课件35张PPT。第一课时 等差数列的概念与通项公式 课件22张PPT。课时作业8 等差数列的概念与通项公式
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
解析：根据等差数列的定义，①中，数列6,4,2,0的公差为－2，①错；②③④均正确．
答案：C
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由条件得解得
则a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15.
答案：A
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
答案：D
4．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d＝( )
A．0 B.
C．2 D．0或
解析：根据题意知d≠0，a4＋a8＝a?a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0(舍去)，故选B.
答案：B
5．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：由题意得2n＋m＝8,2m＋n＝10.两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和n的等差中项是3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________．
解析：由x,2x＋1,4x＋2成等差数列，得2(2x＋1)＝x＋4x＋2，解得x＝0，∴a1＝0，a2＝1，公差d＝1，故a5＝a1＋4d＝4.
答案：4
7．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，
即2x＝1＋y，①
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10，②
由①②可解得x＝4，y＝7.
答案：4,7
8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，则数列为等差数列，则a5＝________.
解析：由题意，，成等差数列，所以2×＝＋，解得a5＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
解析：设{an}公差为d，则解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
10．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
解析：(1)数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋.所以－＝.
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
答案：C
12．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是______．
解析：由题意可得，即，
所以答案：
13．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，判断△ABC的形状．
解析：由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b.①
由，，成等差数列得＋＝2.②
②2－①得2＝2b，即b2＝ac.将①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③
将b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．
14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：－＝－
＝－＝＝.
∵a1＝3，∴＝＝1.
故数列是以1为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，
∴an＝
课时作业9 等差数列的性质及简单应用
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于( )
A．40 B．70
C．80 D．90
解析：方法一：因为a20＝a10＋10d，所以50＝30＋10d，所以d＝2，a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.
方法二：因为2a20＝a10＋a30，所以2×50＝30＋a30，所以a30＝70，又因为2a30＝a20＋a40，所以2×70＝50＋a40，所以a40＝90.
答案：D
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10等于( )
A．3 B．4
C．5 D．12
解析：a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
∴由题设知6(a4＋a10)＝24，∴a4＋a10＝4.
答案：B
3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝( )
A．－1 B．0
C. D.
解析：a2＋a4＝2a3＝2，又a2a4＝，且a4>a2，
解得a2＝，a4＝，∴d＝，∴a1＝0.
答案：B
4．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：由已知得：a5＋a10＝2a1＋13d＝12，
所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(a5＋a10)＝24.
答案：C
5．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法．
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中正确的是( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解析：因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，
所以an－an－1＝d>0，命题p1正确．
nan＝na1＋n(n－1)d，
所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关．
故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确．
对于p3：＝＋d，
所以－＝，
当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，
但d>a1不一定成立，则p3不正确．
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.
所以数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．
综上，正确的命题为p1，p4.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
答案：35
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
解析：本题考查等差数列的性质及通项公式．∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35.∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴公差d＝a4－a3＝－2.∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案：1
8．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．
解析：∵a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a7＝－2，
∴a6＝2，a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，
∴an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.
令an≥0，解得n≤，即n＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项．
答案：6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
即
解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
10．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值．
解析：因为a3＋a5＋a7＝93，
所以3a5＝93，所以a5＝31，
所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.
因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，
所以6又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为( )
A．105 B．120
C．90 D．75
解析：由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，
又因为a1·a2·a3＝80，
所以a1·a3＝16，
所以(a2－d)(a2＋d)＝16，
即(5－d)(5＋d)＝16，所以d2＝9，
又因为d>0，所以d＝3.
所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3×(5＋10×3)＝105.
答案：A
12．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.
解析：由已知a－a＝4，
所以{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
所以a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an＞0，所以an＝.
答案：
13．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，求m＋n的值．
解析：设x2－x＋m＝0的两根为x1，x2，
x2－x＋n＝0的两根为x3，x4，
则x1＋x2＝x3＋x4＝1.
不妨设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2，
所以x1＝，x2＝，公差d＝＝.
所以中间两项分别是，.
所以x1x2＝，x3x4＝×.
所以m＋n＝＋×＝.
14．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．
解析：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an＝3n＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bm＝4m＋8.
根据公共项的意义，就是两项相等，令an＝bm，
即n＝＋1，该方程有正整数解时，m＝3k，k为正整数，令k＝1，得m＝3，则n＝5.
因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．
