高中数学人教版必修一讲读设计：3．1．2 用二分法求方程的近似解

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3.1.2 用二分法求方程的近似解 讲读设计
教学目标：
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
教学过程：
一、预习反馈
1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 ，我们把使 的实数x叫做函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的零点。
方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 有实数根 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 。
如果函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 在区间 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 在区间 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 内有零点.
2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？


二、学习目标
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
三、自学与探究
(一)自学提示 整合教材知识,落实基本能力
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？






新知：对于在区间上连续不断且<0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
3、写出给定精度，用二分法求函数零点近似值的步骤。
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．

(二)合作探讨
1、借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到）．

2、借助计算机或计算器求函数的一个正数零点（精确到）．


【巩固练习】
1、下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）






2、



3、求方程的解的个数及其大致所在区间.




4、求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间 中点函数值符号 区间长度












(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能
题型一　二分法概念的理解
例1　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)

答案　A
解析　按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.
反思与感悟　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
变式训练1　下列函数中，能用二分法求零点的为(　　)

答案　B
解析　函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.
题型二　用二分法求方程的近似解
例2　(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.
f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1.109 375 f(1.625)＝0.416 015 625 f(1.562 5)＝0.127 197 265
答案　1.5
解析　由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，
又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，
所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.
(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f()
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0

由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
反思与感悟　利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.
变式训练2　用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67

解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1,2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0
(1,1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0
(1.25,1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
四、当堂检测
1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　)

答案　B
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 －0.9 －3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3，＋∞)
答案　B
3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A.[－2,1] B.[－1,0] C.[0,1] D.[1,2]
答案　A
解析　∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.
4. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
5.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为(　　)
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定
答案　A
解析　由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).
6.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.
答案　(2,2.5)
解析　f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).
7. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 .

五、归纳小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.

六、课后作业
一、选择题
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案　C
解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.
2.用二分法求函数零点的近似值适合于(　　)
A.变号零点 B.不变号零点 C.都适合 D.都不适合
答案　A
3.下列关于二分法的叙述，正确的是(　　)
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D.只有求函数零点时才用二分法
答案　B
解析　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：
x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 －0.25 －0.70 －1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是(　　)
A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)
答案　C
解析　∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.
5.设方程2x＋2x＝10的根为β，则β属于(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案　C
解析　设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点.f(0)＝－9，f(1)＝－6，
f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0. ∴β∈(2,3).
6.函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　　)
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
答案　C
解析　∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，∴f(1.437 5)·f(1.406 25)＜0，
即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内.
又∵方程的解精确到0.1，∴可取方程近似解为1.4.
二、填空题
7.在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1).
答案　0.75
解析　0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.
8.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是__________.
答案　
解析　令f(x)＝ln x－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f＝ln －<0，
∴下一个含根的区间是.
9.用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01.
答案　7
解析　设n次“二分”后精确度达到0.01，
∵区间(2,3)的长度为1，∴<0.01，即2n>100.
注意到26＝64<100,27＝128>100.
故要经过7次二分后精确度能达到0.01.
10.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
答案　(0,0.5)，f(0.25)
解析　二分法要不断地取区间的中点值进行计算.
由f(0)＜0，f(0.5)＞0，知x0∈(0,0.5).
再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置.
三、解答题
11.用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1).
解　f(1)＝－1<0，f(1.5)＝－－1＝>0，
f(1.25)＝－－1<2－－1＝－<0，
故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1；
f(1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内，
此时0.125>0.1；
又f(1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1，
故f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点是x＝1.312 5.
12.求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1).
解　令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点.
∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 0.416
(2,2.5) 2.25 0.061
(2,2.25) 2.125 －0.121
(2.125,2.25) 2.187 5 －0.030
∵2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1，
∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.
13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).
解　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.
取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
左端点 右端点
第1次 1 2
第2次 1 1.5
第3次 1.25 1.5
第4次 1.375 1.5
第5次 1.375 1.437 5
由表可以看出，区间(1.375,1.437 5)内的所有值，精确到0.1时，都是1.4，
所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.