课件25张PPT。[课时作业20] 均匀随机数的产生
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．m
C．m＝n D．m是n的近似值
解析：随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
答案：D
2．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
解析：当x＝时，y＝2×＋3＝4.
答案：C
3．在区间[0,10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,10]内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：将取出的两个数分别用x，y表示，
则0≤x≤10,0≤y≤10，
要求这两个数的平方和也在区间[0,10]内，即要求0≤x2＋y2≤10，
故此题可以转化为求0≤x2＋y2≤10在区域0≤x≤10,0≤y≤10内的面积问题，如图所示：
由几何概型知识可得到概率为＝.
答案：B
4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
A．一样大
B．蓝白区域大
C．红黄区域大
D．由指针转动圈数决定
解析：指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然蓝白区域大．
答案：B
5．下面的程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为( )
A．3.141 B．3.142
C．3.151 D．3.152
解析：由程序框图得A∈(－1,1)，B∈(－1,1)，则(A，B)表示的平面区域是边长为2的正方形．满足A2＋B2≤1的平面区域是以坐标原点为圆心，1为半径的圆及其内部，由几何概型的概率公式，得≈，得π≈3.152.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝6(b1－0.5)，则b是区间________上的均匀随机数．
解析：因为b1是[0,1]上的均匀随机数，所以b1－是上的均匀随机数，
所以b＝6(b1－0.5)是[－3,3]上的均匀随机数．
答案：[－3,3]
7．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
解析：由几何概型可知＝，所以S＝0.18.
答案：0.18
8．设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成图形的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．
解析：这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N个点，而在曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成图形内的点有N1个，所以≈，又矩形的面积是1，所以由随机模拟方法得到S的近似值为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用随机模拟的方法求解下面事件的概率：在区间[0,10]内任取一个数，求这个实数不大于4的概率．
解析：第一步，利用计算器的RAND( )函数产生N个[0,1]内的均匀随机数x.
第二步，利用变换x′＝10]N1,N)，得到概率的近似值．
例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝395，所以所求概率P＝≈0.4.
10．如图所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．
解析：记事件A为“点落在半圆内”．
(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝b1*2；
(3)统计实验总次数N和落在阴影内的点数N1（满足＜4的点（a,b）个数）；
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率近似值；
(5)用几何概型的概率公式求概率，P(A)＝，所以≈，即S半圆≈，为半圆面积的近似值．
又2π≈，所以π≈.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A表示投中大圆内，事件B表示投中小圆与中圆形成的圆环内，事件C表示投中大圆之外．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
解析：P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
答案：A
12．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
解析：由a1＝0.3，b1＝0.8，得a＝－0.8，b＝3.2，(－0.8，3.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内；由a1＝0.4，b1＝0.3，得a＝－0.4，b＝1.2，(－0.4,1.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×＝10.72.
答案：10.72
13．在长为14 cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间的概率．
解析：设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
14．利用计算机随机模拟方法计算y＝4x2与y＝4所围成的区域Ω的面积时，可以执行以下算法步骤：
第一步，利用计算机产生两个在[0,1]内的随机数a，b.
第二步，对随机数a，b实施变换：，得到点A(a1，b1)；
第三步，判断点A(a1，b1)的坐标是否满足b1＜4a；
第四步，累计所产生的点A的个数m及满足b1＜4a的点A的个数n；
第五步，判断m是否小于M(一个设定的数)，若是，则回到第一步，否则，输出n并终止算法．
若设定的M＝150，且输出的n＝51，请据此用随机模拟方法估计出区域Ω的面积(结果保留到小数点后两位)．
解析：因为，且，
所以，依题意区域Ω为如图所示的阴影部分，
设区域Ω的面积为SΩ，则≈，
所以≈，解得SΩ≈5.28.
