4.4.3 不同函数增长的差异
课标要求
素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模等素养.
教材知识探究
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.
问题 指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？
提示 都是增函数，而y＝ax(a>1)增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增长速度非常缓慢.
三种常见函数模型的增长差异 对比三类函数的增长速度，熟记图象变化规律
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
教材拓展补遗
[微判断]
1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)
2.函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(√)
3.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)
提示 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
[微训练]
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析 对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.
答案 D
2.函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________.
解析 作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
答案 y＝x2
[微思考]
1.函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则根据两类函数的增长差异，Δy1与Δy2的大小关系如何？
提示 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.
2.在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax题型一 几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A.y＝2 019x B.y＝x2 019
C.y＝log2 019x D.y＝2 019x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
解析 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案 (1)A (2)y2
规律方法 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.
【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A.y＝ex B.y＝100 ln x
C.y＝x100 D.y＝100·2x
解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
答案 A
题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).又因为g(2 019)>g(6)，所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
【迁移1】 (变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)问呢？
解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
【迁移2】 (变换所求)本例条件不变，例2(2)问中所求改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小.
解 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)，又因为g(2 020)>g(8)，所以f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8).
规律方法 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练2】 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
题型三 函数模型的选择问题
【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解 根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
规律方法 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
【训练3】 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解 A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.
一、素养落地
1.通过选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律提升数学建模素养，通过三类函数增长速度的差异的比较及理解数学术语的含义提升数学抽象素养.
2.几种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.
(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.
二、素养训练
1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x1 000 D.y＝2x
答案 A
2.能使不等式log2xA.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(4，＋∞)
答案 D
3.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________(填序号).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x＋1)；
④y＝50.
答案 ①
4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________(填序号).
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
解析 由图知，甲、乙两人s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
答案 ④
5.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(万元)的关系式为p＝m，q＝.今有3万元资金投入这两种商品.
若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值.
解 (1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，
则对乙种商品的投资为(3－x)万元，
所以y＝x＋·(0≤x≤3).
(2)令t＝(0≤t≤)，
则x＝3－t2，
所以y＝(3－t2)＋t
＝－＋，
所以当t＝时，ymax＝＝1.05(万元).
由t＝＝可求得x＝0.75(万元)，3－x＝2.25(万元)，
所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，
此时获得最大利润为1.05万元.
基础达标
一、选择题
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A.y＝5x B.y＝log5x
C.y＝x5 D.y＝5x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
答案 D
2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.
答案 A
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
答案 D
4.当2A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x
C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x
解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.
法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
答案 B
5.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
解析 观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，
＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
答案 C
二、填空题
6.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.
解析 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
答案 y＝x2
7.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.
答案 y3 y2 y1
8.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为________.
解析 四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.
答案 ③④⑤
三、解答题
9.有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为：
y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
10.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：
时间t
2
4
高度h
10
25
17
(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系；y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；
(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.
解 (1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数.
设h(t)＝at2＋bt＋c，有?
∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0).
(2)h(t)＝－4t2＋20t＋1
＝－4(t2－5t)＋1＝－4＋26，
∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.
能力提升
11.有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲中心健身活动x小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
解 (1)f(x)＝5x，15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)，
当18g(x)；
所以当15≤x<18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当1812.已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：
①log2x<2x②log2x(3)求不等式loga(x－3)>loga(5－x)的解集.
解 (1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，
∴f(x)＝2x.
(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16，下面借助图象解决问题.
①∵log2x<2x②∵log2x4，解集为(0，2)∪(4，＋∞).
(3)由loga(x－3)>loga(5－x)得，
当a>1时，解得4当0解得3所以，当a>1时，原不等式的解集为(4，5)，
当0课件33张PPT。4.4.3 不同函数增长的差异教材知识探究澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.问题 指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？
提示 都是增函数，而y＝ax(a>1)增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增长速度非常缓慢.三种常见函数模型的增长差异对比三类函数的增长速度，熟记图象变化规律增函数增函数增函数y＝kx(k>0)logaxkx>logax教材拓展补遗
[微判断]
1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( )
2.函数y＝log2x增长的速度越来越慢.( )
3.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )
提示 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.√√×[微训练]
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析 对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.
答案 D2.函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________.
解析 作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
答案 y＝x2[微思考]
1.函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则根据两类函数的增长差异，Δy1与Δy2的大小关系如何？
提示 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.2.在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax 提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax【例1】 (1)下列函数中，的是( )A.y＝2 019x B.y＝x2 019
C.y＝log2 019x D.y＝2 019x增长速度最快(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
解析 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案 (1)A (2)y2规律方法 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
答案 A题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象
交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).又因为g(2 019)>g(6)，所以f(2 019)>
g(2 019)>g(6)>f(6).【迁移1】 (变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)问呢？
解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.【迁移2】 (变换所求)本例条件不变，例2(2)问中所求改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小.
解 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)，又因为g(2 020)>g(8)，所以f(2 020)>
g(2 020)>g(8)>f(8).规律方法 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练2】 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x) 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).题型三 函数模型的选择问题【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.规律方法 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.【训练3】 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？一、素养落地
1.通过选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律提升数学建模素养，通过三类函数增长速度的差异的比较及理解数学术语的含义提升数学抽象素养.
2.几种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.
(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.二、素养训练
1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x1 000 D.y＝2x
答案 A2.能使不等式log2x A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(4，＋∞)
答案 D3.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________(填序号).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.
答案 ①4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________(填序号).
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两
人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
解析 由图知，甲、乙两人s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
答案 ④解 (1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，
则对乙种商品的投资为(3－x)万元，则x＝3－t2，所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，
此时获得最大利润为1.05万元.