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“课下双层级演练过关 ”见“课时跟踪检测（十一） ”
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谢谢！课时跟踪检测（十一） 数据的数字特征
A级——学考水平达标练
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
解析：选ABC 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．
2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )
A．减少计算量 B．避免故障
C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛
解析：选C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．
3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
解析：选C ∵得85分的人数最多，为4人，
∴众数为85，中位数为85，
平均数为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
4．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
解析：选D 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数＝2，方差s2＝，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．2,1
C．4， D．4,3
解析：选D 平均数为′＝3－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×＝3.
6．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：
(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
解析：(1)＝＝7.
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
答案：(1)7 (2)2
7．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为_______．
解析：∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差s2＝＝6.
答案：6
8．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差、极差，并判断选谁参加比赛比较合适？
解：甲＝＝33.
乙＝＝33.
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
甲的极差为11，乙的极差为10.
综合比较以上数据可知，选乙参加比赛比较合适．
9．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解：(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数为＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
B级——高考水平高分练
1．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 由s2＝(x＋x＋…＋x)－2，得s2＝×100－32＝1，即标准差s＝1.
2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
解析：选C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．
3．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________．
解析：设k1、k2、…、kn的平均数为，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3(－4)，∴s2＝3(ki－4)－3(－4)]2＝3(ki－)]2＝9×(ki－)2＝9×5＝45.
答案：45
4．某市2019年6月30天的空气质量指数如下：
35 54 80 86 72 85 58 125 111 53
10 66 46 36 18 25 23 40 60 89
88 54 79 14 16 40 59 67 111 62
计算第75,85百分位数分别是______、______.
解析：把这30个数据按从小到大排序，可得
10 14 16 18 23 25 35 36 40 40 46
53 54 54 58 59 60 62 66 67 72 79
80 85 86 88 89 111 111 125
由75%×30＝22.5,85%×30＝25.5，可知样本数据的第75,85百分位数为第23,26项数据，分别为80,88.
答案：80 88
5．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为6岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
6．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
(3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
解：(1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的均值和方差．
(2)总样本的均值为×173.5＋×163.83≈170.02.
总样本的方差×[17＋(173.5－170.02)2]＋×[30.03＋(163.83－170.02)2]≈43.24.
(3)总样本的均值为×173.5＋×163.83≈168.67.
总样本的方差为×[17＋(173.5－168.67)2]＋×[30.03＋(163.83－168.67)2]≈46.89.
不能作为总体均值和方差的估计，因为此分层抽样中，每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差．
