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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测（二十四）”
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谢谢！课时跟踪检测（二十四） 向量基本定理
A级——学考水平达标练
1．(多选题)设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：AC 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故A、C可作为基底．
2.如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2＋5e1)
D.(5e2－3e1)
解析：选A ＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
3．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的有( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A 对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
5．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B 设a＝kb(k∈R)，则2e1－e2＝ke1＋kλe2.∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.
6．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x＋y＝________.
解析：∵向量e1与e2不共线，∴
解得所以x＋y＝7.
答案：7
7．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________.
解析：由解得
答案：3a－4b 3b－2a
8.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么用与可表示为＝________.
解析：因为＝，＝＝－，所以＝＋＝－.
答案：－
9．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，试探求实数λ1，λ2满足的关系式．
解：∵A，B，C三点共线，∴＝k (k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共线，∴∴λ1λ2＝1.
10．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2，∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
B级——高考水平高分练
1．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C 不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
2．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线．
3.如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝
－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，∴＝－2＝2.∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为______．
解析：＝(＋)＝＋. ∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.
答案：2
5.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ (0≤λ≤1)，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
6．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
