4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
4.4.2 对数函数的图象和性质
第一课时 对数函数的概念及其图象和性质
课标要求
素养要求
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和简单性质.
理解对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.
教材知识探究
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题1 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
提示 t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数.
问题2 函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
提示 两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
1.对数函数的概念 其结构特征是判断一个函数是否为对数函数的主要依据
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0当00，
当x>1时，y>0
当x>1时，y<0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数y＝logx是对数函数.(×)
提示 对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.函数y＝2log3x是对数函数.(×)
提示 在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以错误.
3.函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).(×)
提示 由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，
所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以错误.
[微训练]
1.若对数函数的图象过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
解析 设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
答案 y＝log3x
2.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
解析 令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
答案 (1，2)
[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.
2.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
提示 在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称.
题型一 对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
答案 (1)B (2)－3
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
解析 由题意可知
解得a＝4.
答案 4
题型二 对数型函数的定义域
【例2】 (1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________；
(2)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：?解得－1(2)由题意有解得x>－且x≠0，
则函数的定义域为∪(0，＋∞).
答案 (1)(－1，2) (2)∪(0，＋∞)
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解 (1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三 对数函数的图象问题
【例3】 已知y＝lg x的图象，如图所示，由图象作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图象，并解答以下问题：
(1)函数y＝lg |x|( )
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
(2)函数f(x)＝|lg x|，若0f(b).
证明：ab<1.
解 分别作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图象如图(1)，图(2)所示.
(1)从图(1)可以看出，选项B正确.
(2)由图(2)可以看出，若0f(b)，此时有ab<1成立；
若0因为f(a)>f(b)，所以－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，
lg(ab)<0，所以ab<1；
若1f(b)相矛盾.
综上可知，若0f(b)时，ab<1.
规律方法 (1)作y＝f(|x|)，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
(2)作y＝|f(x)|图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称.
【训练3】 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图象大致是( )
解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
(2)由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0答案 (1)D (2)D
一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养，通过运用函数的图象与简单的性质解决问题，提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析 选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案 D
2.设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A.(1，2) B.(1，2]
C.(－2，1) D.[－2，1)
解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x>0得x<1，∴B＝
(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案 D
3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________.
答案 (1，3)
4.若y＝loga(3a－1)有意义，则a的取值范围是________.
答案
5.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0f(2)的a值.
解 (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0f(2)的a值.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝1＋log(x－1)的图象恒过定点( )
A.(1，1) B.(1，0)
C.(2，1) D.(2，0)
解析 令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(2，1).
答案 C
2.函数y＝的定义域为( )
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析 要使原函数有意义，则解得23，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
答案 C
3.若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(0，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(0，1)
解析 由对数函数的单调性知，a＋1>1，则a>0.
答案 B
4.对数函数y＝logax与y＝logbx的图象如图，则( )
A.a<0，b<0 B.a<0，b>0
C.01 D.0答案 C
5.函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
解析 函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案 A
二、填空题
6.给出下列函数：①y＝()2；②y＝；③y＝2log2x；④y＝log22x.
则上述函数中，与函数y＝x相等的是________(填序号).
解析 对于①，y＝()2?y＝x(x≥0)，不相等；
对于②，y＝?y＝|x|，不相等；
对于③，y＝2log2x?y＝x(x>0)，不相等；
对于④，y＝log22x?y＝x，相等.
答案 ④
7.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
解析 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则loga＝－2，
∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
答案
8.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
答案 ∪(2，＋∞)
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝＋log2(3x－1).
解 (1)由题意知解得1(2)由题意知解得x>且x≠1，故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
10.已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小.
解 先作出函数y＝lg x的图象， 再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
由>a>b>1得f>f(a)>f(b)，
而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).
∴f(c)>f(a)>f(b).
能力提升
11.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示：
12.已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性.
解 (1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)).
(2)函数图象如图.
f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
