沪科版数学八年级上册同步课时训练
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
自主预习 基础达标
要点1 等腰三角形的概念
有两条边 的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，剩余的一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
要点2 等腰三角形的边角性质及“三线合一”
1. 等腰三角形的两底角 (简称“等边对等角”).
2. 等腰三角形 垂直平分底边.结论：等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 相互重合(简称“三线合一”).
3. 等腰三角形是 图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.
要点3 等边三角形的性质
1. 定义：三边都 的三角形是等边三角形.
2. 性质：
(1)等边三角形的三边都 ；
(2)等边三角形的三个内角 ，每一个内角都等于 ；
(3)等边三角形是 图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对角的平分线重合，且长度 .
课后集训 巩固提升
1. 已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，则腰AC的长为( )
A. 10或6 B. 10 C. 6 D. 8或6
2. 等腰三角形中有一个角等于100°，则另两个角的度数分别为( )
A. 40°，40° B. 100°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或100°，20°
3. 如图，等腰△ABC的顶角∠A为80°，BD⊥AC，则∠DBC的度数是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 30°
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是( )
A. AD⊥BC B. ∠EBC＝∠ECB
C. ∠ABE＝∠ACE D. AE＝BE
5. 以下叙述中不正确的是( )
A. 等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B. 有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C. 等腰三角形一定是锐角三角形
D. 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②DE＝DF；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是( )
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 36°
8. (1)已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于6，则它的周长为 ；
(2)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为 .
9. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝ .
第9题 第10题
10. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ .
11. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm..
图1 图2
12. 如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D.
13. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数.
14. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；
(2)求∠DFC的度数.
15. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线交BC于点F.求证：DF⊥BC.
16. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE.
求证：(1)△ABD≌△ACE；
(2)AF⊥DE.
17. (1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；
(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)你发现了什么规律？试证明；
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 相等
要点2 1. 相等 顶角的平分线 平分线 中线 高 3. 轴对称
要点3 1. 相等 2. (1)相等 (2)相等 60° (3)轴对称 (4)相等
课后集训 巩固提升
1. A 2. A 3. A 4. D 5. C 6. D 7. D
8. (1)16或17 (2)5，5
9. 40°
10. 15°
11. 18
12. 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝2∠D，∴∠C＝2∠D.
13. 解：∵等腰三角形“三线合一”，D是BC边的中点，∴AD既是△ABC的顶角平分线又是底边上的高.∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠1＝90°－30°＝60°.
14. 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠EAC＝∠B＝60°，AC＝BA.又∵AE＝BD，∴△AEC≌△BDA(SAS).∴AD＝CE.
(2)由(1)知△AEC≌△BDA，∴∠ACE＝∠BAD.∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°.
15. 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠D＝∠AED，∵∠BAC＝∠D＋∠AED，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴2∠B＋2∠D＝180°，∴∠B＋∠D＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥BC.
16. 证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，又∵EC⊥BC，∴∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE－∠ACB＝45°.∴∠ABD＝∠ACE.又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.
(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.∵DF＝FE，∴AF⊥DE.
17. 解：(1)如图①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝(180°－∠A)＝(180°－40°)＝70°.∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，即∠NMB＝20°.
(2)如图②所示，同(1)求得∠NMB＝35°.
(3)规律：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半.证明如下：设∠A＝α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝(180°－α).∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝α，即∠NMB等于顶角的一半.
(4)不需要修改：如图③，∠NMB的大小为∠A的一半.
