2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（word版含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-14 11:07:15 | ||
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文档简介
2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集为
A． B． C． D．
2．在中，角、、对应的边分别为、、．若，则有
A． B．
C． D．
3．已知，，，且，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．在等差数列中，若，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若实数，满足约束条件则的最大值是
A． B．1 C．10 D．12
6．已知数列为等比数列，为其前项和，且，则常数
A． B． C． D．
7．在中，角、、对应的边分别为、、．若，边上的中线，则
A． B． C． D．
8．记为数列的前项和，且满足，，若数列为递增数列，则实数的取值范围为
A． B． C． D．或
9．设，若关于的不等式在区间，上有解，则
A． B． C． D．
10．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是
A． B． C． D．或
11．已知数列，，对任意的，，则
A．3185 B．3186 C．3187 D．3188
12．若，则的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
13．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比的值为 ．
14．在中，角、、对应的边分别为、、．若，且，则 ．
15．在等比数列中，若，则的最小值为 ．
16．某小贩卖若干个柑桔．若小贩以所有柑桔的一半又半个卖给第一人；以其剩余的一半又半个卖给第二人；同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，则小贩的柑桔一共有 个．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知关于的不等式的解集为或．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
18．设的内角，，所对的边长分别为，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
19．已知数列为单调递增数列，为其前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若，记为数列的前项和，求．
20．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
21．甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，．
（Ⅰ）请用，分别表示和；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于．
22．数列．
（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．，求．
2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：不等式可化为，
，
不等式的解集为，
故选：．
2．在中，角、、对应的边分别为、、．若，则有
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理可得：，
不妨设，，．
由余弦定理可得：，
，
，
可得．
故选：．
3．已知，，，且，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，且，，
故成立，故正确；
当时，则，故不一定成立；
由于符号不确定，故与的大小不能确定，故不一定成立，
由于，符号不确定，故与的大小不能确定，故不一定成立；
故选：．
4．在等差数列中，若，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，解得．
．
故选：．
5．若实数，满足约束条件则的最大值是
A． B．1 C．10 D．12
【解答】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值：10．
故选：．
6．已知数列为等比数列，为其前项和，且，则常数
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，数列为等比数列，且，
则，
，
，
则有，
变形可得：，
解可得：，
故选：．
7．在中，角、、对应的边分别为、、．若，边上的中线，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，中，，，①
中，，，②
，
解得；
，
解得，
．
故选：．
8．记为数列的前项和，且满足，，若数列为递增数列，则实数的取值范围为
A． B． C． D．或
【解答】解：时，，得，且．
时，，
化为，
为递增数列，
时，此时，恒成立，
时，此时，解得，
综上所述或．
故选：．
9．设，若关于的不等式在区间，上有解，则
A． B． C． D．
【解答】解：关于的不等式在区间，上有解，
，在，上有解，，．
函数，在，上单调递增，
，．
故选：．
10．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【解答】解：点和在直线的两侧，
两点对应坐标对应式子的符号相反，
即，
即，
，
即实数的取值范围是，
故选：．
11．已知数列，，对任意的，，则
A．3185 B．3186 C．3187 D．3188
【解答】解：对任意的，，
令，
，
把上述等式做加法，得
令①，
②，
①②得，
，
．
故选：．
12．若，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
当且仅当即时“”成立，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
13．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比的值为 1 ．
【解答】解：根据题意，若三数成等比数列，设其中间项为，
若三个数的积为8，则有，解可得；
又由首末两数之和为4，则有，
解可得：；
故答案为：1
14．在中，角、、对应的边分别为、、．若，且，则 ．
【解答】解：，且，
由正弦定理可得：，整理可得：，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
15．在等比数列中，若，则的最小值为 ．
【解答】解：在等比数列中，若，
可得，
则，当且仅当，并且时取等号，
因为是正整数，所以当，时，，
当，时，，
所以的最小值为：．
故答案为：．
16．某小贩卖若干个柑桔．若小贩以所有柑桔的一半又半个卖给第一人；以其剩余的一半又半个卖给第二人；同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，则小贩的柑桔一共有 63 个．
【解答】解：设小贩原有柑桔数为个，
第一人所得为：，
第二个人所得为：，
第二个人所得为：，
，
第六个人所得为：，
故：．
解之得：．
故答案为：63．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知关于的不等式的解集为或．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解一：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得
解二：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，得或，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是有，（7分）
故，
当时，左式等号成立，（9分）
依题意必有，即，
得，
所以的取值范围为，．
18．设的内角，，所对的边长分别为，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在中，，
由正弦定理得
即，
则；
（Ⅱ）由得
当且仅当时，等号成立，
故当时，
的最大值为．
19．已知数列为单调递增数列，为其前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若，记为数列的前项和，求．
【解答】解：（1）当时，，
所以，即，
又为单调递增数列，所以．
由得，所以，
所以．
所以，即，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
故．
（2）由（1）知，，
则．
20．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1），
，分
由正弦定理可得：，分
由余弦定理可得：，分
，
．分
（2），，可得，分
，其中．分
的最大值为．分
21．甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，．
（Ⅰ）请用，分别表示和；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于．
【解答】解：由题意可设在第一次调和后的浓度为，，；
由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由可得：
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，（9分）
由题，令，得．
所以，．（11分）
由得，所以，
即第9次调和后两溶液的浓度之差小于
22．数列．
（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．，求．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
（2分）
一般地，当时，
，即．
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，
因此．
当时，
．
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．
故数列的通项公式为（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（9分）
，①
②
①②得，
．
所以．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集为
A． B． C． D．
2．在中，角、、对应的边分别为、、．若，则有
A． B．
C． D．
3．已知，，，且，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．在等差数列中，若，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若实数，满足约束条件则的最大值是
A． B．1 C．10 D．12
6．已知数列为等比数列，为其前项和，且，则常数
A． B． C． D．
7．在中，角、、对应的边分别为、、．若，边上的中线，则
A． B． C． D．
8．记为数列的前项和，且满足，，若数列为递增数列，则实数的取值范围为
A． B． C． D．或
9．设，若关于的不等式在区间，上有解，则
A． B． C． D．
10．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是
A． B． C． D．或
11．已知数列，，对任意的，，则
A．3185 B．3186 C．3187 D．3188
12．若，则的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
13．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比的值为 ．
14．在中，角、、对应的边分别为、、．若，且，则 ．
15．在等比数列中，若，则的最小值为 ．
16．某小贩卖若干个柑桔．若小贩以所有柑桔的一半又半个卖给第一人；以其剩余的一半又半个卖给第二人；同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，则小贩的柑桔一共有 个．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知关于的不等式的解集为或．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
18．设的内角，，所对的边长分别为，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
19．已知数列为单调递增数列，为其前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若，记为数列的前项和，求．
20．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
21．甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，．
（Ⅰ）请用，分别表示和；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于．
22．数列．
（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．，求．
2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：不等式可化为，
，
不等式的解集为，
故选：．
2．在中，角、、对应的边分别为、、．若，则有
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理可得：，
不妨设，，．
由余弦定理可得：，
，
，
可得．
故选：．
3．已知，，，且，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，且，，
故成立，故正确；
当时，则，故不一定成立；
由于符号不确定，故与的大小不能确定，故不一定成立，
由于，符号不确定，故与的大小不能确定，故不一定成立；
故选：．
4．在等差数列中，若，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，解得．
．
故选：．
5．若实数，满足约束条件则的最大值是
A． B．1 C．10 D．12
【解答】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值：10．
故选：．
6．已知数列为等比数列，为其前项和，且，则常数
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，数列为等比数列，且，
则，
，
，
则有，
变形可得：，
解可得：，
故选：．
7．在中，角、、对应的边分别为、、．若，边上的中线，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，中，，，①
中，，，②
，
解得；
，
解得，
．
故选：．
8．记为数列的前项和，且满足，，若数列为递增数列，则实数的取值范围为
A． B． C． D．或
【解答】解：时，，得，且．
时，，
化为，
为递增数列，
时，此时，恒成立，
时，此时，解得，
综上所述或．
故选：．
9．设，若关于的不等式在区间，上有解，则
A． B． C． D．
【解答】解：关于的不等式在区间，上有解，
，在，上有解，，．
函数，在，上单调递增，
，．
故选：．
10．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【解答】解：点和在直线的两侧，
两点对应坐标对应式子的符号相反，
即，
即，
，
即实数的取值范围是，
故选：．
11．已知数列，，对任意的，，则
A．3185 B．3186 C．3187 D．3188
【解答】解：对任意的，，
令，
，
把上述等式做加法，得
令①，
②，
①②得，
，
．
故选：．
12．若，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
当且仅当即时“”成立，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）
13．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比的值为 1 ．
【解答】解：根据题意，若三数成等比数列，设其中间项为，
若三个数的积为8，则有，解可得；
又由首末两数之和为4，则有，
解可得：；
故答案为：1
14．在中，角、、对应的边分别为、、．若，且，则 ．
【解答】解：，且，
由正弦定理可得：，整理可得：，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
15．在等比数列中，若，则的最小值为 ．
【解答】解：在等比数列中，若，
可得，
则，当且仅当，并且时取等号，
因为是正整数，所以当，时，，
当，时，，
所以的最小值为：．
故答案为：．
16．某小贩卖若干个柑桔．若小贩以所有柑桔的一半又半个卖给第一人；以其剩余的一半又半个卖给第二人；同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，则小贩的柑桔一共有 63 个．
【解答】解：设小贩原有柑桔数为个，
第一人所得为：，
第二个人所得为：，
第二个人所得为：，
，
第六个人所得为：，
故：．
解之得：．
故答案为：63．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知关于的不等式的解集为或．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解一：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得
解二：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，得或，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是有，（7分）
故，
当时，左式等号成立，（9分）
依题意必有，即，
得，
所以的取值范围为，．
18．设的内角，，所对的边长分别为，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在中，，
由正弦定理得
即，
则；
（Ⅱ）由得
当且仅当时，等号成立，
故当时，
的最大值为．
19．已知数列为单调递增数列，为其前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若，记为数列的前项和，求．
【解答】解：（1）当时，，
所以，即，
又为单调递增数列，所以．
由得，所以，
所以．
所以，即，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
故．
（2）由（1）知，，
则．
20．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1），
，分
由正弦定理可得：，分
由余弦定理可得：，分
，
．分
（2），，可得，分
，其中．分
的最大值为．分
21．甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，．
（Ⅰ）请用，分别表示和；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于．
【解答】解：由题意可设在第一次调和后的浓度为，，；
由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由可得：
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，（9分）
由题，令，得．
所以，．（11分）
由得，所以，
即第9次调和后两溶液的浓度之差小于
22．数列．
（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．，求．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
（2分）
一般地，当时，
，即．
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，
因此．
当时，
．
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．
故数列的通项公式为（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（9分）
，①
②
①②得，
．
所以．
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