章末检测(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A.x2＋3x－2＝0 B.x2＋3x＋2＝0
C.x2－3x－2＝0 D.x2－3x＋2＝0
2.设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A.ac>bd B.a－c>b－d
C.a＋c>b＋d D.>
3.若方程组的解也是方程3x＋ky＝10的解，则k的值是( )
A.k＝6 B.k＝10
C.k＝9 D.k＝
4.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0的解集含有两个元素，则k的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
5.若－2x2＋5x－2>0，则＋2|x－2|等于( )
A.4x－5 B.－3
C.3 D.5－4x
6.若x2－x＋1＝0，则x4＋＝( )
A. B.
C. D.
7.不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A.(－3a，4a) B.(4a，－3a)
C.(－3，4) D.(2a，6a)
8.若关于x的不等式x2－ax＋2a>0的解集为R，则a的取值范围为( )
A.(－8，0) B.(0，8)
C.[0，8] D.(－∞，0)∪(8，＋∞)
9.不等式2x2－axy＋y2≥0，对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a≥2
C.a≤ D.a≤
10.已知a>0，b>0，且2a－b＝1，若不等式－≤m恒成立，则m的最小值等于( )
A.10 B.1
C.8 D.7
11.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<－2或x>1} B.{x|1C.{x|x<－1或x>2} D.{x|－112.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.若不等式组的解集为(－1，1)，则(a＋1)·(b＋1)的值等于________.
14.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
15.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________.
16.设a＋b＝2，b>0, 则当a＝________时， ＋取得最小值.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.(本小题满分10分)某实验中学高一寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.
18.(本小题满分12分)甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得乙看错了方程②中的y的系数，解得若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解集.
19.(本小题满分12分)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
20.(本小题满分12分)设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知y1＝x2－2x－8，y2＝2x2－4x－16，
(1)求不等式y2<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有y1≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米.
(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
章末检测(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A.x2＋3x－2＝0 B.x2＋3x＋2＝0
C.x2－3x－2＝0 D.x2－3x＋2＝0
解析 由根与系数的关系知方程为x2－3x－2＝0.
答案 C
2.设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A.ac>bd B.a－c>b－d
C.a＋c>b＋d D.>
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
答案 C
3.若方程组的解也是方程3x＋ky＝10的解，则k的值是( )
A.k＝6 B.k＝10
C.k＝9 D.k＝
解析 由解得代入3x＋ky＝10，易得k＝10.
答案 B
4.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0的解集含有两个元素，则k的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析 由题意知∴k＞且k≠1.
答案 C
5.若－2x2＋5x－2>0，则＋2|x－2|等于( )
A.4x－5 B.－3
C.3 D.5－4x
解析 ∵－2x2＋5x－2>0，
∴1，x<2，
原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.
答案 C
6.若x2－x＋1＝0，则x4＋＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵x≠0，∴x＋＝，x2＋＝－2＝，∴x4＋＝－2＝.
答案 C
7.不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A.(－3a，4a) B.(4a，－3a)
C.(－3，4) D.(2a，6a)
解析 ∵x2－ax－12a2＝(x＋3a)(x－4a)，∴不等式可化为(x＋3a)(x－4a)＜0，又a＜0，∴4a<－3a，∴不等式的解集为(4a，－3a).
答案 B
8.若关于x的不等式x2－ax＋2a>0的解集为R，则a的取值范围为( )
A.(－8，0) B.(0，8)
C.[0，8] D.(－∞，0)∪(8，＋∞)
解析 由题意知Δ＝(－a)2－4×2a＝a2－8a<0，∴0＜a＜8.
答案 B
9.不等式2x2－axy＋y2≥0，对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a≥2
C.a≤ D.a≤
解析 由题知，a≤，而≥＝2(当且仅当2x2＝y2时取“＝”)，由于存在x∈[1，2]，y∈[1，3]，使2x2＝y2，故a≤2.
答案 A
10.已知a>0，b>0，且2a－b＝1，若不等式－≤m恒成立，则m的最小值等于( )
A.10 B.1
C.8 D.7
解析 ∵a>0，b>0，且2a－b＝1，
∴－＝(2a－b)＝4－－＋1＝5－2≤5－2×2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号.又－≤m，∴m≥1，即m的最小值等于1，故选B.
答案 B
11.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<－2或x>1} B.{x|1C.{x|x<－1或x>2} D.{x|－1解析 ∵不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，
∴x＝1为ax－b＝0的根且a>0，
∴a－b＝0，即a＝b，
故＝>0，等价于(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
答案 C
12.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析 由题意知y＝，
所以＝＝＋
≥＋＝＋＝3，
当且仅当x2＝9z2时等号成立，
所以的最小值为3.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.若不等式组的解集为(－1，1)，则(a＋1)·(b＋1)的值等于________.
解析 由2x－a<1，得x<，由x－2b>3，得x>2b＋3.
由∩(2b＋3，＋∞)＝(－1，1)得
∴(a＋1)(b＋1)＝2×(－1)＝－2.
答案 －2
14.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
答案 20
15.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________.
解析 Δ＝(m－2)2－4(5－m)≥0，即m≤－4或m≥4，
设两根为x1，x2，则
由题意
即
∴
∴－5＜m＜－2.
又∵m≤－4，∴－5＜m≤－4.
答案 (－5，－4]
16.设a＋b＝2，b>0, 则当a＝________时， ＋取得最小值.
解析 因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋≥1＋，显然当a<0时取最小值，当且仅当＝，
即b＝2|a|时，上式取等号，此时b＝－2a，联立a＋b＝2，解得a＝－2，此时1＋＝1－＝.
答案 －2
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.(本小题满分10分)某实验中学高一寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.
解 设有x间宿舍，则学生有(4x＋20)人，根据题意，得8(x－1)<4x＋20<8x，解这个不等式组即可得x取整数6，此时4x＋20＝44.故宿舍有6间，寄宿学生人数为44人.
18.(本小题满分12分)甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得乙看错了方程②中的y的系数，解得若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解集.
解 设方程组为
把代入②得4×－b×＝－2 ③.
把代入①得a＋5×＝13 ④，
由③④解得a＝8，b＝9，
∴原方程组为解得
即解集为.
19.(本小题满分12分)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
证明 ∵a＋b＋c＝1，
∴
＝
＝
＝＋＋＋＋＋＋2
＝＋＋＋2.
∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，
∴＋＋≥6，
∴≥8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
20.(本小题满分12分)设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围.
解 令y＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2，2]，可把y看作关于p的函数，若使y>0对|p|≤2的一切实数恒成立，则当p＝2时，y＞0且当p＝－2时，y＞0，
即
所以
所以21.(本小题满分12分)已知y1＝x2－2x－8，y2＝2x2－4x－16，
(1)求不等式y2<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有y1≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.
解 (1)y2＝2x2－4x－16<0，
∴2(x＋2)(x－4)<0，∴－2∴不等式y2<0的解集为{x|－2(2)∵y1＝x2－2x－8.
当x>2时，y1≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1).
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立.
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立).
∴实数m的取值范围是(－∞，2].
22.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米.
(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
解 (1)依题意知△NDC∽△NAM，所以＝，
即＝，则AD＝20－x.
故矩形ABCD的面积为S＝20x－x2.
根据条件0x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.
故AB的长度应在12米～18米内.
(2)S＝20x－x2＝x(30－x)≤＝150，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.
此时AD＝20－x＝10.
故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.
