章末检测(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)
1.下列所示的图形中，可以作为函数y＝f(x)的图像的是( )
2.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞) D.R
3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像可能是( )
4.函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1，1)和(1，2)上分别有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A.(－3，1) B.
C. D.(－∞，－3)∪
5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A.y＝x B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1 D.y＝－
6.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1 B.2x－1
C.－x＋1 D.x＋1或－x－1
7.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在[－3，－1]上是( )
A.增函数，最小值为－1 B.增函数，最大值为－1
C.减函数，最小值为－1 D.减函数，最大值为－1
8.函数f(x)＝|x－1|的图像是( )
9.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0) B.(－∞，－2]
C.[－4，－2] D.(－∞，0)
10.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图像上的两点，那么－1
A.(－3，0) B.(0，3)
C.(－∞，－1]∪[3，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
11.已知函数f(x)＝，记f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(10)＝m，f＋f＋f＋…＋f＝n，则m＋n＝( )
A.－9 B.9
C.10 D.－10
12.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4题，每小题5分，共20分.)
13.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋2)x＋3是定义在[a－1，a]的偶函数，则ab＝________.
14.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.
15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.
16.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”.
给出下列四个函数中：①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝|x|；④f(x)＝能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.
(1)求a，b，c的值；
(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？并证明你的结论.
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
22.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
章末检测(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)
1.下列所示的图形中，可以作为函数y＝f(x)的图像的是( )
解析 作直线x＝a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数时，直线x＝a移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A，B，C，只有D符合，故选D.
答案 D
2.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞) D.R
解析 由解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.
答案 C
3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像可能是( )
解析 A中，与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B中，与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C中，与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D中，与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D.
答案 D
4.函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1，1)和(1，2)上分别有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A.(－3，1) B.
C. D.(－∞，－3)∪
解析 由零点存在定理知，只需满足
解得答案 B
5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A.y＝x B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1 D.y＝－
解析 A：y＝x是奇函数，故不符合题意；B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D：y＝－是奇函数，不合题意.故答案为B.
答案 B
6.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1 B.2x－1
C.－x＋1 D.x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，
∴∴∴f(x)＝x＋1.故选A.
答案 A
7.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在[－3，－1]上是( )
A.增函数，最小值为－1 B.增函数，最大值为－1
C.减函数，最小值为－1 D.减函数，最大值为－1
解析 f(x)＝－x2＋2x，图像为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，
所以f(x)在[1，3]上是减函数.
因为f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以函数f(x)在[－3，－1]也是减函数.
所以在[－3，－1]上，f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－(－32＋2×3)＝3，
f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－(－12＋2×1)＝－1，故C正确.
答案 C
8.函数f(x)＝|x－1|的图像是( )
解析 函数f(x)＝|x－1|的图像相当于函数f(x)＝x的图像向右平移一个单位，然后将x轴下方的部分对折到x轴上方，故选B.
答案 B
9.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0) B.(－∞，－2]
C.[－4，－2] D.(－∞，0)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，∴需满足
即－4≤a≤－2，故选C.
答案 C
10.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图像上的两点，那么－1A.(－3，0) B.(0，3)
C.(－∞，－1]∪[3，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析 由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上递增，∴0∴－1答案 B
11.已知函数f(x)＝，记f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(10)＝m，f＋f＋f＋…＋f＝n，则m＋n＝( )
A.－9 B.9
C.10 D.－10
解析 ∵函数f(x)＝，∴f(x)＋f＝＋＝－＝－1.
∴f(2)＋f＝f(3)＋f＝…＝f(10)＋f＝－1.
∵f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(10)＝m，
f＋f＋f＋…＋f＝n，
∴m＋n＝9×(－1)＝－9.故选A.
答案 A
12.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数.由f(1－2x)－f>0可得f(1－2x)>f＝f，所以－<1－2x<，解得答案 A
二、填空题(本大题共4题，每小题5分，共20分.)
13.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋2)x＋3是定义在[a－1，a]的偶函数，则ab＝________.
解析 由题意所以ab＝－1.
答案 －1
14.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.
解析 函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.
答案 3
15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.
解析 设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.
答案 14
16.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”.
给出下列四个函数中：①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝|x|；④f(x)＝能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).
解析 由题意知，既是奇函数，又是减函数的函数为“理想函数”.
①中，函数f(x)＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；
②中，函数f(x)＝x2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f(x)＝|x|的定义域为R，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f(x)＝的图像如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为“理想函数”.综上，答案为④.
答案 ④
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像.
解 (1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图像如图所示.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
解 由题意可设f(x)＝kx＋b(a<0)，
由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图像开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y在x＝a处取得最大值a2－4a＋1，
综上，ymax＝
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)由已知可知：
解得
则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，
故≤－2或≥2，
即k≤－2或k≥6.
故实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).
20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.
(1)求a，b，c的值；
(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？并证明你的结论.
解 (1)由f(x)＝是奇函数，
得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，
则＝－?－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.由f(1)＝＝2，f(2)＝<3，又a，b是正整数，得b＝a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝x＋，
当x<0时，f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(－∞，－1]且x1≠x2，则＝＝＝＝1－，因为x1，x2∈(－∞，－1]且x1≠x2，所以x1x2>1，从而1－>0，即>0.
故f(x)在(－∞，－1]上单调递增.
同理可证f(x)在[－1，0)上单调递减.
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
(1)证明 设?x1，x2∈R且x1>x2，则x1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2).
又当x>0时，f(x)<0恒成立，∴f(x1)∴函数y＝f(x)是R上的减函数.
(2)解 令a＝b＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R，
故函数y＝f(x)是奇函数.
(3)解 法一 由f(x2－2)＋f(x)<0得
f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，
即f(x2－2)又y＝f(x)在R上是减函数，
∴x2－2>－x，解得x>1或x<－2.
故x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
法二 由f(x2－2)＋f(x)<0，f(a＋b)＝f(a)＋f(b)且f(0)＝0，得f(x2－2＋x)又y＝f(x)在R上是减函数，
∴x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.
故x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
22.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0，2)，(20，6)，容易求得直线方程为P＝t＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20，6)，(30，5)，求得方程为P＝－t＋8，
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：
P＝
(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40，0(3)由(1)(2)可知
y＝
＝
当0当20所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.
