5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第一课时 三角函数的定义
课标要求
素养要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.
2.能利用定义解决相关问题.
通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.
教材知识探究
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.
问题 1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
2.如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
提示 1.30秒时h＝h0＋R·sin 30°＝h0＋R；
45秒时h＝h0＋Rsin 45°，t秒时h＝h0＋Rsin t°.
2.能，sin α＝yP，cos α＝xP，tan α＝，改变终边上点的位置，比值不会改变.
1.任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
圆心在坐标原点，半径为1的圆为单位圆
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R；
(2)余弦函数y＝cos x的定义域为R；
(3)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.
教材拓展补遗
[微判断]
1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(×)
提示 角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
2.若角α终边过点(1，3)，则sin α＝.(√)
3.终边在x轴上的角的正切值不存在.(×)
提示 终边在y轴上的角的正切值不存在.
[微训练]
1.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.
解析 易知r＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，故sin α＋cos α＝－.
答案 －
2.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝________.
解析 ∵cos α＝＝，
∴＝5.∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－.
答案 －
[微思考]
1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.
2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？
提示 不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.
题型一 三角函数定义的应用
【例1－1】 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
解 由题意，设点A的坐标为(x，)，所以x2＋()2＝1，
解得x＝或－.
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－.
规律方法 首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.
【例1－2】 已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝________.
解析 易知角α的终边在第一象限或第三象限，
当角α的终边在第一象限时，角α的终边与单位圆的交点P的坐标为，则sin α＝；
当角α的终边在第三象限时，角α的终边与单位圆的交点P′的坐标为，则sin α＝－.
综上可知，sin α＝或sin α＝－.
答案 ±
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线还是应分两种情况处理.
【训练1】 (1)已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
解析 因为(－)2＋(－)2＝1，所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
答案 － －
(2)利用定义求的正弦、余弦和正切值.
解 如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，则|PB|＝，|OB|＝，则P.所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝＝－.
题型二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
【例2】 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin__α＋cos__α的值.
解 r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
规律方法 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【训练2】 已知角α的终边经过点P(5m，12)，且cos α＝－，则m＝________.
解析 r＝＝，cos α＝＝－<0，
∴解得m＝－1.
答案 －1
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.
2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
二、素养训练
1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是( )
A.tan α B.sin α
C.cos α D.都有意义
解析 由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义.
答案 A
2.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( )
A.1 B.－1
C. D.－
解析 ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos α＝＝＝.
答案 C
3.若角α的终边过点(5，12)，则cos α－sin α＝( )
A. B.
C.－ D.－
解析 由题意知r＝＝13，所以，cos α＝，
sin α＝，所以，cos α－sin α＝－，故选C.
答案 C
4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 由三角函数的定义可知sin α>0?a＋2>0，cos α≤0?3a－9≤0，
∴－2
答案 (－2，3]
5.已知角α的终边在射线y＝x(x>0)上，求角α的正弦、余弦和正切值.
解 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则x2＋y2＝1，
又y＝x(x>0)，
解得
于是sin α＝y＝，cos α＝x＝，tan α＝＝.
基础达标
一、选择题
1.已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为( )
A.－ B.－
C. D.
解析 由定义知r＝1，∴sin α＝－，故选B.
答案 B
2.已知角α的终边经过点 P(3，－4)，则sin α＋＝( )
A.－ B.
C. D.
解析 ∵P(3，－4)，∴r＝5，∴sin α＝＝－，cos α＝，∴sin α＋＝
－＋＝，故选D.
答案 D
3.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A.－ B.
C.－4 D.4
解析 cos α＝＝－，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去).
答案 C
4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知α＝，则的终边与单位圆的交点坐标为，故选A.
答案 A
5.角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n等于( )
A.2 B.－2
C.4 D.－4
解析 由题意知?
∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知α的终边过点(－1，)，则tan α＝________.
解析 tan α＝＝＝－.
答案 －
7.已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，则
tan α＝________.
解析 设M(x，y)，∵r＝1，∴sin α＝y＝－，∴x2＝1－y2＝1－＝，∴x＝±，∴tan α＝＝±1.
答案 ±1
8.已知角α的终边经过点(－4，m)且cos α＝－，则sin α＝________.
解析 ∵r＝，∴cos α＝＝－，
∴m＝±3.∴sin α＝±.
答案 ±
三、解答题
9.已知角α的终边上一点P(－，y)，y≠0，且sin α＝y，求cos α，tan α的值.
解 由sin α＝＝y，
得y2＝5，所以y＝±.
当y＝时，cos α＝＝－，tan α＝＝－；当y＝－时，cos α＝＝－，tan α＝＝.
10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋
tan α的值.
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
能力提升
11.若角θ的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求tan θ的值.
(2)求sin θ＋cos θ的值.
解 (1)tan θ＝＝－.
(2)∵θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
∴r＝＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，
∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴sin θ＋cos θ＝－.
当a<0时，r＝－5a，
∴sin θ＝－，cos θ＝，
∴sin θ＋cos θ＝.
12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
解 (1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为
.
(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×sin α＝sin α，
故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.
第二课时 三角函数值的符号及公式一
课标要求
素养要求
1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.
通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
教材知识探究
地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？
问题 如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？
提示 相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等.
1.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
2.公式一 函数名称不变
(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示：
(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.
教材拓展补遗
[微判断]
1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)
2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×)
提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角.
3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√)
4.sin 3>0，cos 4<0.(√)
5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×)
提示 α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.
[微训练]
1.sin 390°的值为( )
A. B.
C. D.－
解析 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝，故选C.
答案 C
2.下列4个实数中，最小的数是( )
A.sin 1 B.sin 2
C.sin 3 D.sin 4
解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D.
答案 D
3.计算：sin(2π＋)＝________，cos＝________.
解析 sin(2π＋)＝sin＝，cos＝cos(6π＋)＝cos＝.
答案
[微思考]
1.三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
2.根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？
提示 不一定，如sin α＝，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z).
题型一 三角函数值在各象限的符号
【例1】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
答案 D
(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4.
解 ①因为191°是第三象限角；
所以tan 191°>0，cos 191°<0.
所以tan 191°－cos 191°>0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
规律方法 三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.
【训练1】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin α·cos·tan(α为三角形的内角).
解 (1)∵<3<π<4<<5<2π，
∴3，4，5分别在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<<，
∴sin α>0，cos>0，tan >0，
∴sin α·cos·tan>0.
题型二 公式一的应用
【例2】 求下列各式的值：
(1)cos＋tan(－)；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
解 (1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)
＝cos＋tan＝＋1＝；
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝.
规律方法 利用公式一化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【训练2】 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
题型三 三角函数值符号与公式一的综合应用
【例3】 确定下列函数值的符号.
(1)tan (－672°)；(2)cos ；(3)tan；
(4)sin 1 480°10′；(5)tan.
解 (1)tan(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan 48°>0.
(2)cos ＝cos＝cos ＝>0.
(3)tan ＝tan ＝tan ＝>0.
(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.
(5)tan ＝tan ＝tan <0.
规律方法 对于绝对值较大的角先利用公式一转化到[0，2π]范围内的角，然后再判断符号.
【训练3】 确定下列三角函数值的符号.
(1)tan 505°；(2)tan ；(3)cos 950°；
(4)sin.
解 (1)tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°<0.
(2)tan ＝tan ＝tan >0.
(3)cos 950°＝cos (950°－3×360°)＝cos (－130°)<0.
(4)sin＝sin＝sin >0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
2.把绝对值较大的角写成k·2π＋α的形式，然后利用公式一转化为较小的角，更有利于判断符号或求函数值.
3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、素养训练
1.sinπ等于( )
A. B.
C.－ D.－
解析 sinπ＝sin(4π＋)＝sin＝.
答案 A
2.cos 1 110°的值为( )
A. B.
C.－ D.－
解析 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
答案 B
3.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.
解析 因为点P(tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限.
答案 二
4.求值：cos＋tan(－)＝________.
解析 原式＝cos(2π＋)＋tan(2π－)
＝cos＋tan＝＋＝.
答案
5.若sin θ·tan θ>0，则θ为第________象限角.
解析 ∵sin θ·tan θ>0，∴sin θ与tan θ同号，所以θ为第一或第四象限角.
答案 一或四
基础达标
一、选择题
1.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；
③tan(－10)；④cos π.
其中符号为负的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ①中，－100°为第三象限角，∴sin(－100°)<0；②cos (－220°)＝cos (－220°＋360°)＝cos 140°<0；③∵－10∈，∴－10为第二象限角，
∴tan (－10)<0；cos π＝－1<0，故选D.
答案 D
2.若sin θA.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角，故选D.
答案 D
3.2cos－3tan的值为( )
A.－ B.－1
C.0 D.
解析 2cos－3tan＝2cos－3tan＝2cos－3tan＝2×－3×＝0.
答案 C
4.当α为第二象限角时，－的值是( )
A.1 B.0
C.2 D.－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴－＝＋＝2，故选C.
答案 C
5.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 cos 2 019°＝cos (2 019°－6×360°)＝cos (－141°)<0，sin 2 019°＝sin(2 019°－6×360°)＝sin(－141°)<0.故选C.
答案 C
二、填空题
6.sin ＋cos －tan 的值为________.
解析 sin ＋cos －tan
＝sin＋cos －tan ＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝.
答案
7.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第________象限角.
解析 ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角.
若α为第一象限角，则sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α>0；若α为第三象限角，则sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α<0.
答案 一
8.已知角A为第三象限角，且＝－sin ，则是第________象限角.
解析 ∵A为第三象限角，∴为第二、四象限角.
又∵＝－sin ，∴sin <0，
∴为第四象限角.
答案 四
三、解答题
9.求下列各式的值：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.
解 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°＋0°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
10.判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan.
解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0，
∴sin 340°cos 265°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角.
∴sin 4<0，tan>0，
∴sin 4tan<0.
能力提升
11.已知＝－，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值.
解 (1)∵＝－，
∴sin α<0，①
由lg(cos α)有意义，
∴cos α>0.②
由①②得，角α在第四象限.
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，
∴m<0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
12.若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号.
解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；
当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin >0.
综上，当a>0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a<0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.
课件29张PPT。5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第一课时 三角函数的定义教材知识探究如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.问题 1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
2.如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？1.任意角的三角函数的定义单位圆圆心在坐标原点，半径为1的圆为单位圆yyxxRR{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}教材拓展补遗
[微判断]
1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.( )
提示 角的三角函数值与点在终边上的位置无关.3.终边在x轴上的角的正切值不存在.( )
提示 终边在y轴上的角的正切值不存在.×√×[微训练]
1.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.[微思考]
1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？
提示 不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.规律方法 首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.【例1－2】 已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝________.规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线还是应分两种情况处理.题型二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
【例2】 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，答案 －1一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.
2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.二、素养训练
1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是( )
A.tan α B.sin α
C.cos α D.都有意义答案 A答案 C答案 C4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 由三角函数的定义可知sin α>0?a＋2>0，cos α≤0?3a－9≤0，∴－2 答案 (－2，3]解 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则x2＋y2＝1，课件28张PPT。第二课时 三角函数值的符号及公式一教材知识探究地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？问题 如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？
提示 相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等.1.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).2.公式一函数名称不变相等sin αcos αtan α教材拓展补遗
[微判断]
1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( )
2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.( )
提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角.
3.终边相同角的同名三角函数的值相等.( )
4.sin 3>0，cos 4<0.( )
5.sin α>0，则α为第一、二象限角.( )
提示 α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.√×√√×答案 C2.下列4个实数中，最小的数是( )
A.sin 1 B.sin 2
C.sin 3 D.sin 4
解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D.
答案 D[微思考]
1.三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.2.根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？题型一 三角函数值在各象限的符号
【例1】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
答案 D(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4.
解 ①因为191°是第三象限角；
所以tan 191°>0，cos 191°<0.
所以tan 191°－cos 191°>0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.∴3，4，5分别在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.题型二 公式一的应用
【例2】 求下列各式的值：(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°规律方法 利用公式一化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.解 (1)tan(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan 48°>0.(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.规律方法 对于绝对值较大的角先利用公式一转化到[0，2π]范围内的角，然后再判断符号.解 (1)tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°<0.(3)cos 950°＝cos (950°－3×360°)＝cos (－130°)<0.一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
2.把绝对值较大的角写成k·2π＋α的形式，然后利用公式一转化为较小的角，更有利于判断符号或求函数值.
3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.答案 A答案 B3.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.
解析 因为点P(tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限.
答案 二5.若sin θ·tan θ>0，则θ为第________象限角.
解析 ∵sin θ·tan θ>0，∴sin θ与tan θ同号，所以θ为第一或第四象限角.
答案 一或四