苏教版高二数学选修2-1第2章：椭圆的标准方程与几何性质复习同步学案(word含答案版）

高二数学椭圆的标准方程及几何意义
学员姓名 年 级 高二 上课时间
辅导科目 数学 学科教师
课 题 椭圆标准方程与几何性质

知 识 梳 理
1.椭圆的定义与标准方程
椭圆第一定义：焦点在轴上时（）（参数方程， 其中为参数）（多用于三角代换法求范围）。
椭圆第二定义：到定直线的距离与到焦点的距离为定值的点的轨迹。

例1：表示椭圆的充要条件是什么？



2.椭圆的几何性质
（1）椭圆（以（）为例）：
①范围：；
②焦点：两个焦点；
③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；
④准线：两条准线；渐近线：两条渐近线
⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；
⑥通径。

3．直线与圆锥曲线的位置关系
（1）相交：直线与椭圆相交；
（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；

例2:直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是_______
4、焦半径：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。

例3：（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为__ __.

（2）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______


5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）
问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；


6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，
则＝，＝。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。


7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
例4：（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 .

（2）已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：上，则此椭圆的离心率为_______.

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称

易错：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

热 身 训 练
1．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

2．如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

3．已知椭圆的焦点是,且经过点（1，）。
① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且,求cos.






题 型 分 类
题型1 椭圆定义的运用
例1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则______。



变式训练：已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为




题型2 求椭圆的标准方程
例2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)经过两点、；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.








题型3 求椭圆的离心率（或范围）
例3、中，．若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为 .



变式训练：过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为





题型4 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例4、已知实数满足,则的范围为




变式训练： 已知点是椭圆（）上两点,且,
则=




题型5 焦点三角形
例5、已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值；






变式训练：若为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围为






题型6 三角代换的应用
例6、椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．


变式训练：椭圆的内接矩形的面积的最大值为



题型7 直线与椭圆的综合
例7、当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？

变式训练：若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围；




弦长问题
例8、求直线被椭圆所截得的弦长.





变式训练：已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；





中点弦问题
例9、求以椭圆内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。




变式训练：1.中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．


2.椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点．若 ，斜率为 （O为原点），求椭圆的方程．







课后综合训练
1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为




2. 设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为
3. 椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是

4. 在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率

5. 若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为

6.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
7.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。













8．已知长方形ABCD, AB=,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
















参 考 答 案
知识梳理：例1.ABC同号，且A≠B 例2. 例3.(1)；(2)
例4.（1）；（2）；（3）

热身训练：1. 2. 3.（1）；（2）

题型分类：例1.8 变式训练：7 例2.（1）；（2）
例3. 变式训练： 例4. 变式训练：-1
例5. 变式训练： 例6. 变式训练：24
例7.
变式训练：
例8. 变式训练： 例9.
变式训练：1. 2.
课后综合训练：1. 2.0 3. 4. 5.
6. 7.（1）；（2） 8.(1)；(2)

O





A

B

C

D

图8