章末综合检测（一） 指数函数、对数函数与幂函数
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝x D．y＝ln x
解析：选C y＝x2在(0，＋∞)上为增函数，y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝x在(0，＋∞)上为减函数，y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数．
2．计算27×7log72－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝( )
A．20 B．21
C．9 D．11
解析：选B 原式＝(33)×2＋3＋2－(lg 4＋lg 25)＝21.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
解析：选B A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
C．c解析：选B 因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0c>a.
5．已知函数f(x)＝，则其图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y＝x对称
C．关于原点对称 D．关于y轴对称
解析：选D 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D 当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0，∴0≤x≤1.
当x>1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，
即x≥，∴x>1.
综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
7．函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设u＝－x2＋x＋2，
则u＝－2＋.
则u＝－x2＋x＋2在上递增，
在上递减，
又y＝u是减函数，
故y＝－x2＋x＋2的单调递增区间为.
8．已知函数y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,3) D．(3，＋∞)
解析：选B 当01时，u＝3－ax是减函数，y＝logau是减函数，所以y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，又3－ax在[0,1]上大于0，所以3－a>0，故a<3，所以1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知f(x3)＝lg x，则f(2)＝________.
解析：令x3＝2，则x＝，所以f(2)＝lg ＝lg 2.
答案：lg 2
10．函数y＝的定义域是________．
解析：由log (x－4)≥0得0答案：(4,5]
11．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：y＝4－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
答案：
12．定义区间[x1，x2](x1解析：作出函数y＝2|x|的图像(如图所示)
当x＝0时，y＝20＝1，当x＝－1时，y＝2|－1|＝2，当x＝1时，y＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a，b]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)计算：
(1)7－3＋6＋；
(2)lg－lg＋lg.
解：(1)7－3－6＋＝7×3－3×24－6×3＋3＝8×3－3×2×3－6×3＝2×3－2×3＝0.
(2)lg－lg＋lg＝lg－lg 2＋lg＝lg －×lg 2＝lg －2lg 2＝lg＝lg ＝lg＝lg 10＝.
14．(10分)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．
(1)求a的值．
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
解：(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，即x－x－2＝0，即2－x－2＝0.令x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0.
又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1.
15．(10分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图像上的点时，点是函数g(x)图像上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解：(1)令x′＝，y′＝，
把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，
即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0，
故x的取值范围为[0，＋∞)．
16．(12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(1)若f(3a＋4)≥f(5a)，求实数a的取值范围．
(2)当a＝时，设g(x)＝f(x)－3x＋4，判断g(x)在(1,2)上零点的个数并证明：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0在x∈(λμ，＋∞)上恒成立．
解：(1)当a>1时，3a＋4≥5a，所以1当0所以a的取值范围为(1,2]．
(2)g(x)＝logx－3x＋4为(0，＋∞)上的减函数，
因为g(1)＝1>0，g(2)＝－6<0，所以g(x)在(1,2)上存在唯一的零点x0，即g(x0)＝0，x0∈(1,2)，
所以当x∈(x0，＋∞)时，g(x)<0，所以对任意λ>0，存在μ＝>0，使得g(x)<0在x∈(λμ，＋∞)上恒成立．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
解析：选C 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图像可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
2．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝2－x
C．y＝logx D．y＝
解析：选A y＝x＝，y＝2－x＝x，y＝logx，y＝的图像如图所示．
由图像知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
3．函数f(x)＝ln x＋ 的定义域为( )
A．(0,1) B．(1,2]
C．(0,4] D．(0,2]
解析：选C 由题意得，∴04．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
解析：选C 荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，所以生长19天时，布满水面面积的一半，故选C.
5．已知f(x)＝则f[f(2)]的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C f(2)＝log3(22－1)＝1，f(1)＝2e1－1＝2，∴f[f(2)]＝2，故选C.
6．某人2019年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2022年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)2元 B．a(1＋x)4元
C．a＋(1＋x)3元 D．a(1＋x)3元
解析：选D 由题意知，2020年7月1日可取款a(1＋x)元，2021年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2022年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．
7．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
8．已知函数f(x)＝log3x的反函数的值域为，则函数f(x)的值域为( )
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[0,2] D.
解析：选B 函数f(x)＝log3x的反函数的值域即为它的定义域，所以函数f(x)＝log3x的定义域为.又函数f(x)＝log3x在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)的值域为[－1,1]，故选B.
9．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式中正确的是( )
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
解析：选B 将不等式变形为2－x－3x>2y－3－y，令F(x)＝2－x－3x，则F(x)为减函数，又F(x)>F(－y)，∴x<－y，∴x＋y<0，故选B.
10．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋1在[0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：选B 由已知得9x－m·3x＋1>0，∴m<，即m<3x＋，设3x＝t，∵x≥0，∴t≥1，∴y＝t＋，在[1，＋∞)上递增，有最小值2，∴m<2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝loga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(3)＝________.
解析：由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
答案：27
12．函数y＝lg(2x－4)的定义域为________．
解析：由题意，得2x－4>0，∴2x>4，∴x>2.
答案：(2，＋∞)
13．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
解析：当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，所以loga2>1＝logaa，所以1答案：(1,2)
14．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
解析：设x>0，则－x<0.
∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，
∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又∵f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
答案：－3
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)求下列各式的值：
(1)－(2－π)0－＋0.25；
(2)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72.
解：(1)原式＝－1－＋＝－1－＋＝－－2＋
－3＝－＋8＝.
(2)原式＝log33－＋lg(25×4)＋2＝－＋2＋2＝.
16．(10分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，求b的值．
解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图像恒过定点A，
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋k(a>0且a≠1)的图像过点(－1,1)，其反函数f－1(x)的图像过点(8,2)．
(1)求a，k的值；
(2)若将f－1(x)的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g(x)的图像，写出g(x)的解析式．
解：(1)由题意，得解得
(2)由(1)，知f(x)＝2x＋1，得f－1(x)＝log2x－1，
将f－1(x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝log2(x＋2)－1的图像，再向上平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋2)的图像．所以g(x)＝log2(x＋2)．
18．(10分)声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
解：(1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤≤1012，
∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120，
∴人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lg－10lg＝20，
∴lg＝2，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
19．(12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴?x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，
∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图像与直线y＝b有交点．g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9.∵1＋>1，∴g(x)＝log9>0，∴b的取值范围是(0， ＋∞)．
章末综合检测（一） 指数函数、对数函数与幂函数
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝x D．y＝ln x
2．计算27×7log72－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝( )
A．20 B．21
C．9 D．11
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c5．已知函数f(x)＝，则其图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y＝x对称
C．关于原点对称 D．关于y轴对称
6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
7．函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
8．已知函数y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,3) D．(3，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知f(x3)＝lg x，则f(2)＝________.
10．函数y＝的定义域是________．
11．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
12．定义区间[x1，x2](x1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)计算：
(1)7－3＋6＋；
(2)lg－lg＋lg.
14．(10分)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．
(1)求a的值．
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
15．(10分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图像上的点时，点是函数g(x)图像上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
16．(12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(1)若f(3a＋4)≥f(5a)，求实数a的取值范围．
(2)当a＝时，设g(x)＝f(x)－3x＋4，判断g(x)在(1,2)上零点的个数并证明：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0在x∈(λμ，＋∞)上恒成立．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
2．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝2－x
C．y＝logx D．y＝
3．函数f(x)＝ln x＋ 的定义域为( )
A．(0,1) B．(1,2]
C．(0,4] D．(0,2]
4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
5．已知f(x)＝则f[f(2)]的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．某人2019年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2022年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)2元 B．a(1＋x)4元
C．a＋(1＋x)3元 D．a(1＋x)3元
7．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
8．已知函数f(x)＝log3x的反函数的值域为，则函数f(x)的值域为( )
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[0,2] D.
9．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式中正确的是( )
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
10．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋1在[0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝loga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(3)＝________.
12．函数y＝lg(2x－4)的定义域为________．
13．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
14．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)求下列各式的值：
(1)－(2－π)0－＋0.25；
(2)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72.
16．(10分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，求b的值．
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋k(a>0且a≠1)的图像过点(－1,1)，其反函数f－1(x)的图像过点(8,2)．
(1)求a，k的值；
(2)若将f－1(x)的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g(x)的图像，写出g(x)的解析式．
18．(10分)声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
19．(12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．
