课件35张PPT。第一课时 等差数列的概念与通项公式 课件22张PPT。课时作业8 等差数列的概念与通项公式
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);④数列{2n+1}是等差数列.其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.③④
解析:根据等差数列的定义,①中,数列6,4,2,0的公差为-2,①错;②③④均正确.
答案:C
2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
A.15 B.30
C.31 D.64
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,由条件得解得
则a12=a1+11d=-+11×=15.
答案:A
3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101=( )
A.49 B.50
C.51 D.52
解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1-an=,∴数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,∴a101=a1+100d=2+100×=52.
答案:D
4.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=a,则公差d=( )
A.0 B.
C.2 D.0或
解析:根据题意知d≠0,a4+a8=a?a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去),故选B.
答案:B
5.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3
C.6 D.9
解析:由题意得2n+m=8,2m+n=10.两式相加得3m+3n=18,所以m+n=6,所以m和n的等差中项是3.
答案:B
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为________.
解析:由x,2x+1,4x+2成等差数列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,∴a1=0,a2=1,公差d=1,故a5=a1+4d=4.
答案:4
7.已知1,x,y,10构成等差数列,则x,y的值分别为________.
解析:由已知,x是1和y的等差中项,
即2x=1+y,①
y是x和10的等差中项,即2y=x+10,②
由①②可解得x=4,y=7.
答案:4,7
8.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,则数列为等差数列,则a5=________.
解析:由题意,,成等差数列,所以2×=+,解得a5=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项;
(2)问112是数列{an}的第几项?
解析:设{an}公差为d,则解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,
由112=3n-5,解得n=39.
所以112是数列{an}的第39项.
10.已知数列{an},满足a1=2,an+1=.
(1)数列是否为等差数列?说明理由;
(2)求an.
解析:(1)数列是等差数列,理由如下:
因为a1=2,an+1=,
所以==+.所以-=.
即是首项为=,公差为d=的等差数列.
(2)由上述可知=+(n-1)d=,
所以an=.
[能力提升](20分钟,40分)
11.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:∵{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,∴a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.
答案:C
12.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是______.
解析:由题意可得,即,
所以答案:
13.已知△ABC的三边a,b,c成等差数列,,,也成等差数列,判断△ABC的形状.
解析:由a,b,c成等差数列得a+c=2b.①
由,,成等差数列得+=2.②
②2-①得2=2b,即b2=ac.将①平方得a2+2ac+c2=4b2③
将b2=ac代入③得a2+2ac+c2=4ac,即(a-c)2=0,∴a=c.又∵a+c=2b,∴2a=2b,∴a=b,∴a=b=c.∴△ABC是等边三角形.
14.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)证明:-=-
=-==.
∵a1=3,∴==1.
故数列是以1为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,
∴an=
课时作业9 等差数列的性质及简单应用
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40等于( )
A.40 B.70
C.80 D.90
解析:方法一:因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+20×2=90.
方法二:因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以2×70=50+a40,所以a40=90.
答案:D
2.等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则a4+a10等于( )
A.3 B.4
C.5 D.12
解析:a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10,
∴由题设知6(a4+a10)=24,∴a4+a10=4.
答案:B
3.在单调递增的等差数列{an}中,若a3=1,a2a4=,则a1=( )
A.-1 B.0
C. D.
解析:a2+a4=2a3=2,又a2a4=,且a4>a2,
解得a2=,a4=,∴d=,∴a1=0.
答案:B
4.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=( )
A.12 B.18
C.24 D.30
解析:由已知得:a5+a10=2a1+13d=12,
所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(a5+a10)=24.
答案:C
5.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中正确的是( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C.p2,p3 D.p1,p4
解析:因为an=a1+(n-1)d,d>0,
所以an-an-1=d>0,命题p1正确.
nan=na1+n(n-1)d,
所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.
对于p3:=+d,
所以-=,
当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,
但d>a1不一定成立,则p3不正确.
对于p4:设bn=an+3nd,
则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.
综上,正确的命题为p1,p4.
答案:D
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
解析:∵数列{an},{bn}都是等差数列,
∴数列{an+bn}也构成等差数列,
∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),
∴2×21=7+a5+b5,∴a5+b5=35.
答案:35
7.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=________.
解析:本题考查等差数列的性质及通项公式.∵a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35.∵a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,∴公差d=a4-a3=-2.∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.
答案:1
8.已知{an}为等差数列,a5+a7=4,a6+a8=-2,则该数列的正数项共有________项.
解析:∵a5+a7=2a6=4,a6+a8=2a7=-2,
∴a6=2,a7=-1,∴d=a7-a6=-3,
∴an=a6+(n-6)d=2+(n-6)×(-3)=-3n+20.
令an≥0,解得n≤,即n=1,2,3,…,6,故该数列的正数项共有6项.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解析:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题意得
即
解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
10.首项为a1,公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件:
(1)a3+a5+a7=93;
(2)满足an>100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值.
解析:因为a3+a5+a7=93,
所以3a5=93,所以a5=31,
所以an=a5+(n-5)d>100,所以n>+5.
因为n的最小值是15,所以14≤+5<15,
所以6又d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.
[能力提升](20分钟,40分)
11.已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1·a2·a3=80,则a11+a12+a13的值为( )
A.105 B.120
C.90 D.75
解析:由等差数列的性质得a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,
又因为a1·a2·a3=80,
所以a1·a3=16,
所以(a2-d)(a2+d)=16,
即(5-d)(5+d)=16,所以d2=9,
又因为d>0,所以d=3.
所以a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+10×3)=105.
答案:A
12.已知数列{an}满足a=a+4,且a1=1,an>0,则an=________.
解析:由已知a-a=4,
所以{a}是等差数列,且首项a=1,公差d=4,
所以a=1+(n-1)·4=4n-3.
又an>0,所以an=.
答案:
13.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列,求m+n的值.
解析:设x2-x+m=0的两根为x1,x2,
x2-x+n=0的两根为x3,x4,
则x1+x2=x3+x4=1.
不妨设数列的首项为x1,则数列的第4项为x2,
所以x1=,x2=,公差d==.
所以中间两项分别是,.
所以x1x2=,x3x4=×.
所以m+n=+×=.
14.一个等差数列的首项是8,公差是3;另一个等差数列的首项是12,公差是4,这两个数列有公共项吗?如果有,求出最小的公共项,并指出它分别是两个数列的第几项.
解析:首项是8,公差是3的等差数列的通项公式为an=3n+5;首项是12,公差是4的等差数列的通项公式为bm=4m+8.
根据公共项的意义,就是两项相等,令an=bm,
即n=+1,该方程有正整数解时,m=3k,k为正整数,令k=1,得m=3,则n=5.
因此这两个数列有最小的公共项为20,分别是第一个数列的第5项,第二个数列的第3项.