课件37张PPT。第一课时 数列的概念与简单表示法 课件30张PPT。课时作业6 数列的概念与简单表示法
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列0,2,4,6，…可记为{2n}
B．数列的第k项为1＋
C．数列中的项不可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
解析：数列{2n}的首项为2，它表示所成正偶数从小到大排成的数列，故A错；数列中的项可以相等，故C错；D中当a＝c时，表示同一数列，故D错．
答案：B
2．数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：∵an＋1－an＝1>0，∴{an}为递增数列．
答案：A
3．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝cos
C．an＝cos D．an＝cos
解析：对于A，当n＝4时，＝1，不满足题意；对于B，当n＝2时，cos＝－1，不满足题意；对于C，当n＝1时，cos＝－1，不满足题意；对于D，验证知恰好能表示所给数列．故选D.
答案：D
4．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：对于A，an＝，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－n－1，它是无穷递增数列．
答案：C
5．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第 n个图有化学键( )
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
解析：由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．函数y＝2x，当x依次取1,2,3，…时，其函数值构成的数列是________．
解析：该数列的通项公式为an＝2n，当n依次取1,2,3，…时对应的数列为2,4,8，…，2n，….
答案：2,4,8，…，2n，…
8．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于________．
解析：由通项公式，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，故a2a3＝20.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)，2，，8，，…；
(2)－1,2，－3,4，…；
(3)2,22,222,2 222，….
解析：(1)将分母统一成2，则数列变为，，，，，…，其各项的分子为n2，
∴an＝.
(2)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，
故an＝(－1)n·n.
(3)由9,99,999,9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为an＝(10n－1)．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1
因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
(2)由(1)知{an}中只有两个项为负数，且a2＝a3＝－2，所以当n＝2或3时，an有最小值，且最小值为－2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知数列，，，，，…，则5是它的第( )项( )
A．19 B．20
C．21 D．22
解析：数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
∴该数列的一个通项公式为an＝＝.
令＝5，得n＝21.
答案：C
12．已知数列{an}的通项公式为an＝2 017－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2 017－3n>0，得n<＝672，
又因为n∈N*，
所以正整数n的最大值为672.
答案：672
13．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图像表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
解析：(1)∵an＝(－1)n＋2，
∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
∴数列的前5项是1,3,1,3,1.
图像如图①.
(2)数列{an}的前5项依次是1，，，，.图像如图②.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第n项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解析：(1)因为an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
所以解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，
即n－1＝－，
所以n＝，n＝8.
故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，
因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
课时作业7 数列的通项公式与递推公式
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
解析：由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
答案：D
2．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，则a3等于( )
A．5 B．9
C．10 D．15
解析：∵数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，∴3＝(2－λ)×1，解得λ＝－1.∴a3＝(2×2＋1)a2＝5×3＝15.故选D.
答案：D
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析：∵an＋1－an＝－＝<0，
∴an＋1答案：B
4．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A. B.
C．4 D．0
解析：∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.
答案：D
5．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，那么a2017＝( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：由a1＝，an＋1＝1－，得a2＝1－2＝－1，a3＝1－(－1)＝2，a4＝1－＝，a2017＝a1＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝________.
解析：由an＋1＝2an－1，
得an＝(an＋1＋1)，
所以a7＝(a8＋1)＝，
a6＝(a7＋1)＝.
答案：
7．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则＝________.
解析：依题意得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，解得a3＝，所以a4＝＋(－1)4，解得a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，解得a5＝，得＝.
答案：
8．已知数列{an}中，an＝n·n＋1，当an最大时，n＝________.
解析：an＋1－an＝n＋1·，故当n＝1,2,3时，an＋1>an；当n≥4时，an＋1答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．
解析：由a1＝2，an＋1＝2an，得
a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，
a4＝2a3＝2·23＝24.
猜想an＝2n(n∈N*)．
证明如下：
由a1＝2，an＋1＝2an，
得＝＝…＝＝＝2(n≥2)．
∴an＝··…···a1
＝2·2·…·2·2＝2n.
又当n＝1时，a1＝21＝2成立，
∴an＝2n(n∈N*)．
10．已知数列{an}的通项公式an＝n2－7n－8.
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
解析：(1)令an<0，即n2－7n－8<0，得－1又n∈N*，所以n＝1,2,3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
(2)方法一：an＝n2－7n－8是关于n的二次函数，其对称轴方程为n＝＝3.5，
所以当1≤n≤3时，{an}是递减数列；当n≥4时，{an}是递增数列，所以当n＝3或4时，an最小，且最小项a3＝a4＝－20.
方法二：设an为数列{an}的最小项，
则(n≥2)
即
解得3≤n≤4，
故当n＝3或n＝4时，a3＝a4是数列中的最小项，且最小项a3＝a4＝－20.
[能力提升](20分钟，40分)
11．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2018＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵a1＝>，∴a2＝2a1－1＝<，a3＝2a2＝<，a4＝2a3＝>，a5＝2a4－1＝>，
∴an＋4＝an，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝.故选A.
答案：A
12．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1解析：方法一：因为an＝n2＋λn，其图象的对称轴为n＝－，显然，当－≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递增数列．
如图所示，当时，数列{an}也是单调递增的，此时－3<λ<－2.
故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>－3}，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二：直接根据定义来处理．
∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，
又n∈N*，∴λ>－3，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
13．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求数列{an}的通项公式．
解析：a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，
an＝an－1＋ln(n≥2)，
则an＝a1＋ln＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2＝2＋ln 1也满足上式，
所以an＝2＋ln n.
故数列{an}的一个通项公式为an＝2＋ln n.
14．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－n.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)数列{an}有没有最小项？若有，求出这个最小项；若没有，请说明理由．
解析：(1)由题意，当n＝1时，a1＝－1＝－.
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－n， ①
所以当n≥2时，
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝－(n－1)， ②
①－②得nan＝－1，即an＝1－.
易知n＝1时，a1＝－满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝1－(n∈N*)．
(2)由(1)知数列{an}为递增数列，
所以数列{an}有最小项，最小项为a1＝－.
