章末复习课
知识体系
[答案填写] ①切线 ②不在同一条直线上 ③重力 ④匀速直线运动 ⑤自由落体运动 ⑥v0t ⑦gt2 ⑧
⑨v0 ⑩gt ? ? ? ?ωr ? ?ω2r ? ?r ?mω2r ?m mr
主题一 小船渡河问题的处理方法
1．小船参与的两个分运动．小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同；
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．
船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题．
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题(v水＜v船)：最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．
(3)若v水＞v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：
如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝.
【例1】 河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中速度v2＝3 m/s，则：
(1)它渡河的最短时间是多少？
(2)最短航程是多少？
解析：(1)当小船速度垂直于河岸过河的时间最短，则
tmin＝＝ s＝20 s.
(2)先作出OA表示水流速度v1，然后以A为圆心、以船在静水的速度v2的大小为半径作圆，过O作圆A的切线OB与圆A相切于B，连接AB，过O作AB的平行线，过B作OA的平行线，两平行线相交于点C，则OC为船在静水中的速度v2(如图所示)：
由图不难看出，船沿OBD行驶到对岸位移最短，设v2与河岸的夹角为α，则有
cos α＝＝，α＝60°，
smin＝＝ m＝120 m.
答案：(1)20 s (2)120 m
针对训练
1．(多选)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图象如图所示．船在静水中的速度为4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( )
A．船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．渡河的最短时间为240 s
D．船离开河岸400 m时的速度大小为2 m/s
解析：若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化．根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝150 s，选项C错误；船离开河岸400 m时的水流速度大小与船离开河岸200 m时的水流速度大小相等．即v水＝×200 m/s＝2 m/s，则船离开河岸400 m时的速度大小为v′＝＝ m/s＝2 m/s，选项D正确．
答案：AD
主题二 平抛运动临界问题的求解方法
解决平抛运动的临界问题的关键有三点：
1．确定运动性质——平抛运动；
2．确定临界位置——恰好(不)的位置；
3．确定临界轨迹，并画出轨迹示意图．
【例2】 如图所示为一网球场长度示意图，球网高为h＝0.9 m，发球线离网的距离为x＝6.4 m，某一运动员在一次击球时，击球点刚好在发球线上方H＝1.25 m高处，设击球后瞬间球的速度大小为v0＝32 m/s，方向水平且垂直于网，试通过计算说明网球能否过网？若过网，试求网球的直接落地点离对方发球线的距离L？(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)
解析：解法一 网球恰好能过网时到达网所在处下降的高度：
H－h＝gt2，
水平通过的位移：x＝v0mint，
故所需的最小击球速度：
v0min＝x＝ m/s，
而v0＝32 m/s＞v0min，
故网球可过网．
网球从被击到落地历时为t＝ ＝0.5 s，
水平方向上运动的距离s＝v0t＝16 m，
则网球落在对方发球线右侧与发球线间的距离为
L＝s－2x＝3.2 m.
解法二 网球到达网所在处历时为t1＝＝0.2 s，
下落高度h1＝gt＝0.2 m，
因h1＜H－h＝0.35 m，故网球可过网．
以下同法一．
答案：见解析
针对训练
2．如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在邻近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，问：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，如图所示．
vy＝v0tan 53°，v＝2gh，
代入数据，得vy＝4 m/s，
v0＝3 m/s.
(2)由vy＝gt1，得t1＝0.4 s，
故x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m.
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度
a＝＝8 m/s2，
初速度v＝＝5 m/s，
＝vt2＋at，
代入数据，整理得：4t＋5t2－26＝0，
解得t2＝2 s或t2＝－ s(不合题意舍去)．
所以t＝t1＋t2＝2.4 s.
答案：(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
【统揽考情】
本章知识考点较多，在高考命题中的热点有：
(1)对运动合成与分解的理解；
(2)对平抛运动的理解及综合应用；
(3)圆周运动的受力分析及与牛顿第二定律、能量观点的综合应用．
以上热点也是重点，在高考试题中既有选择题，也有综合大题．既有对本章知识的单独考查，又有与以后学习的动能定理、能量守恒、电场、磁场等知识的综合考查．
【真题例析】
(多选)(2019·全国卷Ⅱ)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其vt图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析：由v－t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以A错误；由于最终均落在倾斜雪道上且第二次竖直方向下落距离大，位移的方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确；由于vt斜率知第一次斜率大，加速度大，所以a1>a2，故C错误；竖直方向速度大小为速度为v1时，第一次图象斜率大，故a1>a2，由G－fy＝ma，可知，fy1答案：BD
针对训练
(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由v＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误．
答案：C
1.(2019·海南卷)如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g.若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为( )
A. B.
C. D．2
解析：硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，得μmg＝mω2r，解得ω＝ ，即圆盘转动的最大角速度为 ，故选项B正确．
答案：B
2．(多选)(2019·江苏卷)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：由于座舱做匀速圆周运动，由公式ω＝，解得T＝，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系，可知v＝ωR，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：F合＝mω2R，故D正确．
答案：BD
3．(多选)(2018·江苏卷)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
解析：圆周运动的弧长s＝vt＝60×10 m＝600 m，故A正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，加速度不为零，故B错误；圆周运动的角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，又v＝ωr，所以r＝＝×180 m＝3 439 m，选项C错误，D正确．
答案：AD
4．(2017·江苏卷)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t C. D.
解析：设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确．
答案：C
5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
解析：乒乓球的水平位移最大时球应该恰好落在右侧台面的边角上，由平抛运动规律，得3h＝gt， ＝vmaxt1，解得vmax＝ ；乒乓球的水平位移最小时球应该恰好擦着球网的中点落在右侧台面上，则乒乓球从发球点到球网的中点，由平抛运动规律，得2h＝gt，＝vmint2，解得vmin＝，所以乒乓球发射速率的范围为＜v＜ ，故选项D正确．
答案：D
章末质量评估(一)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分．其中1～8题为单选，9～12题为多选，选对得4分，漏选得2分，多选、错选均不得分)
1．关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体受到的合外力方向变化，一定做曲线运动
B．物体做曲线运动，其加速度一定变化
C．做曲线运动的物体，其速度一定变化
D．物体做圆周运动时，向心力就是物体受到的合外力
解析：若合外力方向与运动方向在同一直线上，方向改变，例如方向变为相反方向，仍然是直线运动，故A错误； 物体做曲线运动，其加速度不一定变化，例如平抛运动，故B错误；做曲线运动的物体，速度沿切线方向，所以其速度方向一定变化，故C正确；物体做匀速圆周运动时，向心力就是物体受到的合外力，如果做变速圆周运动，向心力可能是合力的一个分力，故D错误．
答案：C
2．如图所示，M、N是水平圆盘上的两点，圆盘绕中心竖直轴做匀速圆周运动．若M点离竖直轴的距离比N点的大，则( )
A．M、N两点的运动周期一样大
B．M、N两点的线速度一样大
C．N点的角速度比M点的大
D．N点的向心加速度比M点的大
解析：M与N随圆盘转动，角速度、周期都是相等的，故A正确，C错误；由题图可知，M、N两点转动的半径不同，且M点的半径大，由v＝ωr，可知二者的线速度不同，由a＝ω2r，可知M点的向心加速度大，故B、D错误．
答案：A
3．如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板上两个点，在翘动的某一时刻，A、B的线速度大小分别为vA、vB，角速度大小分别为ωA、ωB，则( )
A．vA＝vB，ωA>ωB B．vA>vB，ωA＝ωB
C．vA＝vB，ωA＝ωB D．vA>vB，ωA<ωB
解析：由题意可知A、B的角速度相等，由题图可知rA>rB，根据v＝ωr得线速度vA>vB，所以选项B正确．
答案：B
4．如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω.某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角是( )
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin θ＝ D．tan θ＝
解析：小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：mgsin θ＝mLω2，解得sin θ＝，故A项正确，B、C、D项错误．
答案：A
5.某人站在竖直墙壁前一定距离处练习飞镖，他从同一位置沿水平方向扔出两支飞镖A和B，两支飞镖插在墙壁靶上的状态如图所示(侧视图)．则下列说法中正确的是( )
A．飞镖A的质量小于飞镖B的质量
B．飞镖A的飞行时间小于飞镖B的飞行时间
C．抛出时飞镖A的初速度小于飞镖B的初速度
D．插入靶时，飞镖A的末速度一定小于飞镖B的末速度
解析：平抛运动的时间和下落高度都与飞镖质量无关，本题无法比较两飞镖的质量，故A错误；飞镖A下落的高度小于飞镖B下落的高度，根据h＝gt2得t＝，知飞镖A的运动时间小于飞镖B的运动时间，故B正确；两飞镖的水平位移相等，飞镖A所用的时间短，则飞镖A的初速度大，故C错误；设飞镖与水平方向的夹角为θ，可得末速度v＝，故无法比较飞镖A、B的末速度大小，故D错误．
答案：B
6．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A. B．2
C. D.
解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mRω2，解得ω＝，选项C正确．
答案：C
7．如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船A点开出的最小速度为( )
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
解析：船参与了两个分运动，沿船头指向的分运动和顺水流而下的分运动，其中，合速度v合方向已知，大小未知，顺水流而下的分运动速度v水的大小和方向都已知，沿船头指向的分运动的速度v船大小和方向都未知，合速度与分速度遵循平行四边形定则(或三角形定则)，如图所示．
当v合与v船垂直时，v船最小，由几何关系得到v船的最小值为v船＝v水sin 37°＝2.4 m/s.故B正确，A、C、D错误．
答案：B
8．在光滑的水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端固定一质量为m的小球B，线长AB＝l＞h，小球可随转轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使球不离开水平面，转轴的转速最大值是( )
A. B．π
C. D．2π
解析：以小球为研究对象，小球受三个力作用：重力G、水平面支持力FN、绳子拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为mω2R，而R＝htan θ.当小球即将离开水平面时，FN＝0，转速n有最大值，F与mg的合力提供向心力，即mgtan θ＝mω2R，又ω＝2πn，故mg＝m·4π2n2h，n＝.故选项A正确．
答案：A
9.水平路面上，一向西匀速行驶的汽车内有一光滑水平桌面，桌面上一小球静止在A点，其俯视图如图所示．某时刻开始，桌面上的小球沿图中虚线从A点运动到B点．则 ( )
A．减速行驶，向南转弯
B．加速行驶，向北转弯
C．小球相对于地面向西北方向运动
D．汽车相对于小球向东南方向运动
解析：汽车向西匀速行驶，小球在某时刻向前运动，说明汽车正在减速，小球因为惯性要保持原来的速度，故相对汽车向西运动，小球同时相对于汽车向北运动，说明汽车向南加速(向南转弯)，所以将小球看作参考系，汽车相对于小球向东南方运动，故A、D正确，B、C错误．
答案：AD
10．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力F1的合力提供向心力，即FN－F1＝m，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．
答案：BC
11．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的x-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．t＝2 s时猴子的加速度大小为4 m/s2
解析：由题图乙、丙看出，猴子在竖直方向做初速度vy＝8 m/s、加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在水平方向做速度vx＝－4 m/s的匀速直线运动，故猴子的初速度大小为v＝ m/s＝4 m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故猴子做匀变速曲线运动，选项B正确，A、C错误；由题图可得，t＝2 s时，ay＝－4 m/s2，ax＝0，则合加速度a＝－4 m/s2，故选项D正确．
答案：BD
12．横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是( )
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最短
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
D．图中三小球比较，小球飞行过程中的速度变化一样快
解析：小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移为落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，A错误，B正确；而速度的变化量Δv＝gt，所以落在c点的小球速度变化最小，C错误；三个小球做平抛运动的加速度都为重力加速度，故三个小球飞行过程中速度变化一样快，D正确．
答案：BD
二、非选择题(本题共5小题，共52分．把答案填在题中的横线上或按照题目要求作答．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(6分)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R＝0.20 m)．
图甲 图乙
完成下列填空：
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为1.00 kg；
(2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，该示数为________kg；
(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧．此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
m/kg
1.80
1.75
1.85
1.75
1.90
(4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为__________N；小车通过最低点时的速度大小为__________m/s(重力加速度大小取9.80 m/s2，计算结果保留两位有效数字)．
解析：(2)托盘秤示数为1.40 kg，注意估读．(4)凹形桥模拟器质量m1＝1.00 kg，则小车质量m2＝1.40 kg－1.00 kg＝0.40 kg；根据(3)中记录表格可得到小车经过凹形桥模拟器最低点时，托盘秤示数m的平均值为1.81 kg，则小车经过最低点时对桥的压力F＝mg－m1g，故压力为7.9 N，根据小车在最低点的受力，结合牛顿第二定律，有F－m2g＝，代入数据可解得v＝1.4 m/s.
答案：(2)1.40 (4)7.9 1.4
14．(9分)如图是用频闪照相技术拍下的两小球运动的频闪照片．拍摄时，光源的频闪频率为10 Hz，a球从A点水平抛出的同时，b球自B点开始下落，背景的小方格为相同的正方形．重力加速度g取10 m/s2，不计阻力．
(1)根据照片显示的信息，下列说法中正确的是_____________
A．只能确定b球的运动是自由落体运动
B．不能确定a球沿竖直方向的运动是自由落体运动
C．只能断定a球的运动是水平方向的匀速直线运动
D．可以确定a球沿水平方向的运动是匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成
(2)根据照片信息可求出a球的水平速度大小为______m/s；当a球与b球运动了______s时它们之间的距离最小．
解析：(1)因为相邻两照片间的时间间隔相等，则水平位移相等，所以小球在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上的运动规律与b球运动规律相同，所以在竖直方向上做自由落体运动，故D正确，A、B、C错误．
(2)根据Δy＝gT2＝10×0.01 m＝0.1 m，所以2L＝0.1 m，所以平抛运动的初速度v0＝＝1 m/s.
因为两球在竖直方向上都做自由落体运动，所以位移之差恒定，当小球a运动到与b在同一竖直线上时，距离最短，则t＝＝0.2 s.
答案：D 1 0.2
15．(10分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3mg，B球通过最高点C时，对管壁内、外侧的压力均为0.求A、B球通过圆周最高点C点的速度大小．
解析：A小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力．
对A球：3mg＋mg＝m，解得vA＝2.
对B球：mg＝m，解得vB＝.
答案：2
16．(12分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，质量为m＝100 g的小球从房顶a点以一定的初速度水平飞出，能够落在墙外的马路上，取墙顶b处为参考平面，g取10 m/s2.试求：
(1)小球在空中运动的时间t.
(2)小球离开房顶时的速度v0的取值在什么范围内，小球能够落在墙外的马路上．
解析：(1)小球竖直方向做自由落体运动，有
H＝gt2，
解得t＝1 s.
(2)v0最小时，小球恰好经过墙顶b点后落在马路上，设球运动到墙顶b点所用时间为t1，则
H－h＝gt，
又v0t1＝L，
解得v0＝5 m/s.
v0最大时，小球落在马路的最右端，设v0的最大值为v0m，则
H＝gt2，
L＋x＝v0mt，
解得v0m＝13 m/s.
所以小球抛出时的速度v0取值范围大小为：
5 m/s≤v0≤13 m/s.
答案：(1)1 s (2)5 m/s≤v0≤13 m/s
17．(15分)地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L(L＞R)，如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中(沙袋所受空气阻力不计)．问：
(1)当小车分别位于A点和B点时(∠AOB＝90°)，沙袋被抛出时的初速度各为多大？
(2)若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
(3)若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？
解析：(1)由h＝gt2，xA＝L－R＝vAt，
xB＝＝vBt，
可得：vA＝(L－R)/＝(L－R)，
vB＝·.
(2)平抛沙袋的最大速度对应沙袋落至C点，最小速度对应沙袋落至A点，由L＋R＝vCt，可得vC＝(L＋R)，速度范围为：(L－R)≤v≤(L＋R).
(3)由t＝可得为使沙袋能在B点落入小车中，小车的速率v＝＝(n＝0、1、2、…)．
答案：(1)(L－R)
(2)(L－R)≤v≤(L＋R)
(3)(n＝0、1、2、…)
