课件37张PPT。第一课时 简单的线性规划问题 课件34张PPT。课时作业19 简单的线性规划问题
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值2，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
解析：画出可行域如图所示，作直线l：x＋y＝0，平行移动直线l，当过点(2,0)时，z取最小值2，无最大值．
答案：B
2．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：本题考查简单的线性规划问题．
作出约束条件表示的可行域如图：
平移直线x＋y＝0，可得目标函数z＝x＋y在A(3,0)处取得最大值，zmax＝3，故选D.
答案：D
3．设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：画出可行域(如图中阴影部分所示)，易知A(0,3)，B(2,0)．
由图可知，目标函数z＝x－y在点A，B处分别取得最小值与最大值，zmin＝0－3＝－3，zmax＝2－0＝2，
故z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.
答案：B
4．若x，y满足约束条件则当取最大值时，x＋y的值为( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，)时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，，所以x＋y＝.故选D.
答案：D
5．当变量x，y满足约束条件时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：画出可行域，如图所示，目标函数z＝x－3y可变形为y＝－，当直线过点C时，z取到最大值，
由得交点C(m，m)，所以8＝m－3m，
解得m＝－4.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
答案：1
7．已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是________．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，
此时z最大，
由解得
即A(1,1)，zmax＝2×1＋1＝3，
当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，
此时z最小，
由解得
即B(a，a)，zmin＝2×a＋a＝3a，
∵z的最大值是最小值的4倍，
∴3＝4×3a，即a＝.
答案：
8．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界)．
点P到Q的最小距离为(－1,0)到(0，－2)的距离减去半径1，所以|PQ|min＝－1＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知x，y满足约束条件求z＝|x－2y＋2|的最小值．
解析：作出可行域如图．z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．
易知A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，为，∴zmin＝.
10．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)z＝＝2
得k＝，则z＝2k
k表示为可行域内一点(x，y)与E点(－1，－)
两点斜率
kAE＝，kBE＝
∴k∈[，]
∴z的取值范围为[，]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：作出可行域(图中阴影部分)，由图象可知直线z＝y－ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a＝2或－1.故选D.
答案：D
12．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2>0，解得m<－.
答案：
13．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．
解析：表示点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．
令f(x)＝x2＋ax＋2b.由已知得f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，
即作出可行域如图．
点M(1,2)与阴影内点连线的斜率k的取值范围为kAM易知A(－3,1)，B(－1,0)，∴<<1.
14．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，求实数a的取值范围．
解析：不等式组表示的平面区域为以A(1,0)，B，C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界)．又1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4转化为≤－a≤恒成立．
设k1＝表示可行域内点P(x，y)与定点(0,4)连线的斜率，其最大值为－.
同理，设k2＝表示可行域内点P(x，y)与定点(0,1)连线的斜率，其最小值为－1，故有－≤－a≤－1，即1≤a≤.
课时作业20 简单线性规划的应用
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有
z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
答案：D
2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.
答案：B
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据题意，得约束条件
目标函数z＝280x＋200y，画出可行域阴影部分中的整点如图．
作直线7x＋5y＝0平移至过点M时z取得最大值，由
得最优解M(15,55)．
所以当x＝15，y＝55时，z取得最大值
答案：B
4．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
解析：该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
答案：C
5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得的利润为z万元，则z＝5x＋3y.
由题意得可行域如图中阴影部分所示．
由图可知，当x，y在A点取值时，z取得最大值．由解得即A(3,4)，所以zmax＝5×3＋3×4＝27.故该企业可获得的最大利润是27万元．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产产品Ax件，产品By件，则
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
7．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．
解析：设买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18,19)，此时z最大为37.
答案：37
8．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，租赁费z元，
由题意得
z＝200x＋300y.
可行域为如图阴影部分内(包括边界)的整点．
作直线l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当直线过点A时，z有最小值．
又由得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2 300.
答案：2 300
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg，问饲料怎样混合才使成本最低．
解析：设每周需用谷物饲料x kg，动物饲料y kg，每周总的饲料费用为z元，由题意得
而z＝0.28x＋0.9y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35 000和直线y＝x的交点A，即x＝，y＝时，饲料费用最低．所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．
10．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
月资金供应量(百元)
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解析：设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300,5x＋10y≤110，x，y∈N，
即利润z＝6x＋8y.
作出可行域如图阴影部分所示的整点部分．
由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由，
得
此时zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．
故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9 600元．
[能力提升](20分钟，40分)
11．配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20 kg，原料乙25 kg，那么可以获得的最大销售额为( )
A．600元 B．700元
C．800元 D．900元
解析：设可配药剂A，B分别为x剂、y剂，获得的销售额为z元，有，z＝100x＋200y，两直线2x＋5y＝20与5x＋4y＝25的交点为，取该点附近的整点(2,2)，(2,3)，(3,2)，代入检验可知当直线过点(2,3)时，z取得最大值，为800.
答案：C
12．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
解析：满足约束条件的平面区域为如图所示的PQS所在的平面区域．设M点坐标为(x，y)，则·＝－x＋y，令z＝－x＋y，则y＝x＋z，移动直线y＝x可知，当直线y＝x＋z过点S(1,1)时z最小，过点P(0,2)时z最大．所以zmin＝－1＋1＝0，zmax＝0＋2＝2.
所以·的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]．
13．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分．
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立
解得x＝100，y＝200.
所以点M的坐标为(100,200)．
所以zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
14．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解析：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，
则目标函数z＝x＋y.
作出可行域如图所示，作出直线x＋y＝0.作出一组平行直线x＋y＝t(其中t为参数)．
经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.
由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，且与原点距离最近的直线是x＋y＝12.
经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解．
所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
