课件36张PPT。课件30张PPT。课时作业21 基本不等式
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．有下列式子：①a2＋1>2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1.其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x>0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，故②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－2<2，故③不正确；对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.
答案：C
2．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A.> B.<
C.＝ D.≤
解析：因为a，b，c，d是不相等的正数且成等差数列，
所以＝>.
答案：A
3．已知0
A. B.
C. D.
解析：∵0答案：B
4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：由于x>1，
所以x－1>0，>0，
于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当＝x－1即x＝2时等号成立，
即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，故选D.
答案：D
5．设a，b是正实数，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≥B B．A≤B
C．A>B D．A解析：∵a>0，b>0，∴A>0，B>0，A2－B2＝(a＋b＋2 )－(a＋b)＝2>0，∴A2>B2，∴A>B.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2
≥4＋2＝8
.
故2a＋b的最小值为8.
答案：8
7．已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．
解析：因为正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，
则有＋＝1，
则2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当x＝y时取等号．
故2x＋y的最小值是.
答案：
8．已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
解析：因为x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，所以x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，
所以＋＝[(x＋1)＋2y]
＝＋≥＋×2＝.
当且仅当＝时取等号，
故＋的最小值为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解析：因为a>b>0，所以a－b>0，
a2＋≥a2＋
＝a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b，a2＝2，a>b>0，
即a＝，b＝时取等号，
所以a2＋的最小值是4.
10．已知a>0，b>0，且＋＝1.
(1)求ab的最小值．
(2)求a＋b的最小值．
解析：(1)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以＋≥2＝2，则2≤1，
即ab≥8，当且仅当
即时取等号，
所以ab的最小值是8.
(2)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当
即时取等号，
所以a＋b的最小值是3＋2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A．24 B．32
C．20 D．28
解析：∵x，y均为正实数，且＋＝，
则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×－4＝20，
当且仅当x＝y＝10时取等号．
∴x＋y的最小值为20.
答案：C
12．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(b)(0解析：由f(a)＝f(b)及0则＋＝＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a时，＋取得最小值，
由可得
∴f(a＋b)＝f＝lg＝1－2lg2.
答案：1－2lg2
13．(1)求函数f(x)＝(x<－1)的最大值，并求相应的x的值．
(2)已知正数a，b满足2a2＋3b2＝9，求a的最大值并求此时a和b的值．
解析：(1)f(x)＝
＝
＝(x＋1)＋＋5.
因为x<－1，所以x＋1<0，
所以－(x＋1)>0，
所以－(x＋1)＋≥4，
所以f(x)＝(x＋1)＋＋5≤－4＋5＝1.
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－3时，f(x)取最大值1.
(2)因为a，b都是正数，所以
a＝
＝ ≤·
＝·＝，
当且仅当2a2＝3＋3b2,2a2＋3b2＝9，
即a＝，b＝1时，a有最大值.
14．若a，b∈R，ab>0，求的最小值．
解析：∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，
∴≥＝4ab＋，
由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4，
故当且仅当时，即时，取得最小值，最小值为4.
课时作业22 基本不等式的应用习题课
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤2
解析：由a＋b＝2，得ab≤2＝1，排除A、B；又≥2，所以a2＋b2≥2.
答案：C
2．已知a>0，b>0，x＝1为f(x)＝6x2－ax－b的零点，则ab的最大值为( )
A．3 B．2
C．9 D．36
解析：由题意得a＋b＝6，又a>0，b>0，a＋b≥2·，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．
答案：C
3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
又∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，故选C.
答案：C
4．已知直线mx－y＋n＝0过点(2,1)，其中m，n是正数，则mn的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意得2m－1＋n＝0，即2m＋n＝1，又已知m，n是正数，所以1＝2m＋n≥2，即mn≤(当且仅当2m＝n时取等号)．故选C.
答案：C
5．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用且耗材最少)的选法是( )
A．4.6 m B．4.8 m
C．5 m D．5.2 m
解析：设直角三角形支架框的一条直角边长为x m，则另一条直角边长为 m，斜边长为 m，所以周长为l＝x＋＋≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝≈1.414时，等号成立，
所以l≈2.828＋2＝4.828 m，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________．
解析：总费用4x＋×6＝4≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
答案：30
7．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
解析：设水池池底的一边长为x m，则另一边长为 m，总造价为y＝480＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1 760，当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：1 760
8．已知x>0，y>0，且＋＝2，若4x＋y>7m－m2恒成立，则m的取值范围为________．
解析：∵x>0，y>0，且＋＝2，
∴4x＋y＝(4x＋y)×＝·≥＝12，
当且仅当＝且＋＝2，即x＝，y＝6时，等号成立，即4x＋y取得最小值12.
∵4x＋y>7m－m2恒成立，
∴12>7m－m2，
解得m<3或m>4，
∴m的取值范围为(－∞，3)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，3)∪(4，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
解析：证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102，
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为＝－2
≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点), 若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B.
C．8 D．9
解析：由题得，＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即时，等号成立．
答案：D
12．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，得(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立，只需a≤min即可．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则当t∈[6，＋∞)时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.
答案：
13．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得
2≥2(＋＋)，
又因为a，b，c不全相等，所以不能取等号，
所以2>2(＋＋)，
即＋＋<＋＋.
14．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A，tan B是关于x的方程x2＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.
(1)求角C的大小．
(2)求△ABC面积的取值范围．
解析：(1)由已知tan A＋tan B＝－1－p，
tan A·tan B＝p＋2，
所以tan(A＋B)＝＝＝1，
在△ABC中，A＋B＝，
所以C＝.
(2)由C＝，c＝4及余弦定理得
42＝a2＋b2－2ab×，
整理得16＝a2＋b2＋ab，即16－ab＝a2＋b2，
又a>0，b>0，所以16－ab＝a2＋b2≥2ab，
得ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
所以△ABC的面积S＝absin C
＝×ab×≤××＝＝4－4，所以△ABC面积的取值范围为(0,4－4]．
