19.9(1)勾股定理导学单
班级 姓名 学号
如果一个直角三角形两条边的长分别为3、4,那么它的第三边的长为 .
求边长为的等边三角形的面积.
变式 如果等边三角形的边长为，那么面积是多少？（用含的代数式表示）
在中，.
已知，，求；
已知，，求.
如图，字母所代表的正方形的面积是（ ）.
.； .； .； ..
变式 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
自主拓展：欧几里得证明勾股定理的方法.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).
（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长
（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.
（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分，24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
12. 在直角三角形中，斜边=2，则=______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
（第15题） （第16题） （第17题）
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.
17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
25.（14分）△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14.； 15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x，则AB=8-x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a2+b2有效问卷 深刻理解 启迪思维
——19.9(1)勾股定理教学反思
课后，教研员曾老师以及其他听课老师对这节课给予了较好的评价，认为这节课准确地设定了教学目标，很好地完成了教学计划，学生参与积极性高，教学思路流畅，师生交流互动多，体现了学生主体的地位、教师主导的作用，反馈效果也较好，是值得借鉴的一堂课.这给了我很大感触，我想，以下几点值得和大家共勉.
.深刻理解教学内容，挖掘勾股定理的人文价值
本节课是上教版数学八年级（上）“勾股定理”第一课时，是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生学习解“直角三角形”和学习“锐角三角比”的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.勾股定理是几何中最重要的定理之一，揭示了直角三角形三边之间的一种数量关系.
本节课，为学生发展数形结合思想提供了思维平台.备课时，翻阅了大量史料，通过让学生领略勾股定理简史，课堂引进《几何原本》一书，帮助学生感受人类杰出的智慧，了解勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用，知晓其中蕴含着丰富的科学和人文价值，激励学生对数学学习产生浓厚兴趣．从研究方法而言，生成从特殊到一般的认识勾股定理的发现过程，学习用以“形”证“数”的方法证明勾股定理，建立“数”与“形”相结合的数学模型，有力培养了学生的合情猜想能力，拓展了学习推理论证的视野．
.从理解学生的角度出发，预设教学活动和跟进追问
八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、探索和推理能力．课前，通过问卷的方式，了解到近九成的学生已听说过勾股定理，近八成的学生能准确地说出勾股定理的内容，学生更想知道勾股定理的证明方法和相关历史．在准确掌握学情之后，本节课的学习重点在勾股定理的证明．通过拼图操作，先在小组内交流展示，证明勾股定理，再展示各自的证明方法．重点使用面积法和割补法，安排了较多时间在勾股定理的拼图、证明上，这也是让学生“知其然，知其所以然”的教学追问．
.加强教学对话、互动生成，注重渗透数学思想方法
本节课，积极与学生对话，促进教学生成；同时在与学生对话、追问之中，引导学生体会、感受数学思想方法.比如从等腰直角三角形再到一般直角三角形，渗透了从特殊到一般的数学思想；在勾股定理的证明之后，引导学生思考勾股定理揭示出“形”“数”之间的关系，渗透了数形结合思想.
曾有老师说过，“要想看一个数学教师的基本功，就让他上勾股定理”，此言不虚，自己对勾股定理教学的探索只是开始，远未结束，将来的教学生活中还会碰到，还要加强研讨，争取更深刻地理解教学内容，预设出既贴近学生实际，又过渡自然的教学设计.
课件18张PPT。19.9(1) 勾股定理1勾股定理你能发现
图中三个正方形的面积之间
有何关系吗？2验证等腰直角三角形 勾股定理3验证一般的直角三角形 4证法赏析勾股定理关于勾股定理54000年6500种7外国学者的研究中国学者的研究公元前
2000年公元前
1600年普林顿322号泥板记有15组勾股数商高知道勾
三股四弦五公元前
1120年陈子知道一般情况下的勾股定理公元前7世纪
-前6世纪公元前560年
-前480年毕达哥拉斯
证明勾股定理《几何原本》出版载有欧几里得证法公元前330年
-前275年《周髀算经》公元前157年公元0年8外国学者的研究中国学者的研究公元0年公元3世纪赵爽弦图—
赵爽注《周髀算经》
刘徽—
面积出入相补证法1140年梅文鼎《勾股举隅》给出勾股定理3种证法1633-
1721年1876年加菲尔德证明鲁米斯《毕达哥拉斯定理》出版，给出371种不同证明1940年北京国际数学家大会 会标印度婆什伽罗证法1769-
1817年李锐《勾股算术细草》给出面积出入相补证法1670年“费马大定理”提出华罗庚建议将弦图作为与外星人交流的语言1910-1985怀尔斯证明费马大定理1993年2002年至今尚未解决的问题卡罗尔猜想
比尔猜想
费马-卡特兰猜想9欧几里得公元前330年—公元前275年关于勾股定理徐光启1562 年— 1633年利玛窦1552年— 1610年 勾股定理10几何原本11勾股定理例题1 如果一个直角三角形两条直角边的长分别为3、4,那么它的第三边的长为 .12变式 如果一个直角三角形两条边的长分别为3、4,那么它的第三边的长为 .勾股定理例题2 求边长为1的等边三角形的面积.13?勾股定理变式 如果等边三角形的边长为 ，
那么面积S是多少？
（用含 的代数式表示）
1415THANK YOU158勾股定理练习
在 中， .
①已知 ， ，求 ；
②已知 ， ，求 . 8勾股定理例题3 如图，字母B所代表的正方形面积是（ ）.A. 12; B. 13; D. 194. C. 144; 8勾股定理变式 ：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
