2.5 一元二次方程
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有________未知数（一元），并且未知数的最高次数是________（二次）的________方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：________（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是________方程；
(2)必须只含有________个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是________.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的________就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的________.
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：
降次——转化思想，即把一元二次方程转化为________来求解.
a、________法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
b、________法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程________实根．
3、公式法：利用________公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法. 它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x=________ （b2-4ac≥0）
4、________法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法. 这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：________
1、Δ＞0?方程有________的实数根；
2、Δ＝0?方程有________的实数根；
3、Δ＜0?方程________实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
________，________
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
五、一元二次方程的实际应用
1、________题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、________未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出________的关系
4、________出一元二次方程；
5、________方程；
6、________并写出________语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则/a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝________-成本；
②利润率＝/ ×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一： 一元二次方程的判断
下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C.（x+1）（x﹣2）=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
变式跟进1关于的方程是一元二次方程，则=__________.
考点二：一元二次方程的解法
一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
变式跟进2在正数范围内有一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解是 （ ）
A. B. C. D.
方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
变式跟进3已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（ ）
A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0
考点三： 根的判别式
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根
变式跟进4已知关于的方程无实数根
（1）求的取值范围；
（2）判断关于的方程是否有实数根。
考点四： 根的系数的关系
已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A. / B. / C. / D. /
变式跟进5已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．
考点五： 一元二次方程的实际应用
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
变式跟进6在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的5000元/m2下降到5月分的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
一、选择题
1、（2017·嘉兴）用配方法解方程 /时，配方结果正确的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
2、（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ）
A、2 B、0 C、1 D、2或0
3．（2018·青海）关于一元二次方程
??
2
?2???1=0根的情况，下列说法正确的是( )
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2018?湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
5．（2018?大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
/
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
6．（2019·营口）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
7．（2019?贵港）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
二、填空题
9、（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
10、（2017?荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， 则x12+x22=________．
11．（2018?资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
12．（2018?益阳）规定：?????=
??+??
??，如：2?3=
2+3
×3=15，若2???=3，则??＝__.
13．（2018?黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
14．（2019?娄底）已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．
15．（2019?山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
/
16．（2019?宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
/
三、解答题
17、（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
18．（2018?绥化）已知关于x的一元二次方程
??
2
?5??+2??=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当??=
5
2
时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．
19．（2019?鄂州）已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
20．（2019·宜昌）公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块，生产了万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块．这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的．
（1）求年甲类芯片的产量；
（2）公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片．从年起逐年扩大“”芯片的产量，年、年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年，丙类芯片三年的总产量达到亿块．这样，年的公司的手机产量比年全年的手机产量多，求丙类芯片年的产量及的值．
一、选择题
1．（2018?长沙模拟）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
2．（2018?镇江模拟）对实数a、b定义新运算“*”如下：?????=
??(??≥??)
??(??，如3*2=3，(?
5
)?
2
=
2
．若x2+x﹣2=0的两根为x1，x2，则x1*x2是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
3．（2018?商丘模拟）关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4．（2018?山西模拟）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（ ）
/
A．
??(???1)
2
=465 B．
??(??+1)
2
=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465
5．（2019·济南模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1
6．（2019?重庆模拟）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式﹣2a2+6a+2019的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
7．（2019?临沧模拟）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）
A． B． C． D．或
8．（2019?遵义模拟）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
/
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2018?十堰一模）方程2x2﹣6=0的解是_____．
10．（2018?北京模拟）若将方程x2+2x﹣1=0配方成（x+a）2=h的形式，则a+h的值是_____．
11．（2018?锦州二模）阅读材料：设一元二次方程??
??
2
+????+??=0的两根为
??
1
，
??
2
，则两根与方程系数之间有如下关系：
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
?
??
2
=
??
??
.根据此材料填空：已知
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
?2???1=0的两个实数根，则
??
2
??
1
+
??
1
??
2
的值为______．
12．（2018?邵阳冲刺）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 ________? ．
13．（2019?平顶山模拟）若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为______．
14．（2019?南京模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为___．
15．（2019?合肥模拟）甲、乙两同学分别解同一个二次系数为1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，乙把常数看错了，解得两根为1+和1﹣，则原方程是_____．
16．（2019?哈尔滨模拟）某商品每件元，经过两次降价后，售价为元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件________元
三、解答题
17．（2018?重庆模拟）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．
（1）康福特公司2016年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2018年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；
（2）2018年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？
18．（2018?南京二模）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件.根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出________件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
19．（2019?南阳模拟）阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
20．（2019?扬州模拟）临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0（1）零售单价降价后，每只利润为 元，该店每天可售出 只粽子.
（2）在不考虑其他因素的条件下，当零售单价下降多少元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多？
/
2.5 一元二次方程
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是整式方程；
(2)必须只含有1个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是2.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：
降次——转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
a、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
b、配方法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程无实根．
3、公式法：利用求根公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法. 它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x= （b2-4ac≥0）
4、因式分解法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法. 这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：
1、Δ＞0?方程有两个不相等的实数根；
2、Δ＝0?方程有两个相等的实数根；
3、Δ＜0?方程没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
，
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
五、一元二次方程的实际应用
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出一元二次方程；
5、解方程；
6、检验并写出答语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则/a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝售价-成本；
②利润率＝/ ×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一： 一元二次方程的判断
下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C.（x+1）（x﹣2）=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
【答案】C
【解析】A. 是分式方程，故此选项错误；
B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
C. 是一元二次方程，故此选项正确；
D. 是二元二次方程，故此选项错误；
故选：C.
【点评】利用一元二次方程的定义进行辨别即可.
变式跟进1关于的方程是一元二次方程，则=__________.
【答案】3
【解析】根据题意得，|m?1|=2，且m+1≠0，
解得：m=3，
∴m的值为3.
【点评】利用一元二次方程的满足的三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2，即可列出条件组解答.
考点二：一元二次方程的解法
一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：=25，
x=±5，
所以.
故选C.
【点评】利用直接开平方法或因式分解法进行求解.
变式跟进2在正数范围内有一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据规则，方程x※（x+1）=5变形为/，∴/，
∴，
∴， ．
故选C．
【点评】借助新运算，建立一元二次方程，并利用因式分解法求解.
方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】解：移项得2x2-3x=-1，
把二次项系数化为1，x2-x=-，
配方得x2-x+=-+即，
故选C．
【点评】利用配方法进行恒等变形.
变式跟进3已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（ ）
A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0
【答案】A
【解析】解：已知m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，可得m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，再由（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，因a≥2，所以当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2-3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．
【点评】利用根与系数的关系，将所求式子用含a的式子表达出来，并利用配方法求出最值.
考点三： 根的判别式
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根
【答案】D
【解析】解：∵△=b2?4ac=(k?1)2?4×(?k)=(k+1)2?0，
∴方程总有两个实数根。
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0，?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，?方程有两个相等的实数根；（3）△<0，?方程没有实数根.
变式跟进4已知关于的方程无实数根
（1）求的取值范围；
（2）判断关于的方程是否有实数根。
【答案】（1） ；（2）有两个不相等的实数根
【解析】解：根据题意得，
故；
故原方程有两个不相等的实数根
【点评】（1）根据判别式的意义得到△=（m+1）2-4?m2<0，然后解不等式即可；（2）先计算出判别式的值，然后根据m的范围判断判别式的符号，再利用判别式的意义判断方程根的情况．
考点四： 根的系数的关系
已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A. / B. / C. / D. /
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程3x2=6﹣2x中，a=3,b=2,c=-6,且x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1x2= ,x1+x2=
∴x1﹣x1x2+x2= .
故选D.
【点评】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
变式跟进5已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．
【答案】7
【解析】解：∵一元二次方程x2+7x?1=0的两个实数根为α、β，
∴α+β=?7，α?β=?1，
∵(α?1)(β?1)=α?β?α?β+1=?1+7+1=7，
故答案为：7.
【点评】先利用根与系数的关系α+β与α?β的值，再将所求的代数式进行计算后代入求值即可.
考点五： 一元二次方程的实际应用
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
【答案】512
【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=?9(舍去).
64+64×7=512(人).
经过第三轮后，共有512人患有流感。
故答案为：512.
【点评】利用平均增长率公式即可列出方程，并求解.
变式跟进6在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的5000元/m2下降到5月分的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
【答案】（1）10%；（2）会跌落10000元/m2.
【解析】解：（1）设4，5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，
得14000（1－x）2=11340
化简，得（1－x）2=0.81
解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）.
答:4、5两月平均每月降价的百分率为10%.
（2）估计7月份该市的商品房成交均价会跌落10000元/m2.理由如下：
如果按此降低的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为：
11340（1-x）2=11340×0.92=9185.4＜10000.
由此可知7月份该市的商品房成交均价会跌落10000元/m2.
【点评】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为/，5月份的房价为/，然后根据5月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出7月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．
一、选择题
1、（2017·嘉兴）用配方法解方程 /时，配方结果正确的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】B
【解析】解：方程两边都“+2”，得
x2+2x+1=2,
则（x+1）2=2.
故选B.
【点评】根据完全平方根式(a+b)2=a2+2ab+b2 ， 配上“b2”即可.
2、（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ）
A、2 B、0 C、1 D、2或0
【答案】B
【解析】解：设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据题意得x1+x2=0，
所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
【点评】设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．
3．（2018·青海）关于一元二次方程
??
2
?2???1=0根的情况，下列说法正确的是( )
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】根据根的判别式进行求解即可得答案.
解：??=1，??=?2，??=?1，
△=
??
2
?4????=(?2
)
2
?4×1×(?1)=8>0，
一元二次方程
??
2
?2???1=0有两个不相等的实数根，
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
4．（2018?湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣
??
??
，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．
5．（2018?大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
/
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10?2x）cm，宽为（6?2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10?2x）cm，宽为（6?2x）cm，
根据题意得：（10?2x）（6?2x）＝32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2019·营口）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
【答案】C
【解析】利用根的判别式列出不等式，求解集即可.
解：∵关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根
∴
解得：k≥﹣
故选C
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与的关系是解题关键.
7．（2019?贵港）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解；
解：，是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∵，
∴；
故选：B.
【点评】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
8．（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【答案】B
【解析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选：B．
【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解.
二、填空题
9、（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】k＞ /且k≠1
【解析】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞ /且k≠1．
故答案为：k＞ /且k≠1．
【点评】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
10、（2017?荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， 则x12+x22=________．
【答案】23
【解析】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， ∴x1+x2=﹣5，x1?x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（﹣5）2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【点评】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣5、x1?x2=1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2中，即可求出结论．
11．（2018?资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
【答案】2
【解析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2，
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
12．（2018?益阳）规定：?????=
??+??
??，如：2?3=
2+3
×3=15，若2???=3，则??＝__.
【答案】1或-3
【解析】根据a?b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：1或-3．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
13．（2018?黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【答案】16
【解析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
14．（2019?娄底）已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．
【答案】
【解析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．
解：设方程的另一个根为c，
∵，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
15．（2019?山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
/
【答案】（12-x）（8-x）=77
【解析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
解：道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为：(12-x)(8-x)=77.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
16．（2019?宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
/
【答案】②．
【解析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
解：即， 构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 据此易得． 故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
三、解答题
17、（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
【答案】x1=0,x2=4.
【解析】解：（x-3）(x-1)=3
x2-4x+3=3，
x2-4x=0，
x(x-4)=0,
x1=0,x2=4.
【点评】方程右边不是0，∴要将方程左边化简，最终可因式分解得x(x-4)=0,即可解出答案.
18．（2018?绥化）已知关于x的一元二次方程
??
2
?5??+2??=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当??=
5
2
时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．
【答案】(1)??≤
25
8
；(2)该矩形外接圆的直径是
15
.
【解析】(1)由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；
(2)由根与系数的关系可得
??
1
+
??
2
=5、
??
1
??
2
=5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．
解：(1)∵方程有实数根，
∴△=(?5
)
2
?4×1×2??≥0，
??≤
25
8
，
∴当??≤
25
8
时，原方程有实数根；
(2)当??=
5
2
时，原方程可化为：
??
2
?5??+5=0，
设方程的两个根分别为
??
1
、
??
2
，则
??
1
+
??
2
=5，
??
1
?
??
2
=5，
∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，
/
∴AC=
??
1
2
+
??
2
2
=
(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
=
5
2
?2×5
=
15
，
∴该矩形外接圆的直径是
15
.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、矩形与圆的关系，熟练掌握根与系数的关系和利用完全平方公式变形求值是解题的关键．
19．（2019?鄂州）已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．
解：(1)解：∵原方程有实数根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
20．（2019·宜昌）公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块，生产了万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块．这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的．
（1）求年甲类芯片的产量；
（2）公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片．从年起逐年扩大“”芯片的产量，年、年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年，丙类芯片三年的总产量达到亿块．这样，年的公司的手机产量比年全年的手机产量多，求丙类芯片年的产量及的值．
【答案】（1）万块；（2）丙类芯片年的产量为万块，．
【解析】（1）设年甲类芯片的产量为万块，由题意列出方程，解方程即可；
（2）2018年万块丙类芯片的产量为万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为万块，则，解得：，得出丙类芯片年的产量为万块，年公司手机产量为万部，由题意得出，设，化简得：，解得：，或（舍去），即可得出答案．
解：（1）设年甲类芯片的产量为万块，
由题意得：，
解得：；
答：年甲类芯片的产量为万块；
（2）年万块丙类芯片的产量为万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为万块，
则，
解得：，
丙类芯片年的产量为万块，
年公司手机产量为万部，
，
设，
化简得：，
解得：，或（舍去），
，
，
；
答：丙类芯片年的产量为万块，．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．
一、选择题
1．（2018?长沙模拟）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
【答案】C
【解析】解一元二次方程，求根，再利用三角形边的性质求解.
解：x2﹣5x+6=0，解得x1=2,x2=3,所以三角形周长是4+5+2=11,4+5+3=12，故选C.
【点评】一元二次方程的解法（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.
2．（2018?镇江模拟）对实数a、b定义新运算“*”如下：?????=
??(??≥??)
??(??，如3*2=3，(?
5
)?
2
=
2
．若x2+x﹣2=0的两根为x1，x2，则x1*x2是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【答案】A
【解析】首先解方程求得方程的两个解，根据已知条件可以得到：x1*x2的值是两个根中的最大的一个．
解：由方程x2+x﹣2=0得到（x+2）（x﹣1）=0，
解得x1=﹣2，x2=1，
∵a*b=
??
??≥??
??
??＜??
，
∴x1*x2=1．
故选：A．
【点评】考查了一元二次方程的解法，关键是理解a*b=a（a≥b）或者a*b=b（a＜b）．
3．（2018?商丘模拟）关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】B
【解析】由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．
解：（1）若r=0，x=
1
2
，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x1+x2=﹣
??+2
??
，x1x2=
???1
??
；
消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1=7，即（2x1﹣1）（2x2﹣1）=7．
∵7=1×7=（﹣1）×（﹣7），∴①
&2
??
1
?1=1
&2
??
2
?1=7
，解得：
&
??
1
=1
&
??
2
=4
，∴1×4=
???1
??
，解得：r=﹣
1
3
；
②
&2
??
1
?1=7
&2
??
2
?1=1
，解得：
&
??
1
=4
&
??
2
=1
；同理得：r=﹣
1
3
；
③
&2
??
1
?1=?1
&2
??
2
?1=?7
，解得：
&
??
1
=0
&
??
2
=?3
，r=1；
④
&2
??
1
?1=?7
&2
??
2
?1=?1
，解得：
&
??
1
=?3
&
??
2
=0
，r=1；
∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根的r值是﹣
1
3
或1．
故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．
4．（2018?山西模拟）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（ ）
/
A．
??(???1)
2
=465 B．
??(??+1)
2
=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465
【答案】A
【解析】因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可.
解：设九年级（1）班有x名同学，
根据题意列出的方程是
??(???1)
2
=465，
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.
5．（2019·济南模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1
【答案】C
【解析】根据根的判别式即可求解.
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：C．
【点评】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知公式法的应用、根的判别式.
6．（2019?重庆模拟）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式﹣2a2+6a+2019的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【答案】B
【解析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2，再把﹣2a2+6a+2019变形为﹣2（a2﹣3a）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
∴a2﹣3a＝2，
∴﹣2a2+6a+2019＝﹣2（a2﹣3a）+2019＝﹣2×2+2019＝2015．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（2019?临沧模拟）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】首先解出方程的解为3或5，接着分情况讨论：①当3和5为直角边时；②当5为斜边时，另一直角边为4，再根据tan函数的定义即可得出答案.
解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣5＝0，
解得x＝3或5，
①当3和5为直角边时：tanA＝．
②当5为斜边时，另一直角边为4，tanA＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程以及锐角三角函数，关键是要掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切.
8．（2019?遵义模拟）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
/
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
解：由题意，设金色纸边的宽为，
得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，
整理后得：
故选：B.
【点评】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
二、填空题
9．（2018?十堰一模）方程2x2﹣6=0的解是_____．
【答案】x1=
3
，x2=﹣
3
【解析】此题通过移项，然后利用直接开平方法解方程即可.
解：方程2x2﹣6=0，即x2=3，
开方得：x=±
3
，
解得：x1=
3
，x2=﹣
3
，
故答案为：x1=
3
，x2=﹣
3
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，比较简单.
10．（2018?北京模拟）若将方程x2+2x﹣1=0配方成（x+a）2=h的形式，则a+h的值是_____．
【答案】3
【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，则把方程左边写成完全平方的形式得到（x+1）2=2，于是得到a=1，h=2，然后计算a+h即可．
解：x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
所以a=1，h=2，
所以a+h=1+2=3．
故答案是：3．
【点评】考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
11．（2018?锦州二模）阅读材料：设一元二次方程??
??
2
+????+??=0的两根为
??
1
，
??
2
，则两根与方程系数之间有如下关系：
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
?
??
2
=
??
??
.根据此材料填空：已知
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
?2???1=0的两个实数根，则
??
2
??
1
+
??
1
??
2
的值为______．
【答案】?6
【解析】根据根与系数的关系可得出
??
1
+
??
2
=2、
??
1
?
??
2
=?1，将其代入
??
2
??
1
+
??
1
??
2
=
(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
?
??
2
??
1
?
??
2
中即可求出结论．
解：∵
??
1
、
??
2
是一元二次方程
??
2
?2???1=0的两个实数根，
∴
??
1
+
??
2
=2，
??
1
?
??
2
=?1，
∴
??
2
??
1
+
??
1
??
2
=
??
2
2
+
??
1
2
??
1
?
??
2
=
(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
?
??
2
??
1
?
??
2
=
2
2
?2×(?1)
?1
=?6．
故答案为：?6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．
12．（2018?邵阳冲刺）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 ________? ．
【答案】x2+2x+1=100
【解析】等量关系为：头数加只数+只数减头数+只数乘头数+只数除头数=100，把相关数值代入化简即可．
解：∵羊的只数为x，∴头数加只数为2x，只数减头数为0．只数乘头数为x2，只数除头数为1，∴可列方程为：x2+2x+1=100．
故答案为：x2+2x+1=100．
【点评】考查用一元二次方程解决实际问题，读懂题意，得到总只数为100的等量关系是解决本题的关键．
13．（2019?平顶山模拟）若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为______．
【答案】6或12或10
【解析】由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
解：∵， ∴， 解得：或， ∵等腰三角形的底和腰是方程的两根， ∴当2是等腰三角形的腰时，2＋2＝4，不能组成三角形，舍去； 当4是等腰三角形的腰时，2＋4＞4，则这个三角形的周长为2＋4＋4＝10． 当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2＋2＋2＝6． 当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4＋4＋4＝12． ∴这个三角形的周长为6或12或10． 故答案为：6或12或10．
【点评】本题考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论思想的应用．特别注意不要忘记三边都是2或都是4的情况.
14．（2019?南京模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为___．
【答案】﹣2．
【解析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）
＝13，
k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题关键在于列出关于k的方程.
15．（2019?合肥模拟）甲、乙两同学分别解同一个二次系数为1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，乙把常数看错了，解得两根为1+和1﹣，则原方程是_____．
【答案】x2﹣2x﹣6＝0．
【解析】先设这个方程的两根是α、β，由于甲把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，则有αβ＝＝﹣6，乙把常数项看错了，解得两根为1+ 和1﹣，则有α+β＝﹣＝2，令a＝1，那么关于α、β的一元二次方程可求．
解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得
α+β＝﹣＝2，αβ＝＝﹣6，
令a＝1，那么关于α、β的一元二次方程是x2﹣2x﹣6＝0．
故答案为x2﹣2x﹣6＝0．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（2019?哈尔滨模拟）某商品每件元，经过两次降价后，售价为元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件________元
【答案】
【解析】设每次降价的百分率为x,根据原价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于1的值即可得出结论.
解：设每次降价的百分率为x
根据题意得:300(1-x)=243,
解得:x=0.1=10%,x=1.9(不合题意,舍去).
每次降价的百分率为10%.
∴第一次降价后的售价为300-（300×0.1）=270（元）
故答案为:270
【点评】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
三、解答题
17．（2018?重庆模拟）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．
（1）康福特公司2016年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2018年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；
（2）2018年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？
【答案】（1）每套A型健身器材年平均下降率n为20%；（2）A型健身器材最多可购买40套．
【解析】（1）该每套A型健身器材年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的（1﹣x），第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
（2）设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答．
解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2=1.6，则（1﹣n）2=0.64，所以1﹣n=±0.8，所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）．
答：每套A型健身器材年平均下降率为20%．
（2）设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，依题意得：
1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112
整理得：1.6m+96﹣1.2m≤1.2，解得：m≤40．
答：A型健身器材最多可购买40套．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．
18．（2018?南京二模）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件.根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出________件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
【答案】450
【解析】(1)、根据上涨的数量与减少的数量之间的关系得出答案；(2)、根据总利润=单件利润×数量得出方程，从而得出答案，然后根据售价不能超过批发价的2.5倍进行舍根．
解：（1）450
（2）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得：（x－2)（500－
???3
0.1
×10）=800 .
整理得：x2－10x+24=0， 解之得：x1=4,x2=6，
∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍.即2.5×2=5＜6，
∴x2=6不合题意，舍去， 得x=4．
答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．
19．（2019?南阳模拟）阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【答案】x1＝1，x2＝﹣2．
【解析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．
解：当x﹣1≥0即 x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∵x≥1，∴x＝1；
当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1
∵x＜1，∴x＝﹣2，
∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查一元二次方程的解法和绝对值的意义，熟练掌握，即可解题.
20．（2019?扬州模拟）临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0（1）零售单价降价后，每只利润为 元，该店每天可售出 只粽子.
（2）在不考虑其他因素的条件下，当零售单价下降多少元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多？
【答案】（1） (1-m) ，（300+1000m）；（2）当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多
【解析】（1）降价后的利润等于原来的利润-降价即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
解：（1）该店每天可售出300+100×=（300+1000m）只粽子．
每只利润为（1-m）元；
(2) 根据题意，得(1-m)（300+1000m）=420，
解得m1=0.4 m2=0.3，
显然，当m=0.4时, 300+1000m=700，
当 m=0.3时, 300+1000m=600，
700＞600，
答：当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
/
