课件38张PPT。5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象教材知识探究在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
问题 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？
2.如何做出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响左右|φ|2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响缩短伸长3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A](A>0)，最大值为 ，最小值为 .
φ影响了图象的左右平移、ω影响了函数的周期，A影响了函数的最值伸长缩短A-A教材拓展补遗
[微判断]
1.把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.( )
提示 应得到y＝sin(x－2)的图象.
2.把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.( )×√√答案 B2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象.[微思考]
1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？2.由y＝sin x的图象，得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象是否还有其他的变换方法？题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 先列表，后描点并画图.描点画图：(2)要得到的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )答案 (1)D (2)A规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.题型三 三角函数图象的伸缩变换答案 (1)C (2)D答案 C答案 D答案 B答案 B课件40张PPT。第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用教材知识探究在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示.问题 你能根据图象，求出A，ω，φ吗？函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质R［-A，A］kπ(k∈Z)单调递增单调递减教材拓展补遗
[微判断]
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
2.在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.( )
提示 相邻对称轴间距离为半个周期.√×√×答案 π答案 2[微思考]
1.如何由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的值？2.如何求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、对称轴和中心呢？
提示 一般将ωx＋φ看作一个整体，然后借助正弦函数的性质求解.
求单调区间时，若ω<0，则需利用诱导公式化为正值，求最值时，应先确定ωx＋φ的范围，再结合图象求解.题型一 由图象求三角函数的解析式解 法一 (逐一定参法)：法二 (待定系数法)：法三 (图象变换法)：答案 C规律方法 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.题型三 y＝Asin(ωx＋φ)在实际中的应用
【例3】 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化， 以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.人离地面的距离随时间t的变化呈周期变化，且当t＝0时，人与地面最近，故可用余弦函数作为模型(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解 (1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.规律方法 解决实际问题的关键是理清题意，用合适的函数模型描述题中变量间的关系，通过周期确定关系式.【训练3】 一个匀速旋转的摩天轮每12 min转一周，最低点距地面2 m，最高点距地面18 m，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16 min后点P距地面的高度是________m.答案 14答案 D答案 D显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，
只须－2
即－3∴a的取值范围是{a|－3示范(七) 三角函数的性质问题
【典型示例】 (12分)设函数f(x)＝(1)求f(x)的最小正周期③；联想解题
看到①想到利用差角公式展开看到②想到降次，可利用公式2cos2α＝cos 2α＋1转化看到③想到利用asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)的形式(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1④5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
3.能用图象变换画y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
教材知识探究
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
问题 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？
2.如何做出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？
提示 1.在函数y＝Asin(ωx＋φ)中最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝.
2.方法一：五点作图法.方法二：图象的变换.
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A](A>0)，最大值为A，最小值为－A.
φ影响了图象的左右平移、ω影响了函数的周期，A影响了函数的最值
教材拓展补遗
[微判断]
1.把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.(×)
提示 应得到y＝sin(x－2)的图象.
2.把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.(√)
3.函数y＝3cos的最大值为3.(√)
[微训练]
1.为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象.
答案 y＝6sinx
3.将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________.
解析 由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos 2(x－)＝cos(2x－).
答案 y＝cos(2x－)
[微思考]
1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
提示 ∵y＝sin(ωx＋φ)＝
sin ω，
∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移个单位.
2.由y＝sin x的图象，得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象是否还有其他的变换方法？
题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】 已知函数y＝sin.
利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
解 下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象.
令X＝x＋，则x＝2X－.
先列表，后描点并画图.
X
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
规律方法 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值.
【训练1】 请用“五点法”画出函数y＝sin(2x－)的图象.
解 函数y＝sin的周期T＝＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y＝sin(2x－)的图象(图略).
题型二 三角函数图象的平移变换
【例2】 (1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin__2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析 (1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，
∴向左平移个单位.
答案 (1)D (2)A
规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
【训练2】 将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________.
解析 将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
答案 y＝－cos 2x
题型三 三角函数图象的伸缩变换
【例3】 说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解 法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象.
规律方法 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.
【训练3】 (1)为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象( )
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的，横坐标不变
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析 (1)只需将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象，故选C.
(2)C1：y＝cos x＝sin.
y＝sin 2＝sin 2.
答案 (1)C (2)D
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.
2.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)；
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．
二、素养训练
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析 y＝cos(2x＋1)＝cos 2，因此由y＝cos 2x向左平移个单位，故选C.
答案 C
2．要得到y＝sin 2x的图象，只需将函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析 y＝sin＝sin 2y＝sin 2x，故选D.
答案 D
3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为( )
A．2 B.
C．4 D.
解析 由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.
答案 B
4．将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析 因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，故选B.
答案 B
5．要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向________个单位．
解析 y＝sin(－x)―→y＝sin
＝sin，可把y＝sin(－x)的图象向右平移个单位．
答案 右平移
基础达标
一、选择题
1．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝
sin ＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，故选B.
答案 B
2．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.
答案 A
3．有下列四种变换方式：
①向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)；
②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度；
③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度；
④向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)．
其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin(2x＋)的图象的是( )
A.①和② B.①和③
C.②和③ D.②和④
解析 ①向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象；②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin 2＝sin的图象；③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin 2＝sin的图象；④向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象，因此①和②符合题意，故选A.
答案 A
4.要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝
sin的图象上的所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
解析 ∵y＝cos x＝sin，
y＝sin的图象.
答案 C
5.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A.4 B.6
C.8 D.12
解析 y＝f(x)的图象向左平移后得到y＝sin＝sin，其图象与原图象重合，有ω＝2kπ，即ω＝4k(k∈Z).故ω的值不可能为6.
答案 B
二、填空题
6.利用“五点法”作函数y＝2sin(2x－)的图象时，所取的五个点的坐标为________________.
解析 令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是(，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0).
答案 (，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)
7.将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析 将函数y＝sin x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin(x＋φ)的图象，而y＝sin(x－)＝sin(x＋)，所以φ＝.
答案
8.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析 y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sin(x＋)，f()＝.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝3sin(＋)＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
解 (1)列表：
＋
0
π
2π
x
－
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
10.函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象(答案不唯一).
能力提升
11.已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解 (1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，
解得x＝，，，，.
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图.图象如下：
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f(x)的图象.
12.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解 (1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
(2)由题意知f(x)＝2sin 2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
由g(x)＝0得，sin＝－，
解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用
课标要求
素养要求
1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.
2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
教材知识探究
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示.
问题 你能根据图象，求出A，ω，φ吗？
提示 A＝0.5，∵T＝2，∴ω＝π，φ＝.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称中心
(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间；
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
教材拓展补遗
[微判断]
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.(√)
2.在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.(×)
提示 相邻对称轴间距离为半个周期.
3.函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋(k∈Z).(√)
4.函数f(x)＝sin的图象的对称中心是(k∈Z).(×)
提示 由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋kπ(k∈Z)，故对称中心是(k∈Z).
[微训练]
1.函数y＝2cos的最小正周期为________.
解析 T＝＝π.
答案 π
2.函数y＝2sin x向右平移个单位，得到函数f(x)，则f(x)的最大值为________.
解析 由题意知f(x)＝2sin，所以f(x)max＝2.
答案 2
3.若f(x)＝cos(2x＋＋φ)(|φ|<)是奇函数，则φ＝________.
解析 由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝.
答案
4.若f(x)＝2sin的单调递增区间为________.
解析 －＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
答案 (k∈Z)
[微思考]
1.如何由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的值？
提示 在观察图象的基础上，A―→由图象上的最大(小)值确定；ω―→由T＝确定，相邻的两对称轴(中心)间的距离为，相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；φ―→由“五点法”中的点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置.
2.如何求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、对称轴和中心呢？
提示 一般将ωx＋φ看作一个整体，然后借助正弦函数的性质求解.
求单调区间时，若ω<0，则需利用诱导公式化为正值，求最值时，应先确定ωx＋φ的范围，再结合图象求解.
题型一 由图象求三角函数的解析式
【例1】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
解 法一 (逐一定参法)：
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ).
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，
得φ＝＋2kπ(k∈Z).
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
法二 (待定系数法)：
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三 (图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
【训练1】 若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A.ω＝，φ＝
B.ω＝，φ＝
C.ω＝，φ＝
D.ω＝，φ＝
解析 由所给图象可知，＝2，∴T＝8.
又∵T＝，∴ω＝.
∵在x＝1处取得最大值，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵0≤φ<2π，∴φ＝.
答案 C
题型二 y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
【例2】 已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解 (1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z).
(3)sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
规律方法 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.
【训练2】 (1)函数f(x)＝2cos的对称中心的坐标是________.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列为f(x)的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)令2x－＝＋kπ，k∈Z，可解得x＝＋kπ，k∈Z.
即所求函数的对称中心的坐标是(k∈Z).
(2)由T＝－＝，得T＝π＝，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝1，可得sin＝1.因为|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin.所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，结合选项可知为f(x)的单调递减区间，选B.
答案 (1)(k∈Z) (2)B
题型三 y＝Asin(ωx＋φ)在实际中的应用
【例3】 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
人离地面的距离随时间t的变化呈周期变化，且当t＝0时，人与地面最近，故可用余弦函数作为模型
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解 (1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
∴6ω＝π，解得ω＝，
∴y＝40.5－40cos t(t≥0).
(2)令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
规律方法 解决实际问题的关键是理清题意，用合适的函数模型描述题中变量间的关系，通过周期确定关系式.
【训练3】 一个匀速旋转的摩天轮每12 min转一周，最低点距地面2 m，最高点距地面18 m，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16 min后点P距地面的高度是________m.
解析 由题设可知P点距离地面高度h与时间t(min)关系可设为h＝10＋8sin(ωt＋φ)，其中ω＝＝，当t＝0时，10＋8sin φ＝2，即sin φ＝－1，φ＝－，所以h＝10－8cost，当t＝16时，h＝14 m.
答案 14
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
2.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数.
二、素养训练
1.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A.y＝sin
B.y＝sin
C.y＝cos
D.y＝cos
解析 由题图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求.
答案 D
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A.A＝3，T＝
B.A＝3，T＝
C.A＝，T＝
D.A＝，T＝
解析 由题图可知A＝(3－0)＝，设周期为T，则T＝－(－)＝，得T＝.
答案 D
3.在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________.
解析 由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即(，0)离原点最近.
答案 (，0)
4.已知方程2sin(2x＋)－1＝a，x∈[－，]有两解，求a的取值范围.
解 由题意2sin(2x＋)＝a＋1.
令y＝2sin(2x＋)，y＝a＋1，
作出函数y＝2sin(2x＋)在[－，]上的图象如图.
显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，
只须－2即－3∴a的取值范围是{a|－3三、审题答题
示范(七) 三角函数的性质问题
【典型示例】 (12分)设函数f(x)＝sin①－2cos2＋1②.
(1)求f(x)的最小正周期③；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1④对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值.
联想解题
看到①想到利用差角公式展开
看到②想到降次，可利用公式2cos2α＝cos 2α＋1转化
看到③想到利用asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)的形式
看到④想到对称性的应用，一是想到利用对称求g(x).二是可以利用对称把转化到上f(x)的最值.
满分示范
解 (1)f(x)＝sincos－cossin－cos
＝sin－cos＝sin.3分
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.5分
(2)区间关于x＝1的对称区间为，
7分
因为y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值.9分
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
所以sin≤sin ，11分
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin＝.12分
满分心得
1.此类问题解法的一般步骤
第一步：化成统一形式，将函数f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式；
第二步：求f(x)的最小正周期，利用公式T＝求f(x)的最小正周期；
第三步：确定ωx＋φ的取值范围，利用已知条件由x的取值范围得到ωx＋φ的取值范围；
第四步：求f(x)的最大值，利用正弦函数的单调性求f(x)的最大值.
2.此类问题要求较强的逻辑推理能力和运算能力，解答时应注意细节，防止失分.
基础达标
一、选择题
1.已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.ω＝1，φ＝
B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝2，φ＝
D.ω＝2，φ＝－
解析 依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.
又sin＝sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
由|φ|<，得φ＝－.故选D.
答案 D
2.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)
解析 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
答案 B
3.把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数
D.偶函数
解析 y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数.
答案 D
4.将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C.0 D.－
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin(2x＋φ＋)的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
答案 B
5.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在单调递减
解析 函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.
答案 D
二、填空题
6.已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z).
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
答案
7.函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________.
解析 平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)，又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
答案
8.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
解析 由题图可知＝－＝，T＝，
则可补全函数图象得f＝0，
故f为函数的一个中心对称点，
所以得f(0)＝－f＝.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间.
解 (1)由题图知T＝－＝，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.
(2)由(1)知ω＝＝2.又2×＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又
－<φ<，∴φ＝，A＝1.则f(x)＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
10.已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0).
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解 (1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16.即＝16，∴ω＝，∴y＝sin.
又图象过最高点(2，)，∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].
能力提升
11.已知函数f(x)＝Asin
(A>0，ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求函数y＝f(x)在[0，π]上的单调增区间.
解 (1)由题图象可得，A＝2，＝－＝＝，解得ω＝2.
所以f(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又因为x∈[0，π]，所以函数y＝f(x)在[0，π]上的单调增区间为和.
12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2).
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.
解 (1)由题意作出f(x)的简图如图.
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2].
