第五章 三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识
伦敦眼
伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？
问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？
链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值.
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
教材知识探究
周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习.
问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？
提示 时针转了－45°，分针转了－540°.
1.角的分类 注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加法
(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(2)设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β).
3.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
教材拓展补遗
[微判断]
1.经过1小时，时针转过30°.(×)
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
2.终边与始边重合的角是零角.(×)
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.第一象限角都是锐角.(×)
提示 390°为第一象限角，但不是锐角.
4.钝角是第二象限角.(√)
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.(×)
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
[微训练]
1.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案 四
2.与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案 C
[微思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等.
题型一 与任意角有关的概念辨析
【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
答案 ②⑤
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案 －40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 终边相同的角的表示及应用
在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动.
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三 象限角和区间(域)角的表示
应先找到0°～360°范围内与其终边相同的角
【例3】 (1)－2 019°是第________象限角.
解析 －2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限角.
答案 二
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
答案 (1)A (2)C
一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.
二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.相差180°整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.
答案 D
3.把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________.
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
答案 144°＋(－3)×360°
4.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5.已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
基础达标
一、选择题
1.下列说法中，正确的是( )
A.第二象限的角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限的角
C.若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
解析 A错，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；
B错，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；
C错，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；
D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
答案 D
2.给出下列命题：
①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ∵－90°<－75°<0°，∴－75°是第四象限角，①正确；∵180°<225°<270°，∴225°是第三象限角，②正确；∵360°＋90°<475°<360°＋180°，∴475°是第二象限角，③正确；∵－360°<－315°<－270°，∴－315°是第一象限角，④正确.故这4个命题都是正确的.
答案 D
3.与－468°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}
解析 因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.
答案 B
4.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A.α＋β＝k·360°，k∈Z
B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D.α－β＝k·360°，k∈Z
解析 法一 (特值法)：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二 (直接法)：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
答案 B
5.已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第一或第三象限 D.第二或第四象限
解析 法一 如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选D.
法二 ∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
∴90°＋k· 180°<<135°＋k·180°，k∈Z，
∴为第二或第四象限角，故选D.
答案 D
二、填空题
6.1 112°角是第________象限角.
解析 ∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°与32°的终边相同，均为第一象限角.
答案 一
7.终边在坐标轴上的角的集合为________.
解析 终边在x轴上的角的集合为α1＝k·180°＝2k·90°，终边在y轴上的角的集合为α2＝k·180°＋90°＝(2k＋1)90°，所以终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.
答案 {α|α＝k·90°，k∈Z}
8.若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________.
解析 由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0，1，2时，＝20°，140°，260°.
答案 20°，140°，260°
三、解答题
9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.
解 由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z，
由0°<θ<360°，得0°∴0∴θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}.
10.已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角.
(2)与2 010°终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z).
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z).
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
能力提升
11.写出如图所示阴影部分的角α的范围.
解 (1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
12.在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角.
解 (1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
(2)由－360°又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个.
(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
课件36张PPT。第五章 三角函数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.喜帕恰斯[读图探新]——发现现象背后的知识
伦敦眼
伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？
问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？
链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值.5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角教材知识探究周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习.问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？
提示 时针转了－45°，分针转了－540°.1.角的分类注意正角、负角的旋转方向逆时针顺时针没有2.角的加法
(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
(2)设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .α=βα+β相反角-α(-β)3.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 .
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.第几象限角象限S＝{β|β＝α＋k·360°k∈Z}教材拓展补遗
[微判断]
1.经过1小时，时针转过30°.( )
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
2.终边与始边重合的角是零角.( )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.第一象限角都是锐角.( )
提示 390°为第一象限角，但不是锐角.
4.钝角是第二象限角.( )
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.( )
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.×××√×[微训练]
1.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案 四2.与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案 C[微思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等.题型一 与任意角有关的概念辨析
【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
答案 ②⑤(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案 －40°规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二 及应用在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动.终边相同的角的表示【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.题型三 象限角和区间(域)角的应先找到0°～360°范围内与其终边相同的角【例3】 (1)－2 019°是第________象限角.
解析 －2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限角.
答案 二表示(2)已知，如图所示.①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在
阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°
≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
答案 (1)A (2)C一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.相差180°整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.
答案 D3.把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________.
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
答案 144°＋(－3)×360°4.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}5.已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
