课件33张PPT。课时作业1 正弦定理
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．asin B＝bsin C B．acos A＝bcos B
C．asin C＝csin A D．acos B＝bcos A
解析：由正弦定理可得asin C＝csin A.
答案：C
2．在△ABC中，若＝，则角B的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理及已知得＝＝，所以sin B＝cos B，tan B＝1.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
答案：B
3．在△ABC中，已知A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A．2 B．2
C．3＋ D.
解析：由已知及A＋B＋C＝180°，得C＝30°，再由正弦定理得c＝＝＝2.
答案：A
4．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝( )
A．6 B．12
C．6或12 D．无解
解析：由正弦定理得sin B＝＝，因为b>c，所以B>C.
又因为0°
所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝12；
当B＝120°时，A＝30°＝C，a＝c＝6.
所以a＝6或12.
答案：C
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos B－bcos A＝c，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：由acos B－bcos A＝c，得cos B－cos A＝1.
由正弦定理，得－＝1，
即sin(A－B)＝sin C.
又因为A，B，C∈(0，π)，
所以A－B＝C或A－B＝π－C，
即A＝B＋C或A＋C＝π＋B.
由A＝B＋C，得A＝；由A＋C＝π＋B，得π－B＝π＋B，即B＝0，不成立．
所以A＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB等于________．
解析：因为tan A＝，A∈(0°，180°)，所以sin A＝.由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝.
答案：
7．[2017·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析：由正弦定理：＝，
得sin B＝＝＝，因为b答案：75°
8．在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为________．
解析：由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝2a·sin B可化为：3sin B＝2sin A·sin B．因为0°答案：等边三角形
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在△ABC中，已知b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状．
解析：解法一：由b＝asin C，c＝asin B，得＝，
由正弦定理，得＝，所以b2＝c2，
又b，c>0，所以b＝c，所以B＝C.
由b＝asin C，
得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B，
所以sin A＝1，所以A＝，
所以△ABC是等腰直角三角形．
解法二 由b＝asin C，c＝asin B，得＝，
由正弦定理，得＝，
所以sin2B＝sin2C.
又0所以sin B>0，sin C>0，
所以sin B＝sin C，所以B＝C.
由b＝asin C，
得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B，
所以sin A＝1，又0所以△ABC为等腰直角三角形．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值．
解析：由正弦定理＝得sin B＝.由条件b＝6，a＝2，知b>a，
所以B>A.所以B＝60°或120°.
(1)当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，则c＝4，
所以ac＝2×4＝24.
(2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，
所以A＝C，则有a＝c＝2.
所以ac＝2×2＝12.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由正弦定理及已知得＝＝1，
即tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
所以cos B＝cos＝，故选B.
答案：B
12．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC角A、B所对的两边，则△ABC的形状为________．
解析：设方程两根分别为x1，x2，
由已知，得x1＋x2＝bcos A，
x1x2＝acos B，则bcos A＝acos B.
由正弦定理，得sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin(A－B)＝0.
因为A，B∈(0，π)，所以A－B＝0，即A＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
13．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C.
(1)求B的范围．
(2)试求的范围．
解析：(1)在锐角三角形ABC中，0°即?30°(2)由正弦定理知
＝＝＝2cos B∈(，)，
故所求的范围是(，)
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5sin＝cos C＋2.
(1)求tan(A＋B)的值；
(2)若＋1＝，c＝2，求a的值．
解析：(1)由已知，得5sin＝1－2sin2＋2，即2sin2＋5sin－3＝0，解得sin＝或sin＝－3(舍去)．
因为0°<<90°，所以＝30°，即C＝60°，
于是tan(A＋B)＝tan(180°－C)＝tan 120°＝－.
(2)由＋1＝，
得＝，
即＝，因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，
所以sin A＝＝，
由正弦定理，得＝，
所以a＝＝＝.
