3.3 幂函数
课标要求
素养要求
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
教材知识探究
给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数.
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数.
问题1 上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
问题2 判断一个函数是幂函数的依据是什么？
问题3 幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
提示 1.①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1.
2.依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.
3.当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数y＝－x2是幂函数.(×)
提示 根据幂函数的定义.
2.幂函数y＝x2是偶函数.(√)
3.幂函数y＝x－1是增函数.(×)
提示 y＝x－1在(0，＋∞)上为减函数.
4.幂函数都过点(0，0)，(1，1).(×)
提示 只有α>0时过(0，0)，(1，1)点.
5.幂函数的图象不过第四象限.(√)
6.当0
提示 0[微训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
A.y＝2x5 B.y＝x3＋1
C.y＝x－3 D.y＝3x
解析 选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
答案 C
2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
解析 由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
答案 9
3.3.17－1与3.71－1的大小关系为___________________________________.
答案 3.17－1>3.71－1
[微思考]
1.如何判断一个函数是幂函数？
提示 (1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.
2.通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
题型一 与幂函数的概念有关的问题
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案 (1)B (2)5或－1
规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
【例2】 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
答案 B
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
【训练2】 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1C.－11 D.n<－1，m>1
解析 在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0答案 B
题型三 利用幂函数的性质比较大小
α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上递增，α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上递减
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；
(2)与.
解 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，所以>.
规律方法 比较幂值大小的两种基本方法
【训练3】 比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)－3.143与－π3.
解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，
∴>.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
题型四 幂函数性质的综合应用
【例4】 已知函数f(x)＝x(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增.
(2)∵该函数图象过点(2，)，
∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*).
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
规律方法 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
【训练4】 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解 因为m∈{x|－2都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，能培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
二、素养训练
1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝( )
A. B.2
C. D.
解析 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，∴f(2)＝2－1＝.
答案 A
2.设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数.当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数.故选A.
答案 A
3.已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝________，b＝________.
解析 由题意得解得
答案
4.给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.
答案 ④
基础达标
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A.y＝x B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝x
解析 由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，故选C.y＝x在(0，＋∞)上为增函数，但不是偶函数，故A不满足题意.
答案 C
2.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析 y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
答案 B
3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A.nC.n>m>0 D.m>n>0
解析 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n答案 A
4.幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A.0 B.1
C.2 D.0或1
解析 因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2<0，故m<2.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意.
综上知，m＝0.
答案 A
5.函数f(x)＝(a－b)x＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A.f(a)>f(b) B.f(a)C.f(a)＝f(b) D.以上都不对
解析 ∵f(x)为幂函数，∴∴∴f(x)＝x，∴f(x)在(0，＋∞)上递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).故选A.
答案 A
二、填空题
6.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.
解析 因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以?解得m＝3.
答案 3
7.已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)解析 因为f(x)＝x(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以解得所以3答案 (3，5]
8.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；
(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；
(3)在(－∞，0)上是增函数.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).
解析 对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在
(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
答案 ②
三、解答题
9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.
解 (1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10.比较下列各组数的大小.
(1)3－和3.2－；
(2)和.
解 (1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.2，所以3－>3.2－.
(2)函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而>，所以>.
能力提升
11.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间.
解 (1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示.由题意及图象可知
h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值
为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞).
12.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围.
解 (1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1，2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1，4]，B＝[2－k，4－k].
∵A∪B＝A，∴B?A，
∴?0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0，1].
课件33张PPT。3.3 幂函数教材知识探究问题1 上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
问题2 判断一个函数是幂函数的依据是什么？
问题3 幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的图象和性质拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.y=xα(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：RRR［0，+∞）（-∞,0）∪(0,+∞)奇偶奇非奇非偶奇增增减增增减减（1，1）教材拓展补遗
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[微判断]
1.函数y＝－x2是幂函数.( )
提示 根据幂函数的定义.
2.幂函数y＝x2是偶函数.( )
3.幂函数y＝x－1是增函数.( )
提示 y＝x－1在(0，＋∞)上为减函数.
4.幂函数都过点(0，0)，(1，1).( )
提示 只有α>0时过(0，0)，(1，1)点.×√××√×[微训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
A.y＝2x5 B.y＝x3＋1
C.y＝x－3 D.y＝3x
解析 选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
答案 C2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
解析 由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
答案 93.3.17－1与3.71－1的大小关系为___________________________________.
答案 3.17－1>3.71－1[微思考]
1.如何判断一个函数是幂函数？
提示 (1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.
2.通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.题型一 与幂函数的概念有关的问题
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案 (1)B (2)5或－1规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
答案 16题型二 幂函数的图象及其应用关键取决于α>0，α<0答案 B【训练2】 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1 C.－11 D.n<－1，m>1
解析 在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，
如图所示.根据点低指数大，有00时，y＝xα在(0，＋∞)上递增，α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上递减解 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，规律方法 比较幂值大小的两种基本方法(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增.
(2)∵该函数图象过点(2，)，∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*).规律方法 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.【训练4】 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2 (1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解 因为m∈{x|－2 都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].一、素养落地
1.通过本节课的学习，能培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.答案 A答案 A3.已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝________，b＝________.4.给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.
答案 ④