高中数学人教版必修一讲读设计：3．1．1 方程的根与函数的零点

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3.1.1 方程的根与函数的零点 讲读设计
教学目标：
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理。
教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理
教学难点：零点存在的判定定理的理解
教学过程：
一、预习反馈
1．一元二次方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 +bx+c=0 (a HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0)的解法： 判别式 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 =
当 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0，方程有两根，为 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 ；
当 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0，方程有一根，为 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 ；
当 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0，方程无实根。
2．方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 +bx+c=0 (a HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0)的根与二次函数y=ax HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 +bx+c (a HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 0)的图象之间有什么关系？

判别式 一元二次方程 二次函数图象
HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4
二、学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理。
三、自学与探究
(一)自学提示 整合教材知识,落实基本能力
探究一：函数零点与方程的根的关系
1.方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的解为 ，函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴有 个交点，坐标为 ；
2.方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的解为 ，函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴有 个交点，坐标为 ；
3.方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的解为 ，函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴有 个交点，坐标为 。
根据以上结论，可以得到：一元二次方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的根就是相应二次函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴交点的 。
你能将结论进一步推广到函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 吗？



4.零点的概念：


反思：
函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的零点、方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的实数根、函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？



练习1：（1）函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的零点为 ；
（2）函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的零点为 。
小结：方程 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 有实数根 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴有交点 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 有零点。

探究二：零点存在性定理
1. 作出 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象，求 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的值，观察 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的符号





2.观察下面函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的图象，
在区间 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 上 零点， 0；
在区间 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 上 零点， 0；
在区间 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 上 零点， 0.
3. 零点存在性定理的内容：




讨论：(1)函数满足，那么函数在区间内是否一定存在零点？请举例说明。


(2) 函数满足，且在区间内有零点，那么一定只有一个零点吗？请举例说明。


(3) 函数满足，还需要满足什么条件，就在区间内一定只有一个实数根？

(二)合作探讨
例1求函数的零点的个数.






变式：1. 求函数的零点所在区间.




2. 求函数 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" EMBED Equation.DSMT4 的零点所在的大致区间.



小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能
题型一　求函数的零点
例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
反思与感悟　求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
变式训练1　函数y＝x－1的零点是(　　)
A.(1,0) B.0 C.1 D.不存在
答案　C
解析　令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.

题型二　判断函数零点所在区间
例2　已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(　　)
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
答案　C
解析　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.
∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内.
反思与感悟　1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.
变式训练2　函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)
答案　C
解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点.

题型三　判断函数零点的个数
例3　判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
解　方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.
反思与感悟　判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.
变式训练3　函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.0 D.不能确定
答案　B
解析　如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.


题型四　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题
例4　关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围.
解　方法一　(应用求根公式)
方程x2－2ax＋4＝0的两根为
x＝＝a±，
要使两根均大于1，只需较小根a－>1即可.
解得2≤a<.
方法二　(应用根与系数的关系)
设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，
则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①
要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，
则需满足
将①代入上述不等式组，解得2≤a<.
方法三　(应用二次函数的图象)
设f(x)＝x2－2ax＋4，图象如图所示.
由图可知
解得2≤a<.
反思与感悟　1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向.
2.设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.
根的分布 图象 等价条件
x1kx1x1，x2∈(k1，k2)
x1，x2(x1≠x2)中有且仅有一个在(k1，k2)内 f(k1)·f(k2)<0或f(k1)＝0，k1<－<或f(k2)＝0，<－
变式训练4　已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(－4，－2)，求a的取值范围.
解　∵f(x)＝ax2＋2ax＋1的图象是连续的且两点x1，x2满足x2∈(－4，－2)，x1∈(0,1).
∴?a<－.
∴a的取值范围为a<－.
四、当堂检测
1.函数y＝4x－2的零点是(　　)
A.2 B.(－2,0) C. D.
答案　D
解析　令y＝4x－2＝0，得x＝. ∴函数y＝4x－2的零点为.
3.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则(　　)
A.方程f(x)＝0一定有实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实数解
D.方程f(x)＝0可能无实数解
答案　D
解析　∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.
4.若函数在上连续，且有．则函数在上（ ）.
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
5.方程2x－x2＝0的解的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.
6. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.

8.已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________.
答案　(－∞，2)
解析　由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.

五、归纳小结
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

六、课后作业
一、选择题
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

答案　A
解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
2.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3.下列区间中，存在函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点的是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2，e) D.(3,4)
答案　B
解析　f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，故在区间(1,2)上存在函数f(x)的零点.
4.已知函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且满足f(a)·f(b)<0(a，b∈R，aA.有且只有一个零点 B.至少有一个零点
C.无零点 D.无法确定有无零点
答案　B
解析　函数y＝f(x)在定义域内连续，且满足f(a)·f(b)<0，故函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点.
5.若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A.－1和 B.1和－ C.和 D.－和
答案　B
解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.
6.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A.至多有一个 B.有一个或两个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
答案　C
解析　若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾.故仅有一个零点.
二、填空题
7.若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________.
答案　0或－
解析　a＝0时，f(x)只有一个零点－1，a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
9.函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是_____.
答案　(－3,0)
解析　函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知
即解得－310.如果函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是______.
答案　0，－1
解析　由f(x)＝ax－b有零点3，即3a－b＝0，b＝3a.
∴bx2＋3ax＝0，即3ax2＋3ax＝0，∴x＝0或x＝－1.
三、解答题
11.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点.
解　由题意得x2－ax－b＝0有两根2和3，
由根与系数的关系得得
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令g(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0即(2x＋1)(3x＋1)＝0，得x＝－，或x＝－.
∴g(x)的零点为－，－.
12.已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4 ，求下列条件下，实数a的取值范围.
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内.
解　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得
解得2≤a＜.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得
解得＜a＜.