第四章 指数函数与对数函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap－logX).
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼
吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.
3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.
4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简求值.
理解n次方根及n次根式的概念，正确运用根式运算性质，化简求值，发展数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
提示 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
教材拓展补遗
[微判断]
1.当a≥0时，表示一个数.(√)
2.实数a的n次方根有且只有一个.(×)
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
3.当n为偶数，a≥0时，≥0.(√)
4.＝()n.(×)
提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
[微训练]
1.15的平方根为________.
答案 ±
2.－243的5次方根为________.
答案 －3
3.化简－得________.
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x
[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
提示 当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a>0时，a才有n次方根，可表示为±.
2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
题型一 由根式的意义求范围
【例1】 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围.
解 ＝＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3，3].
规律方法 对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；
(2)只要有意义，必不为负.
【训练1】 若＝a－1，求a的取值范围.
解 ∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 化简： 化简时要看清根指数的奇偶
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
规律方法 n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【训练2】 求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解 (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
题型三 有限制条件的根式的化简
【例3】 设－3
解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
【迁移】 例3中，若将“－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
规律方法 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.
【训练3】 已知x∈[1，2]，化简()4＋＝________.
解析 ∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
答案 1
一、素养落地
1.通过学习n次方根及n次根式的概念提升数学抽象素养，通过正确运用根式运算性质，化简求值，培养数学运算素养.
2.掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*时，＝a，n为偶数且n∈N*时，＝|a|＝
3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.
二、素养训练
1.已知x5＝6，则x等于( )
A. B.
C.－ D.±
答案 B
2.()4运算的结果是( )
A.2 B.－2
C.±2 D.不确定
答案 A
3.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B.
C. D.
答案 C
4.的值是________.
答案 －2
5.＋的值是________.
解析 ＋＝|a－b|＋(a－b)＝
答案 0或2(a－b)
基础达标
一、选择题
1.已知m10＝2，则m等于( )
A. B.－
C. D.±
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根.
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数.
∴m＝±.故选D.
答案 D
2.化简(2x>1)的结果是( )
A.1－2x B.0
C.2x－1 D.(1－2x)2
解析 ＝|1－2x|，
∵2x>1，∴1－2x<0，
∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1.
答案 C
3.化简的值是( )
A. B.－
C.± D.－
解析 ＝＝－.
答案 B
4.＋＋＝( )
A.1－ B.－1
C. D.0
解析 原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.
答案 B
5.若2A.5－2a B.2a－5
C.1 D.－1
解析 ∵20，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
答案 C
二、填空题
6.若x<0，则|x|－＋＝________.
解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
答案 1
7.＝________.
解析 ＝＝
＝＝3－2.
答案 3－2
8.把a根号外的a移到根号内等于________.
解析 要使有意义，需a<0.
∴a＝－|a|
＝－＝－.
答案 －
三、解答题
9.设f(x)＝，若0解 f＝＝
＝＝，
因为010.化简：
(1)(x<π，n∈N*)；
(2).
解 (1)因为x<π，所以x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上，＝
(2)因为a≤，所以1－2a≥0.
所以＝＝|2a－1|＝1－2a.
能力提升
11.若＝，求实数a的取值范围.
解 ＝|3a－1|，＝1－3a.因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤.
12.计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)·(＋1)＋(－)0.
解 (1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝·(＋1)＋1
＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
课件30张PPT。第四章 指数函数与对数函数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap－logX).[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第一课时 n次方根教材知识探究希帕索斯问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论xn=a2.根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据根指数负数0aa-a提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.√×√×[微训练]
1.15的平方根为________.2.－243的5次方根为________.
答案 －3解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.题型一 由根式的意义求范围 ∴a－1≥0，∴a≥1.题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 化简：化简时要看清根指数的奇偶(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.题型三 有限制条件的根式的化简 ∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.【迁移】 例3中，若将“－3∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.解析 ∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，答案 1答案 B答案 A答案 C答案 －2答案 0或2(a－b)第二课时 分数指数幂、无理数指数幂
课标要求
素养要求
通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
通过对有理数指数幂a、实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养，通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.
教材知识探究
牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？
牛顿
他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将，，，…写成a，a，a，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习.
问题1 a、a－(a>0)写成根式会是怎样的形式？
问题2 a、a－的根式形式中a≤0又如何？
提示 1.a＝，a－＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1).
2.若a≤0，a、a－不一定有意义，例如(－4)、(－4)－无意义，故规定a>0.
1.分数指数幂 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的运算性质 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
3.无理数指数幂 实数指数幂是一个确定的实数
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
教材拓展补遗
[微判断]
1.(－2)＝(－2).(×)
提示 (－2)>0，而(－2)无意义，故错误.
2.[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3).(×)
提示 左侧＝，右侧无意义.
3.当a>0时，(ar)s＝(as)r.(√)
4.2∈R.(√)
[微训练]
1.a－(a>0)化为根式的形式为________.
解析 a－＝＝.
答案
2.(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.
解析 ＝(m－n).
答案 (m－n)
3.化简27＝________.
答案 9
[微思考]
1.分数指数幂与根式有什么关系？
提示 (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.
(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义.当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
2.分数指数幂a可以理解为个a相乘吗？
提示 不可以.分数指数幂a不可以理解为个a相等.事实上，它是根式的一种新写法.
题型一 根式与指数幂的互化
【例1】 (1)根式a化成分数指数幂是________.
化简的依据是a＝，a－＝
(2)将下列根式与分数指数幂进行互化：
①a－.②(a>0).③x3·(x>0).
(1)解析 因为－a≥0，所以a≤0，
所以a＝－＝－
＝－(－a).
答案 －(－a)
(2)解 ①a－＝.
②＝a·a＝a(a>0).
③x3·＝x3·x＝x.
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【训练1】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0).
解 (1)＝＝1.
(2)＝＝＝＝a－b.
题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 (1)＝________.
(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：
①··；
②(0.064)－－＋＋16－0.75.
(1)解析 ＝＝＝＝.
答案
(2)解 ①原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
规律方法 1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
3.对于化简结果的要求
对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
【训练2】 计算下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)－＋＋－π0.
解 (1)原式＝1＋·－＝.
(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.
(3)原式＝－＋＋－1＝
－＋＋－1＝3.
题型三 整体代换法求分数指数幂
【例3】 (1)若x＝2，则(x＋3)＝________.
(2)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________.
解析 (1)因为x＝2，则＝23＝8，得x2＝23，解得x＝±2，
所以(x＋3)＝(3±2)＝[(±1)2]＝±1.
(2)将x－x－＝1，两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案 (1)±1 (2)3 7
规律方法 利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2?2，x＋x－1＝(x±x－)2?2，x＋x－＝(x±x－)2?2.
【训练3】 (1)已知x＋x－＝，则x2＋x－2＝________.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①x＋x－；②x2－x－2.
(1)解析 将x＋x－＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案 7
(2)解 ①设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即x＋x－＝3.
②设n＝x－x－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±，即x－x－＝±.所以x－x－1＝(x＋x－)(x－x－)＝±3，x2－x－2
＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
一、素养落地
1.通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
二、素养训练
1.下列运算结果中，正确的是( )
A.a2·a3＝a5
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－1)0＝1
D.(－a2)3＝a6
答案 A
2.(a>0)的值为________.
解析 原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
答案 a
3.计算：0.25×－4÷20－＝________.
解析 原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
答案 －4
4.已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析 因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9，
又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3.
答案 3
5.化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)4x÷(结果化为分数指数幂形式).
解 (1)＝b×a－×a×b－＝a.
(2)4x÷＝2x＋＋·y－＋＝2xy.
基础达标
一、选择题
1.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A.R B.∪
C. D.
解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.
答案 D
2.化简[]的结果为( )
A.5 B.
C.－ D.－5
解析 []＝()＝5×＝5＝.
答案 B
3.＋(－1)－1÷0.75－2＋＝( )
A. B.
C.－ D.－
解析 原式＝－1÷＋＝－1÷＋＝－＋＝.
答案 A
4.化简()4·()4的结果是( )
A.a16 B.a8
C.a4 D.a2
解析 原式＝·＝·＝a2·a2＝a4.
答案 C
5.设a－a－＝m，则＝( )
A.m2－2 B.2－m2
C.m2＋2 D.m2
解析 将a－a－＝m平方得＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2.
答案 C
二、填空题
6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
解析 32a－b＝＝.
答案
7.化简：(＋)2 019·(－)2 019＝________.
解析 (＋)2 019·(－)2 019
＝[(＋)(－)]2 019＝12 019＝1.
答案 1
8.已知a>0，化简－＝________.
解析 因为a>0，所以－＝－＝4.
答案 4
三、解答题
9.将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
10.已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解 (1)因为a＋a－＝3，所以＝a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.
(2)因为a＋a－1＝7，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
能力提升
11.计算下列各式：
(1)2××；
(2).
解 (1)原式＝2×3××12＝21＋＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.
12.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
(2)＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，
得＝＝－.
课件32张PPT。第二课时 分数指数幂、无理数指数幂教材知识探究牛顿1.分数指数幂根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据0没有意义2.有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘3.无理数指数幂实数指数幂是一个确定的实数一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数××√√答案 9[微思考]
1.分数指数幂与根式有什么关系？根式与分数指数幂进行互化：规律方法 根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.规律方法 1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
3.对于化简结果的要求
对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.题型三 整体代换法求分数指数幂x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.答案 7一、素养落地
1.通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.答案 A答案 －4答案 3