沪科版数学八年级上册同步课时训练
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
自主预习 基础达标
要点1 线段垂直平分线的作法
可以通过折纸，也可以用刻度尺量出线段的 ；用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的 ；还可以用 ，作出线段的垂直平分线.
要点2 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到 的距离相等；可用来证明两线段相等.
要点3 线段垂直平分线的判定
1. 到线段两端距离相等的点在线段的 上.
2. 作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段 、 .
3. 拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离 ，这个点叫这个三角形的外心.
课后集训 巩固提升
1. 如图所示的尺规作图是作( )
A. 线段的垂直平分线 B. 一个定值半径的圆
C. 一条直线的平行线 D. 一个角等于已知角
第1题 第2题
2. 如图，在四边形ABCD中， AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A. AB＝AD B. CA平分∠BCD
C. AB＝BD D. △BEC≌△DEC
3. 如图所示，Rt△ABC的斜边AB的中点为E，DE⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC等于( )
A. 70° B. 48° C. 45° D. 60°
第3题 第4题
4. 如图所示，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. AC，BC两边高线的交点处 B. AC，BC两边中线的交点处
C. AC，BC两边垂直平分线的交点处 D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处
5. 如图所示，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A. AB垂直平分CD B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分∠ACB
第5题 第6题
6. 如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A. △ABC三边垂直平分线的交点 B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点 D. △ABC三条中线的交点
7. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是( )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°
第7题 第8题
8. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ .
9. 如图，在△ABC中，直线DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ .
10. 已知线段AB及一点P，PA＝PB，则点P在 上.
11. 如图，点O是△ABC的边AB，BC，AC的垂直平分线的交点，∠BAC＝60°，连接BO，CO，则∠BOC的度数为 .
12. 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BE＝CD，且BD与CE相交于点O.
求证：点O在线段BC的垂直平分线上.
13. 如图，已知DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，DE＝DF.
求证：AD垂直平分EF.
14. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线，分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.
求证：AE＝AF.
15. 如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的AB上分别画出点P，Q的位置.
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？
(3)在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请说明理由.
(4)在公路AB上是否存在一点C，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离之和最小？如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请说明理由.
(5)在公路AB上是否存在一点D，使汽车行驶到该点时，与M，N的距离之差最大？如果存在，请在图中的AB上画出此点；如果不存在，请说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 中点 垂直平分线 尺规作图
要点2 线段两端
要点3 1. 垂直平分线 2. 垂直 相等 3. 相等
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C
8. 50°
9. 23cm
10. 线段AB的垂直平分线
11. 120°
12. 证明：在△EBC与△DCB中，∵∴△EBC≌△DCB，∴∠BEC＝∠CDB.在△BOE和△COD中，∵∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上.
13. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE＝DF，AD＝AD.∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF.∴点A在线段EF的垂直平分线上.又∵DE＝DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上.∴AD垂直平分EF.
14. 证明：∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，∵对角线AC的中点为O，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∵∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.又∵AC⊥EF，∴AC垂直平分EF.∴AE＝AF.
15. 解：如图所示.(1)分别过M，N作MP⊥AB，NQ⊥AB，垂足分别为P，Q，则P，Q即为所求.
(2)当汽车在AP段上行驶时，距离M，N两村庄都越来越近；在线段PQ上行驶时，距离村庄N越来越近，距离村庄M越来越远.
(3)存在.连接MN，作线段MN的垂直平分线，交AB于点H，汽车在此点与村庄M，N的距离相等.
(4)存在.设MN与AB交于点C，在此点时，汽车与村庄M，N的距离之和最小.
(5)存在.作点M关于直线AB的对称点M′，连接NM′并延长交AB于点D，则在此点汽车与村庄M，N的距离之差最大.
