【新北师大版九年级数学（下）培优专集】
圆 （解析卷）
一.选择题：（共10题）
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
2．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
3．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠OBC的度数为( )
A．18° B．36° C．60° D．54°
5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4
6．如图，CD是⊙O的直径，AB，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=16，CD=20，EF=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．96+25π B．88+50π C．50π D．25π
7．如图，(8，0)、(0，6)分别是平面直解坐标系坐标轴上的点，经过点且与 相切的动圆与轴、轴分别相交与点、，则线段长度的最小值是（）
A． B．5 C．4.8 D．4.75
8．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E，△PCD的周长为20，sin∠APB＝，则⊙O的半径( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
二.填空题:(共10题)
11．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径作⊙C，G是⊙C上一个动点，P是AG中点，则DP的最大值为_____
12．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若＝，且AB＝10，则CB的长为_____．
13．如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，连接CD，DE，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为_____．
14．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
15．如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2 ．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为_____．
16．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为___．
17．如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）
18．如图，在?中，，点为上任意一点，连接，则线段之间的数量关系为_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，经过两点的圆交轴于点（在上方），则四边形面积的最小值为__________．
20．如图，内接于⊙，是⊙的直径，.平分交⊙于，交于点，连接,若的面积是5，则的面积是________.
三.解答题：（共10题）
21．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是△ABC其中的某一条中内弧．
（1）如图2，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②请写出一个t的值，使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．
22．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．
23．如图，平行四边形的边与经过，，三点的相切.
（1）求证：点平分；
（2）延长交于点，连接，若，半径为13，求的长.
24．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.
25．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
26．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
27．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C重合）对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G．
（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆⊙F，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；
②记t＝GF2+AG?GE，当AB＝6，BD＝6时，求t的取值范围．
28．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=.
(1)求证：△DEB∽△DAE；
(2)求DA，DE的长；
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.
29．如图，D为直角△ABC中斜边AC上一点，且AB＝AD，以AB为直径的⊙O交AD于点F，交BD于点E，连接BF，BF．
（1）求证：BE＝FE；（2）求证：∠AFE＝∠BDC；
（3）已知：sin∠BAE＝，AB＝6，求BC的长．
30．已知矩形ABCD，AB=10，AD=8，G为边DC上任意一点，连结AG，BG，以AG为直径作⊙P分别交BG，AB于点E，H，连结AE，DE．
（1）若点E为弧GH的中点，证明：AG=AB．
（2）若△ADE为等腰三角形时，求DG的长．
（3）作点C关于直线BG的对称点C′．
①当点C落在线段AG上时，设线段AG，DE交于点F，求△ADF与△AEF的面积之比；
②在点G的运动过程中，当点C′落在四边形ADGE内时（不包括边界），则DG的范围是 （直接写出答案）
【新北师大版九年级数学（下）培优专集】
第三章 圆（解析卷）
一.选择题：（共10题）
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【答案】D
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH=，
在Rt△CKH中，CK= =，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．
2．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
【答案】A
解:连接OT、OC，
∵PT切⊙O于点T，
∴∠OTP=90°，
∵∠P=20°，
∴∠POT=70°，
∵M是OP的中点，
∴TM=OM=PM，
∴∠MTO=∠POT=70°，
∵OT=OC，
∴∠MTO=∠OCT=70°，
∴∠OCT=180°-2×70°=40°，
∴∠COM=30°，
作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1，
S阴影=S△AOC+S扇形OCB=OA?CH+=1+，
故选A.
3．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选D．
4．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠OBC的度数为( )
A．18° B．36° C．60° D．54°
【答案】D
解根据圆周角定理，由∠A=36°，可得∠O=2∠A =72°，然后根据OB=OC，求得∠OBC=12（180°-∠O）=12（180°-72°）=54°.
故选：D
5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4
【答案】B
解如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC=，
则CE′=OC﹣OE′=﹣2，
故选：B．
6．如图，CD是⊙O的直径，AB，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=16，CD=20，EF=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．96+25π B．88+50π C．50π D．25π
【答案】C
解：延长BO交⊙O于G，则BG是⊙O的直径，连接AG、OE、OF，
∴∠GAB=90o，
∵AB=16，BG=CD=20，
∴AG=，
∴AG=EF，
∴，
∴S扇形AOG=S扇形EOF，
∵CD∥EF，
∴S△OEF=S△DEF，
∴S扇形EOF=S阴影DEF，
∴S扇形AOG= S阴影DEF，
∴S阴影=S⊙O==50.
故选C.
7．如图，(8，0)、(0，6)分别是平面直解坐标系坐标轴上的点，经过点且与 相切的动圆与轴、轴分别相交与点、，则线段长度的最小值是（）
A． B．5 C．4.8 D．4.75
【答案】C
解：如图所示
∵圆心为F，且P、Q、O、D在圆上
∴FD=FO，且PQ=FO+FD
∵在△FOD中，FO+FD>OD，当O、F、D三点共线时FO+FD=OD
∴PQ≥OD
由图易知当OD⊥AB即OD为△OAB边AB上的高时，OD最小
此时OD=
∴PQ的最小值为4.8
故答案是：C.
8．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：（1）连接AQ，如图1，
∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP＝∠ACB＝90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB＝90°．
∴∠OQB＝∠OBP＝90°．
又∵∠BOQ＝∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴．
∵OA＝OB，
∴．
又∵∠AOQ＝∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ＝∠APO．
∵∠OQB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP＝∠APO．
∴∠CAP＝∠OAQ．
∴∠CAQ＝∠BAP．
∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴．
故A正确．
（2）如图1，
∵△OBP∽△OQB，
∴．
∴．
∵AQ≠OP，
∴．
故C不正确．
（3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ＝CQ．
∵AO＝BO，
∴OQ＝AC．
∵OR＝AB．
∴，．
∴．
∴．
故B不正确．
（4）如图2，
∵，
且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，
∴．
∵AB≠AP，
∴．
故D不正确．
故选：A．
9．如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E，△PCD的周长为20，sin∠APB＝，则⊙O的半径( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
解连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，
∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，
∴PA＝PB＝10，
∵sin∠APB＝，
∴sin∠PFB==，
∴=，
解得：AF＝，
在Rt△AOF中，tan∠AOF=tan∠BPF==，
∴，
∴OA＝5，
故选B．
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
【答案】D
解如图3，连接，
是直角，为中点，
半径，
原点始终在上，
，
，
连接，则，
，
点在与轴夹角为的射线上运动，
如图4，，
如图5，，
总路径为：，
故选：.
二.填空题:(共10题)
11．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径作⊙C，G是⊙C上一个动点，P是AG中点，则DP的最大值为_____
【答案】
解：如图，连接BG，
∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，
∴AD=BD=AB=3，
又∵CD=4，
∴BC=5.
∵E是高线CD的中点，
∴CE=CD=2，CG=CE=2.
根据两点之间线段最短可得：BG≤CG＋CB=2＋5=7.
当B，C，G三点共线时，BG取最大值为7.
∵Р是AG中点，D是AB的中点，
∴PD=BG，
∴DP最大值为
12．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若＝，且AB＝10，则CB的长为_____．
【答案】4
【解析】
解：如图，∵，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C?A′A＝A′D′?A′B，
即A′C?2A′C＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，
∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4．
故答案是：4．
13．如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，连接CD，DE，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为_____．
【答案】4
解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC＝30°，
∴∠COE＝60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM＝sin60°×OE＝ ×4＝2，
∵EF＝2EM，
∴EF＝4．
故答案为4．
14．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
【答案】2-2
解如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为：-2.
15．如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2 ．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为_____．
【答案】2
解：如图，点E，F在以D为圆心，DC为半径的圆上，当A，D，E在同一直线上时AE取最大值，
过点A作AH⊥BC交BC于H，
∴∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠ACB＝30°，BH＝CH，
∴在Rt△ABH中，
AH＝AB＝，BH＝AH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∵BD：DC＝1：2，
∴BD＝2，CD＝4，
∴DH＝BH﹣BD＝1，
在Rt△ADH中，AH＝，DH＝1，
∴tan∠DAH＝，
∴∠DAH＝30°，∠ADH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠E＝60°，DE＝EF＝DC，
∵∠ADC＝∠E＝60°，
∴DC∥EF，
∵DC＝EF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
又∵DE＝DC，
∴平行四边形DEFC为菱形，
∴FC＝DC＝4，∠DCF＝∠E＝60°，
∴∠ACF＝ACB+∠DCF＝90°，
在Rt△ACF中，,
故答案为：．
16．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为___．
【答案】π﹣．
解连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，
∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°
∵OA＝OE＝OD＝OB
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，
∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝=．
故答案为．
17．如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）
【答案】
解：连结AD．
∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，
∴∠C=60°，AB=4，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=4×4÷2﹣4×2÷2﹣=．
故答案为：．
18．如图，在?中，，点为上任意一点，连接，则线段之间的数量关系为_____．
【答案】 ．
解：如图作于交的延长线于．
是直径，
，
，
=
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，经过两点的圆交轴于点（在上方），则四边形面积的最小值为__________．
【答案】
解：如图：
∵，，
∴AB的中点坐标为（ ，），AB与x轴夹角为45°，设圆心为M，
线段AB的垂直平分线l必过圆心M，解得l的解析式为y=-x+3，设圆心M的横坐标为a，则纵坐标为：-a+3，即M（a，-a+3）,半径r2=(a+2)2+(a-3)2
∴S四边形ADBC=×OA×CD +×yB×CD=×2×CD +×3×CD=CD,
当CD值最小时，S四边形ADBC有最小值.
∵Rt△CMH中，由勾股定理得：CH2=CM2-MH2=(a+2)2+(a-3)2-a2=a2-2a+13=(a-1)2+12，
当a=1时，CH2有最小值，为12，即CH=2，CD=2CH=4，
∴S四边形ADBC最小值=×4=10 .
故答案为：10 .
20．如图，内接于⊙，是⊙的直径，.平分交⊙于，交于点，连接,若的面积是5，则的面积是________.
【答案】
解：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠B=30°
∴
∵CE平分∠ACB交⊙O于E
∴
∴AD=AB，BD=AB
过C作CF⊥AB于F，连接OE
∵CE平分∠ACB交⊙O于E
∴弧AE=弧BE
∴OE⊥AB
∴OE=AB，CF=AB，
∴
=2:3
∵
∴
故答案是：.
三.解答题：（共10题）
21．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是△ABC其中的某一条中内弧．
（1）如图2，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②请写出一个t的值，使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．
【答案】（1）图详见解析，；（2）①m≤或m≥3；②t＝4．
解：（1）如图1中，由垂径定理可知，圆心O在线段DE的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴当点O是△ABC的内心时，内弧最长，
在Rt△OHC中，
∵CH＝，∠OCH＝30°，
∴OH＝CH?tan30°＝2，
∵∠ADE＝∠AEO＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠DOE＝120°，
∴的长＝＝．
（2）①如图2中，
如图2中，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，DE的垂直平分线交DE于F，
①当t＝时，C（，0），A（，6），
∴D（，3），E（，6），F（，3），
设O′（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥3
∵tan∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∵DE∥OC，
∴∠ADE＝60°，
当O′D⊥OA时，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，
∴O′F＝，
∴O′（，），
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点O′的下方（含点O′）时也符合要求，
∴m≤，
综上所述，m≤或m≥3．
②如图3中，当△AOC是等边三角形时，内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．此时t＝4．
22．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．
【答案】（1）DC与⊙O相切；（2）．
解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：
连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．
（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC===，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．
在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=．
23．如图，平行四边形的边与经过，，三点的相切.
（1）求证：点平分；
（2）延长交于点，连接，若，半径为13，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）.
解（1）证明：如图：连接交于点，
∵与相切，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴点平分；
（2）连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，
∵圆的半径为13，∴，
在中，，
即，
∴.
在中，.
∴，
∵，
∴.
24．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.
【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=．
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴=DF?DB；
（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴，即，∴PD=4．
25．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
【答案】(1) ☉O的半径是；(2)AB∥ON，证明见解析.
解：(1)连接，
在☉0中，
，
是☉0的直径.
中，
☉0的半径是
(2)
证明：连接, , ,
在☉0中,
, ,
.
又,
.
在中，, ,
,即
连接，交于点
在☉0中，
延长交☉0于点，则有
,
又:，
.
26．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC＋∠AEO＝90°，
∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）证明：连接AD
∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
27．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C重合）对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G．
（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆⊙F，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；
②记t＝GF2+AG?GE，当AB＝6，BD＝6时，求t的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）①证明见解析②9≤t≤12
解：（1）如图1，⊙F为所求作的圆；
（2）①证明：
如图2，连接AF，EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB，
∵FA＝FE，
∴∠AEF＝∠FAE，
∴∠AEF＝（180°﹣∠AFE）＝90°﹣∠AFE，
又∠ACB＝∠AFE，
∴∠AEF＝90°﹣∠ACB，
又∵∠DBC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AEF＝∠DBC；
②解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝×，
在Rt△ABO中，AO＝，
又∵∠AGB＝∠FGE，∠ABG＝∠FEG，
∴△ABG∽△FEG，
，
∴AG?GE＝GF?BG，
∵∠GEF＝∠FBE，∠GFE＝∠EFB，
∴△EFB∽△GFE，
∴，
∴GF?BF＝EF2，
∴t＝GF2+AG?GE＝GF2+GF?BG＝GF（GF+BG）＝GF?BF＝EF2，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，EF＝AF≥AO，
∴EF2≥AO2＝32＝9，
如图3，当点F与点O重合时，AF最大，
由题意可知：AF＝BF，设AF＝x，则OF＝3﹣x，
∵AO2+OF2＝AF2，
∴32+（3﹣x）2＝x2，
解得，x＝2，
∴当x＝2时，t的最大值为12，
∴9≤t≤12．
28．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=.
(1)求证：△DEB∽△DAE；
(2)求DA，DE的长；
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.
【答案】(1)证明见解析； (2)DA=，DE=；(3)MD＝.
解(1)DE2＝DB·DA，
∴，
又∵∠D＝∠D，
∴△DEB∽△DAE；
(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
又∵AE=EF，BF=10，
∴AB=BF=10，
∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，
∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=，
在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝，得AE=ABcos∠EAD=8，
∴，
∵△DEB ∽△DAE，
∴，
∵DB=DA-AB=DA-10，
∴，解得，
经检验，是的解，
∴DA=，DE=；
(3)连接FM，
∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，
∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，
∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，
∴点M在以BF为直径的圆上，
∴FM⊥AB，
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得
AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝，
∴MD＝DA－AM＝.
29．如图，D为直角△ABC中斜边AC上一点，且AB＝AD，以AB为直径的⊙O交AD于点F，交BD于点E，连接BF，BF．
（1）求证：BE＝FE；（2）求证：∠AFE＝∠BDC；
（3）已知：sin∠BAE＝，AB＝6，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BC＝12．
解（1）如图，连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BD，
∵AB＝AD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠EBF＝∠DAE，∠BFE＝∠BAE，
∴∠EBF＝∠BFE，
∴BE＝EF；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠2，
∵∠1＝∠ABD，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠AFE＝∠2+∠BDC＝180°，
∴∠AFE＝∠BDC；
（3）如图，过点D作DG⊥BC于点G，
∵sin∠BAE＝，AB＝AD＝6，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝4，
又∵∠DBG+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBG＝∠BAE，
∴DG＝BDsin∠DBG＝4×＝4，
∴BG＝4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得：BC＝12．
30．已知矩形ABCD，AB=10，AD=8，G为边DC上任意一点，连结AG，BG，以AG为直径作⊙P分别交BG，AB于点E，H，连结AE，DE．
（1）若点E为弧GH的中点，证明：AG=AB．
（2）若△ADE为等腰三角形时，求DG的长．
（3）作点C关于直线BG的对称点C′．
①当点C落在线段AG上时，设线段AG，DE交于点F，求△ADF与△AEF的面积之比；
②在点G的运动过程中，当点C′落在四边形ADGE内时（不包括边界），则DG的范围是 （直接写出答案）
【答案】（1）见解析；（2）DG＝4或6或5；（3）①；②＜DG＜10．
解（1）∵AG为⊙P直径，
∴∠AEG=∠AEB=90°．
∵点E为弧DH的中点，
∴∠BAE=∠GAE．
在△AEB和△AEG中，
∵，
∴△AEB≌△AEG（ASA），
∴AG=AB；
（2）如图1，△ADE为等腰三角形，分三种情况：
①AE=AD=8．
∵AG为⊙P直径，
∴∠AEG=∠AEB=90°，
∴BE6．
∵ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，BC=AD=8，CD=AB=10，
∴∠ABE+∠CBG=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CBG=∠BAE．
在△BCG和△AEB中，
∵，
∴△BCG≌△AEB（ASA），
∴CG=BE=6，
∴DG=CD﹣CG=10﹣6=4．
②AE=DE，过点E作EM⊥AD于M．
∵AE=DE，EM⊥AD，
∴∠AEM=∠DEM，∠AME=∠DME=90°，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BAE=∠AEM=∠DEM=∠EDG，
∴．
由（1）得AG=AB=10，
∴DG6；
③AD=DE，过D作DN⊥AE于N，
∴∠AND=∠AEB=90°，AN=NE．
∵∠DAE+∠BAE=∠ADN+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠ADN，
∴△ADN∽△BAE，
∴，
即：，
∴．
∵∠ABE+∠CBG=∠CGB+∠CBG=90°，
∴∠ABE=∠CGB．
∵∠AEB=∠BCG=90°，
∴△BCG∽AEB，
∴，
即：，
∴CG=5，
∴DG=CD﹣CG=10﹣5=5．
综上所述：DG=4或6或5．
（3）①如图2，点C'，C关于直线BG对称，连接BC'，连接PE，由轴对称性质得：BC'=BC，∠C'BG=∠CBG，GC=GC'，∠BGC'=∠BGC，
∴∠BC'G=∠BCG=90°，
∴∠AC'B=∠GDA=90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAC'=∠AGD．
∵BC'=BC=AD，
∴△ABC'≌△GAD（AAS），
∴AG=AB=10，DG6．
∵AB∥CD，
∴∠BGC=∠ABG=∠AGB．
∵AE⊥BG，
∴BE=EG．
∵AP=PG，
∴PE∥AB∥CD，PEAB=5，
∴△DFG∽△EFP，
∴，
∴．
②如图3，当点C'落在矩形ABCD对角线AC上时．
∵∠AEB=∠BEC=∠ABC=∠BCG=90°，
∴∠BAC+∠ACB=∠CBG+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CBG，
∴△ABC∽△BCG，
∴，
即CG，
∴DG=CD﹣CG=10．
当点G向右运动且不与点C时，C'始终落在四边形ADGE内部，
∴DG＜10，
∴DG＜10．
故答案为：DG＜10．
