课件34张PPT。5.3 诱导公式
第一课时 公式二、三、四教材知识探究南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
提示 π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称.1.诱导公式二角π＋α可以看作是角α的终边按逆时针方向旋转角π得到的原点sin αcos αtan α2.诱导公式三x轴sin αcos α3.诱导公式四 利用公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数y轴sin αcos αtan α教材拓展补遗
[微判断]
1.诱导公式中角α是任意角.( )
提示 正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin α.( )提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 提示 sin(180°－200°)＝sin 200°.
5.若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β.( )××√×√[微训练]
1.下列式子中正确的是( )
A.sin(π－α)＝－sin α
B.cos(π＋α)＝cos α
C.cos α＝sin α
D.sin(2π＋α)＝sin α答案 D2.化简cos(3π－α)＝( )
A.cos α B.－cos α
C.sin α D.－sin α
解析 cos (3π－α)＝cos [2π＋(π－α)]＝cos (π－α)＝－cos α.
答案 B答案 D解析 (1)sin(1＋π)＝－sin 1.
(2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°.[微思考]
公式四除了利用π－α的终边与α的终边关于y轴对称推导外，还可以如何推导？
提示 借助公式二、三，如：sin(π－α)
＝sin [π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α. 题型一 利用诱导公式求三角函数值【例1】 (1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°答案 1规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.解 (1)法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.求值问题题型二 利用诱导公式化简答案 0规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.【迁移1】 将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？规律方法 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养.
2.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正→大化小→化成锐角再查表
3.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.答案 A2.若cos α＝m，则cos (－α)＝( )
A.m B.－m
C.|m| D.m2
解析 cos (－α)＝cos α＝m，故选A.
答案 A3.若tan α＝4，则tan (π－α)＝( )
A.π－4 B.4π
C.－4 D.4－π
解析 tan (π－α)＝－tan α＝－4，故选C.
答案 C答案 B5.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________.5.3 诱导公式
第一课时 公式二、三、四
课标要求
素养要求
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
提示 π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称.
1.诱导公式二 角π＋α可以看作是角α的终边按逆时针方向旋转角π得到的
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α
2.诱导公式三
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan α
3.诱导公式四 利用公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α
教材拓展补遗
[微判断]
1.诱导公式中角α是任意角.(×)
提示 正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin α.(×)
提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
3.cosπ＝－.(√)
4.sin(180°－200°)＝－sin 200°.(×)
提示 sin(180°－200°)＝sin 200°.
5.若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β.(√)
[微训练]
1.下列式子中正确的是( )
A.sin(π－α)＝－sin α
B.cos(π＋α)＝cos α
C.cos α＝sin α
D.sin(2π＋α)＝sin α
解析 对于选项A，令α＝，得sin(π－α)＝sin＝1≠－sin，所以A错误；对于选项B，令α＝0，得cos(π＋α)＝cos π＝－1≠cos 0，所以B错误；对于选项C，令α＝0，得cos α＝cos 0＝1≠sin 0，所以C错误.
答案 D
2.化简cos(3π－α)＝( )
A.cos α B.－cos α
C.sin α D.－sin α
解析 cos (3π－α)＝cos [2π＋(π－α)]＝cos (π－α)＝－cos α.
答案 B
3.计算：sin 210°＝( )
A. B.－
C. D.－
解析 sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D.
答案 D
4.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上.
(1)sin (1＋π)＝________.
(2)cos 210°＝________.
(3)tan ＝________.
解析 (1)sin(1＋π)＝－sin 1.
(2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°.
(3)tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan .
答案 (1)－sin 1 (2)－cos 30° (3)－tan
[微思考]
公式四除了利用π－α的终边与α的终边关于y轴对称推导外，还可以如何推导？
提示 借助公式二、三，如：sin(π－α)
＝sin [π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α.
题型一 利用诱导公式求三角函数值
【例1】 (1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；
解析 sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝；
cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
答案 －
(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________.
解析 原式＝－sin－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋cos＝＋＝1.
答案 1
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【训练1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°).
解 (1)法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一 cos＝cos＝cos
＝cos(π＋)＝－cos＝－.
法二 cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
题型二 利用诱导公式化简求值问题
【例2】 (1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________.
解析 原式＝cos＋cos＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0.
答案 0
(2)化简：.
解 原式＝＝·＝1.
规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
【训练2】 化简下列各式：
(1)；
(2).
解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
题型三 给值(或式)求值问题
【例3】 已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值.
解 因为cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2[－(－α)]＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－.
【迁移1】 将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解 由题意知cos(＋α)＝，求cos(－α)＋sin2(α＋)的值.
因为cos(－α)＝cos[π－(＋α)]＝－cos(＋α)＝－，
sin2(α＋)＝1－cos2(＋α)＝1－()2＝，
所以，cos(－α)＋sin2(α＋)＝－＋＝.
【迁移2】 例3题中的条件不变，求cos(－α)－sin2(α－)的值.
解 cos(－α)－sin2(α－)
＝cos[π＋(－α)]－sin2[(α－)－2π]
＝－cos(－α)－sin2(－α)＝－－＝－.
规律方法 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【训练3】 已知＝3，求tan (5π－α)的值.
解 ∵
＝
＝＝3.
∴sin α＝－.
∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝，
当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－.
又tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝±.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养.
2.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正―→大化小―→化成锐角再查表
3.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.
二、素养训练
1.sin 225°＝( )
A.－ B.
C. D.－
解析 sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－，故选A.
答案 A
2.若cos α＝m，则cos (－α)＝( )
A.m B.－m
C.|m| D.m2
解析 cos (－α)＝cos α＝m，故选A.
答案 A
3.若tan α＝4，则tan (π－α)＝( )
A.π－4 B.4π
C.－4 D.4－π
解析 tan (π－α)＝－tan α＝－4，故选C.
答案 C
4.cos ＝，则cos ＝( )
A. B.－
C. D.－
解析 cos ＝cos [π－]
＝－cos ＝－，故选B.
答案 B
5.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________.
解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝－＝，即a＝－.
答案 －
基础达标
一、选择题
1.sin 570°的值是( )
A.－ B.
C. D.－
解析 sin 570°＝sin(360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.
答案 A
2.tan 300°＋sin 450°的值是( )
A.－1＋ B.1＋
C.－1－ D.1－
解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1.
答案 D
3.已知sin(π－α)＝，则sin(α－2 017π)的值为( )
A. B.
C. D.－
解析 由sin(π－α)＝sin α得sin α＝，
所以sin(α－2 017π)＝sin[(α－π)－2 016π]＝sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α＝－.
答案 D
4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)
＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝.
答案 B
5.tan(5π＋α)＝m(m≠±1)，则的值为( )
A. B.
C.－1 D.1
解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝.
答案 A
二、填空题
6.若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________.
解析 由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－.
答案 －
7.的值是________________.
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
答案 －2
8.若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－
＝－(α为第四象限角).
答案 －
三、解答题
9.化简下列各式：
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°).
解 (1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10.已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π).
解 由tan(π＋α)＝－，得tan α＝－，
(1)原式＝
＝＝
＝＝－.
(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)
＝sin(α－π)·cos(α＋π)
＝－sin α(－cos α)
＝sin αcos α＝
＝＝－.
能力提升
11.若cos(α－π)＝－，求
的值.
解 原式＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴α为第一象限角或第四象限角.
当α为第一象限角时sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
∴原式＝－.
当α为第四象限角时sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12.已知f(x)＝(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f.
解 (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)知f＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2(π＋)＝sin2＝.
第二课时 公式五、六
课标要求
素养要求
1.在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝.
问题 1.六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？
2.你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？
提示 1.六组诱导公式均可以写成±α(k∈Z)的形式.
2.cos (π＋α)＝cos ＝－cos α，k＝2时函数名称不变、符号把α看作锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负.故得到cos (π＋α)＝－cos α.
1.诱导公式五、六 函数名改变，符号看象限
2.公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值.
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
教材拓展补遗
[微判断]
1.cos ＝cos α.(×)
提示 cos ＝cos ＝sin α.
2.sin＝－cos α.(×)
提示 sin＝cos α.
3.若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(√)
4.若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(√)
[微训练]
1.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝( )
A.a B.－a
C.a2 D.
解析 cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a，故选A.
答案 A
2.已知sin＝，那么cos α＝________.
解析 sin＝sin＝cos α＝.
答案
3.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
解析 cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝
cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°
＝1＋1＋…＋1,sup6(,44个))＋cos245°＝44.5.
答案 44.5
[微思考]
你能利用诱导公式化简：
(1)sin；(2)cos 吗？
提示 (1)sin＝sin(π＋＋α)＝－sin(＋α)＝－cos α
(2)cos ＝cos ＝－cos＝－sin α.
题型一 利用诱导公式求值 观察角之间的关系
【例1】 已知cos＝，≤α≤，求sin的值.
解 ∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.
规律方法 求值问题中角的转化方法
【训练1】 已知cos(－α)＝，求下列各式的值：
(1)sin(＋α)；(2)sin(α－).
解 (1)sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝.
(2)sin(α－)＝sin[－－(－α)]＝－sin[＋(－α)]＝－cos(－α)＝－.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例2】 求证：＝－tan α.
证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边.
∴原等式成立.
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【训练2】 求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用
【例3】 已知cos α＝－，且α为第三象限角.
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值. 注意先化简再求值
解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α＝＝(－)2×(－)＝－.
【迁移】 本例条件不变，求f(α)
＝的值.
解 f(α)＝＝sin α＝－.
规律方法 用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.
【训练3】 例3条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值.
解 由题意知m2＋()2＝1，
解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m<0，
所以m＝－，
所以sin α＝，cos α＝－.
原式＝＝＝－.
一、素养落地
1.本节课重点提升逻辑推理、数学运算、数学抽象核心素养.
2.诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.即“奇变偶不变，符号看象限”.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
二、素养训练
1.已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B.－
C.－ D.
解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
答案 B
2.若sin(θ＋)>0，cos>0，则角θ的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵sin＝－cos θ>0，
∴cos θ<0.
cos＝sin θ>0，θ为第二象限角.
答案 B
3.如果cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
解析 cos＝－sin α.
∵α是第四象限角，且cos α＝，
∴sin α＝－＝－＝－，
∴cos＝－sin α＝.
答案
4.已知cos α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析 sincostan(π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案
5.化简：.
解 原式＝
＝＝－sin θ.
基础达标
一、选择题
1.sin 165°等于( )
A.－sin 15° B.cos 15°
C.sin 75° D.cos 75°
解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°.
答案 D
2.已知sin(α＋)＝，则cos(－α)的值为( )
A. B.
C. D.－
解析 cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝.
答案 C
3.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A.－a B.－a
C.a D.a
解析 由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，
原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.
答案 B
4.已知sin＝，α∈，则tan α等于( )
A.－2 B.2
C.－ D.
解析 由sin＝得cos α＝，又α∈，故sin α＝－，∴tan α＝＝－2.
答案 A
5.α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，
tan α－6sin β＝1②，
①式×2＋②式可得tan α＝3，
即sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，
故可解得sin α＝.
答案 C
二、填空题
6.若cos α＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________.
解析 由题意得sin α＝－＝－，
所以cos(α＋)＝－sin α＝.
答案
7.化简＝________.
解析 原式＝
＝＝－1.
答案 －1
8.已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，
∴原式＝＝＝＝2.
答案 2
三、解答题
9.已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值.
解 ∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin＝sin θ＋cos θ＝，
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×＝.
10.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值.
解 因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin α＝－，又因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－.所以tan α＝.
故原式＝
＝tan α＝.
能力提升
11.已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)若cos (α－)＝，求f(α)；
(2)若α＝－1 920°，求f(α).
解 (1)f(α)＝
＝
＝＝＝－cos α.
因为cos ＝cos ＝－sin α＝，故sin α＝－，由α是第三象限角可得cos α＝－，所以f(α)＝－cos α＝.
(2)因为f(α)＝－cos α，
所以f(－1 920°)＝－cos α(－1 920°)＝－cos 1 920°＝－cos (5×360°＋120°)＝－cos 120°＝－cos (180°－60°)＝cos 60°＝.
12.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立.
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.
解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，
所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合.
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合.
综上所述，存在α＝，β＝满足条件.
课件30张PPT。第二课时 公式五、六教材知识探究同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝.
问题 1.六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？
2.你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？1.诱导公式五、六函数名改变，符号看象限cos αsin α-sin α2.公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值.
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.3.若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.( )××√√解析 cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a，故选A.
答案 A3.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
解析 cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝
cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°
答案 44.5题型一 利用诱导公式求值观察角之间的关系题型二 利用诱导公式证明恒等式∴原等式成立.规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.∴左边＝右边，故原等式成立.的值. 注意先化简再求值因为α为第二象限角，故m<0，答案 B∴cos θ<0.答案 B
