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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测（二十六）”
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谢谢！课时跟踪检测（二十六） 平面向量线性运算的应用
A级——学考水平达标练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：选B 由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知?ABCD的邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1
C. D．4
解析：选B 设BC边的中点为M，则(＋)＝，∴＝＋＝，∴P与M重合，∴||＝||＝1.
4．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A ∵＝，＝(3,4)，
∴＝，∴∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
5．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解：如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，则A(0,0)，B(－1 000cos 30°，1 000sin 30°)，
即(－500，500)，
C(－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)，
即(－1 000，－1 000)，∴＝(－500，－1 500)，
∴||＝ ＝1 000(km)．
∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝ ，
||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝ ，即AF＝ .
B级——高考水平高分练
1.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，
用向量的方法证明：(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∵＝－，∴∥.
又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
2．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2
＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，
即AD⊥BC.
