高中数学人教版必修一讲读设计：3．2．1 几类不同增长的函数模型

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3.2.1 几类不同增长的函数模型 讲读设计
教学目标：
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题
教学过程：
一、预习反馈
阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

二、学习目标
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
三、自学与探究
(一)自学提示 整合教材知识,落实基本能力
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？

反思：
（1） 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？



（2） 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点。




例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？





反思：
（1） 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？


（2）根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

探究：幂、指、对函数的增长差异
问题：幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单调性如何？增长有差异吗？






实验：函数，，，试计算：
1 2 3 4 5 6 7 8
y1
y2
y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3
由表中的数据，你能得到什么结论？



思考：大小关系是如何的？增长差异？

结论：在区间上，尽管，和
都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x
的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度．而的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个，
当时，就有．




(二)合作探讨
某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格. 经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能
题型一　函数模型的增长差异
例1　(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)
A.y＝10 000x B.y＝log2x
C.y＝x1 000 D.y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
答案　(1)D　(2)y2
解析　(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快.
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
反思与感悟　在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.
变式训练1　下列函数中，随x增大而增大速度最快的是(　　)
A.2 014ln x B.y＝x2 014
C.y＝ D.y＝2 014·2x
答案　D
解析　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 014·2x的增长速度最快.故选D.
题型二　几种函数模型的比较
例2　某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：
时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：
y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，
y＝a·bx，y＝alogax.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.
解　(1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，
∴a≠0，而此时y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝alogax均为单调函数，
与表中数据不符，因此y＝ax2＋bx＋c，
将三组数据代入得得
∴描述西红柿种植成本y与上市时间x的关系为
y＝x2－x＋.
(2)当x＝150时，ymin＝100(元/102kg).
反思与感悟　1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.
2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.
变式训练2　某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 2010 2011 2012
产量 8(万) 18(万) 30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
解　建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42.
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
四、当堂检测
1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（ ）.
A． B. y=2 C. y=2 D. y=2x
2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）.
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（ ）.
A. y=20-2x （x≤10） B. y=20-2x （x<10） C. y=20-2x （5≤x≤10） D. y=20-2x（54. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成 .

1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（ ）.

2. 下列函数中随增大而增大速度最快的是（ ）.
A． B．
C． D．
3. 根据三个函数给出以下命题：
（1）在其定义域上都是增函数；
（2）的增长速度始终不变；（3）的增长速度越来越快；
（4）的增长速度越来越快；（5）的增长速度越来越慢。
其中正确的命题个数为（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 当的大小关系是 .
5. 某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(　　)
A.y＝3x B.y＝log3x C.y＝x3 D.y＝3x
答案　D
解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2.当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快.
其中正确的结论是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案　B
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

答案　D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
4.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　)
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x
答案　B
解析　方法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________.
答案　y＝－x＋50(0＜x＜200)
解析　设解析式为y＝kx＋b，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0＜x＜200).


五、归纳小结
1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；
2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；
3. 应用建模（函数模型）；
4. 直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义
解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

六、课后作业
一、选择题
1.下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x
答案　B
解析　对数函数增长的速度越来越慢，故选B.
2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，则三年后这种笔记本的价格是(　　)
A.7 200×()3 B.7 200×()3
C.7 200×()2 D.7 200×()2
答案　B
解析　由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×＝7 200×，两年后，价格为7 200××(1－)＝7 200×()2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×()3.
3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
答案　A
解析　由题中图象可知，该函数模型为指数函数.
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
答案　A
解析　由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
5.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)

答案　B
解析　取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半.易知B符合题意.

6.若x∈(1,2)，则下列结论正确的是(　　)
A.2x＞x＞lg x B.2x＞lg x＞x
C.x＞2x＞lg x D.x＞lg x＞2x
答案　A
解析　∵x∈(1,2)，∴2x＞2.
∴x∈(1，)，lg x∈(0,1).∴2x＞x＞lg x.
二、填空题
7.三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40

其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
答案　y3　y2　y1
解析　根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.
8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案　e6－1
解析　由题意得2 000ln＝12 000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
9.若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________.
答案　ax
解析　由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax>xn>logax.
10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象.有以下叙述：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________.
答案　①③
解析　根据题意，函数的图象经过点(2，)，
故函数为y＝()t.易知①③正确.
三、解答题
11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1)求出v关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.
解　(1)设v＝k·log3，
∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，
∴v关于Q的函数解析式为v＝log3.
(2)令v＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2 700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位.
12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
解　现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100(个)；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个).
可归纳出，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×()x，x∈N*.
由100×()x>1010，得()x>108，
两边同时取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个.
13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解　(1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg＝10lg 1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg 102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg 104＝40(分贝).
(2)由题意知0≤L1＜50，
即0≤10lg＜50，
所以1≤＜105，
即1×10－12≤I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10－12，1×10－7).