课件32张PPT。第一课时 等比数列的概念与通项公式 课件25张PPT。课时作业11 等比数列的概念与通项公式
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3等于( )
A．1 B．3
C．±1 D．±3
解析：由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.故选A.
答案：A
2．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：＝＝＝，故选A.
答案：A
3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an等于( )
A．4·n B．4·n－1
C．4·n D．4·n－1
解析：因为数列{an}为等比数列，
所以(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
所以a＝5，即数列的前三项为4,6,9，公比为.
所以an＝a1qn－1＝4·n－1.
故选B.
答案：B
4．已知{an}为等比数列且an>0，a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝25，则a3＋a5等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：由等比数列的性质知a2·a4＝a，a4·a6＝a，所以a＋2a3·a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25.
又an>0，所以a3＋a5>0，所以a3＋a5＝5.
答案：A
5．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：解法一：设{an}的公比为q，则an＝.
由a3a5＝4(a4－1)得＝4，即(q3－8)2＝0，解得q＝2，因此a2＝.
解法二：设{an}的公比为q，由等比数列的性质可知a3a5＝a，
∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，得a4＝2，
则q3＝＝＝8，得q＝2，
则a2＝a1q＝×2＝，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若－1,2，a，b成等比数列，则a＋b＝________.
解析：根据题意有＝＝，解得a＝－4，b＝8，
所以a＋b＝(－4)＋8＝4.
答案：4
7．在1和16两数之间插入三个数，使它们成等比数列，则中间的数为________．
解析：设中间的数为x，公比为q，则x是1和16的等比中项，所以x2＝16，即x＝±4.又因为x＝1·q2>0，所以x＝4.
答案：4
8．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠±1，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.
答案：－8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．求数列{an}的通项公式．
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝.故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝qn－7＝n－7.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝a1＝2－a1，
∴a1＝1≠0，
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列，且首项为1，公比为.
[能力提升](20分钟，40分)
11．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为( )
A．1 B．－1
C. D．2
解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2.故选D.
答案：D
12．在等差数列{an}中，a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公比为________．
解析：设等差数列{an}公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，
所以a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
解得d＝0或a1＝－4d.
若d＝0，则等比数列的公比q＝1.
若a1＝－4d，则等比数列的公比q＝＝＝.
答案：或1
13．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解析：(1)证明：∵2an＝3an＋1，
∴＝.
又∵数列{an}的各项均为负数，
∴a1≠0，
∴数列{an}是以为公比的等比数列，
∴an＝a1·qn－1＝a1·n－1.
∴a2＝a1·2－1＝a1，
a5＝a1·5－1＝a1，
又∵a2·a5＝a1·a1＝，
∴a＝.
又∵a1<0，∴a1＝－.
∴an＝×n－1＝－n－2(n∈N*)．
(2)令an＝－n－2＝－，
则n－2＝4，n＝6∈N*，
∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．
14．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解析：(1)设数列{an}的公比为q，
由题意，可得an＝8qn－1，且0由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，即64q＝30＋8q2，解得q＝或(舍去)，所以an＝8×n－1＝24－n.
(2)由(1)知bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn>bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n>(n＋3－λ)·23－n，即λ课时作业12 等比数列的性质及应用
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
解析：由a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，所以q2＝9，又an>0，所以q＝3.a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.
答案：B
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是( )
A．1 B．2
C. D.
解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，
∴a3a6＋a4a5＝.
答案：C
3．在等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为( )
A．35 B．63
C．21 D．±21
解析：∵{an}是等比数列，∴a4，a6，a8是等比数列，∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
答案：B
4．已知{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比q为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，所以或
因为公比为整数，所以所以q5＝＝－32，所以q＝－2.
答案：B
5．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log (a5＋a7＋a9)的值是( )
A. B．－
C．5 D．－5
解析：由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，
即{an}是公比为3的等比数列．
设等比数列{an}的公比为q，
又a2＋a4＋a6＝9，
则log (a5＋a7＋a9)
＝log [q3(a2＋a4＋a6)]
＝log (33×9)＝－5.
故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知{an}为等比数列，a2＝2，a6＝162，则a10＝________.
解析：方法一：因为
所以q4＝81，
所以a10＝a1q9＝a1q·q8＝2×812＝13 122.
方法二：因为q4＝＝＝81，
所以a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法三：因为{an}为等比数列，所以a2·a10＝a，a10＝＝＝13 122.
答案：13 122
7．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列，则此三个数分别为________．
解析：设所求三个数为a－d，a，a＋d.
由题意得
解得或
又因为a－d，a，a＋d为正数，
所以a＝5，d＝2，
故所求三个数分别为3,5,7.
答案：3,5,7
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米)．
答案：2 048
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知数列{an}成等比数列．
(1)若a2＝4，a5＝－，求数列{an}的通项公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解析：(1)由a5＝a2q3，得－＝4×q3，
所以q＝－，an＝a2qn－2＝4×n－2＝n－4.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.
解得a4＝2.
又因为a2a6＝a3a5＝a，
所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋2n＋1(n∈N*)．
(1)令bn＝＋1，求证：数列{bn}为等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
(3)求满足an≥240的最小正整数n.
解析：(1)证明：因为an＋1＝4an＋2n＋1，
所以＝2＋1，
所以＋1＝2＋1，
即bn＋1＝2bn，又b1＝＋1＝2.
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
(2)由(1)可得bn＝2n，an＝4n－2n.
(3)由4n－2n≥240，即4n－2n－240≥0，
解得2n≥16(2n≤－15舍去)，
解得n≥4，
所以满足an≥240的最小正整数n为4.
[能力提升](20分钟，40分)
11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝( )
A．20 B．512
C．1 013 D．1 024
解析：∵bn＝，且b10·b11＝2，
又{bn}是等比数列，
∴b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，
则··…＝b1b2b3…b20＝210，
即＝1 024，
从而a21＝1 024a1＝1 024.
答案：D
12．已知数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
解析：因为a1＋a2＝1＋4＝5，b2＝2，所以＝.
答案：
13．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3.
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)由已知，(2an＋1－an)(an＋1)＝0，
所以2an＋1＝an或an＝－1(舍)，
所以＝，
所以a2＝，a3＝.
(2)由(1)知，＝，又a1＝1，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝，n∈N*.
14．已知4个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，求这4个数．
解析：设这4个数分别为a、aq、aq2、aq3.
则
由①，得a2q3＝±1， ③
由②，得a2q2(1＋q)2＝， ④
把a2q2＝代入④，得q2－q＋1＝0，此方程无解．
把a2q2＝－代入④，得q2＋q＋1＝0，
解得q＝－4或－.
①当q＝－4时，a＝－；
②当q＝－时，a＝8.
∴这4个数分别是：8，－2，，－或－，，－2,8.
