沪科版数学八年级上册同步课时训练
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第3课时 含30°角的直角三角形的性质
自主预习 基础达标
要点 含30°角的直角三角形的性质及应用
1. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的 .
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
课后集训 巩固提升
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为( )
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最小边BC＝3cm，则最长边AB的长为( )
A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm
3. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，∠A＝30°，则线段AB与BD的数量关系是( )
A. AB＝2BD B. AB＝3BD C. AB＝4BD D. AB＝5BD
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为( )
A. B. 1 C. D. 2
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE＝6cm，则AC等于( )
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
6. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A. 4m B. 8m C. 10m D. 16m
7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m
8. 如图，一艘轮船从距离灯塔C处80海里的A处向正东航行，并测得C在A的北偏东60°方向，则轮船按这条路线航行过程中离灯塔的最近距离是 .
9. 将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝10cm，则阴影部分的面积是 cm2.
10. 一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位角是北偏东75°，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位角是北偏东60°.若小岛周围3.8海里内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁的危险？
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，且AM＝15cm，求BC的长.
12. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.
13. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长.
14. 如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD的长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1. 30° 一半
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. C 4. B 5. D 6. A 7. B
8. 40海里
9.
10. 解：有触礁的危险.过P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C.由题意可得∠PAB＝15°，∠PBC＝30°.又∵∠PBC＝∠PAB＋∠APB，∴∠APB＝15°，∴∠PAB＝∠APB，∴PB＝AB＝7海里，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴PC＝BP＝3.5海里<3.8海里.故轮船一直向东航行会有触礁的危险.
11. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°.∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°.∴∠B＝∠BAM.∴BM＝AM＝15cm.在Rt△ACM中，∵∠CAM＝30°，∴CM＝AM＝7.5cm.∴BC＝CM＋BM＝7.5＋15＝22.5(cm).
12. 解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△BED和△CFD中，∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS).∴DE＝DF.
(2)∵AB＝AC，∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD.∵BE＝1，∴BD＝2，∴BC＝2BD＝4.∴△ABC的周长为12.
13. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝CD＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
14. 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAE＝∠C＝60°，又∵AB＝CA，AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.
(2)∵∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°，BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∵PQ＝3，∴BP＝2PQ＝6.∵PE＝1，∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.
