5.5.2 简单的三角恒等变换
课标要求
素养要求
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.
问题 1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？
2.半角公式是如何推导出来的？
3.半角公式的符号是怎样确定的？
提示 1.是α的半角，α是2α的半角.
2.半角公式的推导是利用公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.
1.半角公式 在利用公式时，注意符号的选取
sin＝±.
cos＝±.
tan＝±(无理形式).
tan＝＝(有理形式).
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sin φ＝，cos φ＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.sin 15°＝±.(×)
提示 sin 15°＝.
2.对于?α∈R，sin＝sin α都不成立.(×)
提示 ∵sin α＝2sincos，只有当cos ＝1时sin＝sin α才能成立.
3.若5π<θ<6π，cos＝a，则cos＝.(×)
提示 ∵∈为第三象限角，
故cos ＝－.
[微训练]
1.化简·的结果为________.
解析 原式＝·＝tan 2α.
答案 tan 2α
2.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.
解析 f(x)＝13
＝13sin(x＋φ)(其中tan φ＝)，
∴f(x)min＝－13.
答案 －13
3.已知sin α＝，cos α＝，则tan＝________.
解析 因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限，所以tan>0，故tan＝＝＝－2.
答案 －2
[微思考]
1.半角公式中的符号是如何确定的？
提示 (1)当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号.
(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
2.sin θ＋sin φ＝2sincos除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？
提示 右边＝2sincos＝2sin·cos＝2·
＝2
＝sin θ·cos2＋sin2sin φ＋cos2sin φ＋sin2sin θ
＝sin θ＋sin φ＝左边.
∴故等式成立.
题型一 利用半角公式求值
【例1】 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，
tan .
解 ∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时，
sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝－＝
－；
当为第四象限角时，
sin＝－＝－，
cos＝＝，
tan＝－＝－.
规律方法 利用半角公式求值的思路
(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.
(4)下结论：结合(2)求值.
【训练1】 已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为( )
A.3 B.－3
C. D.－
解析 ∵3π<θ<，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan＝＝－3.
答案 B
题型二 三角函数式的化简
【例2】 化简：
(－π<α<0).
解 原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0, 所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
规律方法 探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
【训练2】 设α∈(，2π)，化简：.
解 ∵α∈(，2π)，∈，∴cos α>0，cos <0，故原式＝＝＝＝|cos|＝－cos.
题型三 三角恒等式的证明 原则：由繁到简
【例3】 证明：
＝.
证明 左边＝
＝
＝＝＝.
右边＝＝，
所以左边＝右边，即等式成立.
规律方法 探究证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【训练3】 求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
证明 －tan θ·tan 2θ＝－
＝＝＝
＝＝1.
题型四 利用辅助角公式研究函数性质
【例4】 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为
.
规律方法 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
【训练4】 已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解 (1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的集合为.
一、素养落地
1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3.asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ 所在象限由a，b确定，掌握实质并能熟练应用.
二、素养训练
1.若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A. B.
C. D.－
解析 因为α∈，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝＝.
答案 A
2.下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
解析 ＝＝＝tan α.
答案 D
3.设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B.
C.－ D.－
解析 ∵5π<θ<6π，∴<<，
∴sin＝－＝－.
答案 D
4.已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
解析 2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝sin＋1，∴A＝，b＝1.
答案 1
5.化简：＋.
解 原式＝＋
＝＋
＝＋＝＝.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝3sin 4x＋cos 4x的最大值是( )
A. B.2
C.3 D.6
解析 y＝3sin 4x＋cos 4x
＝2
＝2sin，
∴ymax＝2，故选B.
答案 B
2.已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 cos2＝＝＝＝.
答案 D
3.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
解析 sin Asin B＝(1＋cos C)，
即2sin Asin B＝1＋cos C，
∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，
故得cos(A－B)＝1，
又因为A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.
答案 B
4.函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
解析 由题意，得f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.
答案 D
5.若cos α＝－，α是第三象限角，则等于( )
A.－ B.
C.2 D.－2
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴tan ＝＝＝－3，
∴＝＝－.
答案 A
二、填空题
6.化简的结果是________.
解析 ＝
＝＝|sin 1＋cos 1|，
因为1∈(0，)，所以sin 1>0，cos 1>0，
则＝sin 1＋cos 1.
答案 sin 1＋cos 1
7.在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________.
解析 sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1
＝＋2cos2A－1＝－.
答案 －
8.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期为________.
解析 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，
∴T＝π.
答案 π
三、解答题
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝.
证明 因为cos A＝，
所以1－cos A＝，
1＋cos A＝，
所以＝，
而＝＝tan2，
＝＝tan2，
所以tan2＝·tan2，
即＝.
10.已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan的值.
解 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，
所以0<α－β<π，即0<<，
所以cos＝＝＝.
法一 由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.
法二 由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得
sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
能力提升
11.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
则f＝－2sin＝2.
(2)f(x)的最小正周期为π.
由正弦函数的性质，
得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
12.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
解 (1)由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin －R2，θ∈.
(2)因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
课件36张PPT。5.5.2 简单的三角恒等变换教材知识探究同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.问题 1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？
2.半角公式是如何推导出来的？
3.半角公式的符号是怎样确定的？1.半角公式在利用公式时，注意符号的选取×××答案 tan 2α2.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.∴f(x)min＝－13.
答案 －13[微思考]
1.半角公式中的符号是如何确定的？α为第四象限角，答案 B题型二 三角函数式的化简规律方法 探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.题型三 三角恒等式的证明原则：由繁到简所以左边＝右边，即等式成立.规律方法 探究证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.规律方法 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.答案 A答案 D答案 D4.已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
