课件26张PPT。[课时作业19] 几何概型
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．
答案：A
2．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)＞2成立的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)＞2可得x＞1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)＞2成立的概率为.
答案：A
3．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，
所以P＝＝.
答案：A
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB ”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：如图，
在矩形ABCD中，以B，A为圆心，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB＝4，则DF＝3，AF＝AB＝4，在直角三角形ADF中，AD＝＝，所以＝.
答案：D
5．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：令6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，即D＝[－2,3]，在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
解析：如图，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
答案：
8．一个球形容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL水(体积为1 cm3)，含有感冒病毒的概率为________．
解析：水的体积为πR3＝π·33＝36π(cm3)＝36π(mL)，则含感冒病毒的概率为P＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．
解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝
＝＝＝.
10．(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率P(A)；
(2)在区间[0,4]上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率P(B)．
解析：方程x2－x＋m＝0有实数根，
则Δ＝n－4m≥0.
(1)由于m，n∈[0,4]，且m，n是整数，因此m，n可能的取值共有25组．
又满足n－4m≥0的m，n的取值有
共6组．
因此，原方程有实数根的概率P(A)＝.
(2)对应的区域如图中正方形区域，面积为16，
而n－4m≥0(m，n∈[0,4])表示的区域如图中阴影部分所示，面积为×1×4＝2.
因此，原方程有实数根的概率P(B)＝＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体，
∴P＝＝.故选B.
答案：B
12．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：由题意，得
解得＜p≤1或2≤p≤5，所以p＝＝.
答案：
13．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．
解析：如图所示：
以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x－y|≤15.
在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域，
由几何概型的概率公式得：P(A)＝＝＝＝.所以两人能会面的概率是.
14．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解析：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)易知半圆的面积为8π.连接MP，OM，OP，取线段MP的中点D，
连接ON，则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝π×42－×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.
