最大值M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义中一定存在一个点x0，使f(x0)＝M.
3.定义域内全部元素都满足f(x)≤M.
4.最大值M是函数图象最高点的纵坐标，也就是函数的整个图象都在直线y＝M的下方.
5.最小值有类似定义.二、素养训练
1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
解析 因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案 B2.函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A.[0，3] B.[－1，0]
C.[－1，＋∞) D.[－1，3]
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.
答案 D3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A.2 B.－2
C.2或－2 D.0
解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案 C答案 －45.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案 20(2)求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域②.看到②首先利用(1)的结论首先判断f(x)在[0，3]上的单调性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.联想解题
看到①想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数①.满分示范∵－1∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1>0，4分∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.6分(2)解 由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.
∵[0，3]?(－1，＋∞)，8分
∴函数f(x)在[0，3]上是减函数.10分满分心得
(1)求函数的最值的常用方法―→函数的单调性.
(2)证明函数单调性的步骤.
取值——作差——变形——判断——结论
① ② ③ ④ ⑤第二课时 函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？
问题1 该天的最高气温和最低气温分别是多少？
问题2 设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
问题3 从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示 1.该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃.
2.该天某时刻的气温变化范围是[－5 ℃，25 ℃].
3.气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得.
函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值是一个整体概念
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：?x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
教材拓展补遗
[微判断]
1.若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(×)
提示 M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一个函数可能有多个最小值.(×)
提示 最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(√)
4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(×)
提示 值域确定，但不一定有最值.
5.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(×)
提示 f(x)＝x2的最小值为0.
[微训练]
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析 根据图象可知，f(x)max＝3.
答案 3
2.函数y＝在[2，3]上的最小值为________.
解析 ∵y＝在[2，3]上递减，∴ymin＝f(3)＝.
答案
3.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
解析 函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，
∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案 2
4.已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.
解析 因为f(x)＝在[1，2]上为减函数，
∴A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，则A－B＝.
答案
[微思考]
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
提示 最大值为f(b)，最小值为f(a).
题型一 利用图象求函数的最值
【例1】 已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值.
解 作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
规律方法 用图象法求最值的三个步骤
【训练1】 (1)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.
(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A.2 B.1
C.－1 D.无最大值
解析 (1)作出函数f(x)的图象(如图(1)).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.
图(1) 图(2)
答案 (1)1 0 (2)B
题型二 利用单调性求函数的最值
【例2】 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝.
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
规律方法 1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
【训练2】 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，
因为x11，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以1－>0，所以(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
题型三 二次函数的最值
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f＝.
规律方法 1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【训练3】 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
题型四 函数最值——实际应用
【例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解 (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000；
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.
规律方法 对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.
【训练4】 近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元).
(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时，120<240－x≤160，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88，
当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88.
因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，应提升推理、计算的能力，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的最大值M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义中一定存在一个点x0，使f(x0)＝M.
3.定义域内全部元素都满足f(x)≤M.
4.最大值M是函数图象最高点的纵坐标，也就是函数的整个图象都在直线y＝M的下方.
5.最小值有类似定义.
二、素养训练
1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
解析 因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案 B
2.函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A.[0，3] B.[－1，0]
C.[－1，＋∞) D.[－1，3]
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.
答案 D
3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A.2 B.－2
C.2或－2 D.0
解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案 C
4.函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________.
解析 ∵y＝在区间[2，4]上是减函数，y＝－3x在区间[2，4]上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.
答案 －4
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析 设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，其中x∈(0，40)，故当x＝20 m时，面积最大.
答案 20
三、审题答题
示范(三) 利用函数的单调性求最值
【典型示例】 (12分)已知函数f(x)＝.
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数①.
(2)求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域②.
联想解题
看到①想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.
看到②首先利用(1)的结论首先判断f(x)在[0，3]上的单调性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.
满分示范
(1)证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－②＝③， 3分
∵－1∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1>0，4分
∴>0④，即f(x1)>f(x2)⑤，5分
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.6分
(2)解 由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.
∵[0，3]?(－1，＋∞)，8分
∴函数f(x)在[0，3]上是减函数.10分
∴函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(0)＝2，最小值是f(3)＝⑥.11分
∴函数f(x)在[0，3]上的值域是⑦12分
满分心得
(1)求函数的最值的常用方法―→函数的单调性.
(2)证明函数单调性的步骤.
取值——作差——变形——判断——结论
① ② ③ ④ ⑤
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(－2)，0 B.0，2
C.f(－2)，2 D.f(2)，2
解析 由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.
答案 C
2.已知f(x)＝，则y＝f(x)在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为( )
A.与 B.与1
C.与 D.与
解析 y＝在[2，8]上单调递减，故当x＝8时，ymin＝，当x＝2时，ymax＝.
答案 A
3.函数f(x)＝的最大值是( )
A. B. C. D.
解析 因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
答案 C
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
解析 设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元.
答案 C
5.函数f(x)＝的值域为( )
A. B.[－1，2]
C. D.
解析 f(x)＝＝1－，当x∈时，函数f(x)为增函数，
∴当x＝时，函数取得最小值，最小值为f＝1－＝1－2＝－1，当x＝2时，函数取得最大值，最大值为f(2)＝1－＝，即函数f(x)的值域为，故选A.
答案 A
二、填空题
6.函数y＝的最小值为________，最大值为________.
解析 由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0.
答案 －5 0
7.函数g(x)＝2x－的值域为________.
解析 设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，
∴y＝2t2－t－2＝2－，t≥0，∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.
答案
8.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
解得b＝0(b＝6不合题意，舍去).
－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去).
答案 －2 0
三、解答题
9.已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.
(1)求a，b的值；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a，
又a>0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，
∴f(x)在[0，1]上是减函数；
∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2，∴a＝b＝1.
(2)f(x)>－x＋m?x2－4x＋1>－x＋m
即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
10.某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件).为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表：
x(万元)
0
1
2
…
t
1
1.5
1.8
…
(1)求t关于x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式；
(3)如果投入的月广告费x在区间[1，2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？
解 (1)设二次函数的解析式为t＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由关系表得解得
∴所求函数的解析式为t＝－0.1x2＋0.6x＋1.
(2)根据题意得S＝10t·(3－2)－x，
∴S＝－x2＋5x＋10(x≥0)，
S＝－x2＋5x＋10＝－＋.
(3)∵1≤x≤2，S随x的增大而增大，
∴当x＝2时，S取得最大值为16.
故当月广告费为2万元时，公司可获得最大的月利润为16万元.
能力提升
11.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围.
(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
解 (1)由已知，设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
由f(0)＝3，得a＝2，
故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，则2a<1所以a的取值范围是.
(3)由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，
化简，得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，因为g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
解得：m<－1，即实数m的取值范围是(－∞，－1).
12.设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，函数f(x)的定义域为[0，3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求使函数f(x)在定义域内是减函数的a的取值范围.
解 f(x)＝＝＝a－.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，
任取x1，x2∈[0，3]，且0≤x1则f(x1)－f(x2)＝.
又∵x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴<0，∴f(x1)∴函数f(x)在[0，3]上是增函数.
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝.
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)任取x3，x4∈(0，＋∞)，且x3>x4>0，
则x3－x4>0，x3＋1>0，x4＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x3)－f(x4)<0，
又f(x3)－f(x4)＝.
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x3)－f(x4)<0.
∴a的取值范围为(－∞，－1).
