专题01 有理数专题详解
TOC \o "1-4" \h \z \u 专题01 有理数专题详解 1
1.1正数和负数 4
知识框架 4
一、基础知识点 4
知识点1 负数的产生 4
知识点2 相反意义的量的表示方式 4
知识点3 正数、负数及0的意义 4
二、典型题型 5
题型1 平均数与正负数 5
题型2 用正负数表示误差范围 5
题型3 正负数规律探究 5
1.2有理数 7
1.2.1有理数 7
知识框架 7
一、基础知识点 7
知识点1 有理数及相关概念 7
知识点2 小数分类补充 7
知识点3 有理数的分类 8
知识点4 常用数学概念的含义 8
二、典型题型 8
题型1 数集问题 8
题型2 规律探究 9
1.2.2数轴 10
知识框架 10
一、基础知识点 10
知识点1 数轴的概念 10
知识点2 数轴的读数与画法 10
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 11
知识点4 数轴与数的大小 11
二、典型题型 11
题型1 利用数轴求两点间距离 11
题型2 数轴上点的运动 12
1.2.3相反数 13
知识框架 13
一、基础知识点 13
知识点1 相反数的概念 13
知识点2 相反数的意义 13
知识点3 多重符号的化简 13
二、典型题型 14
题型1 相反数的性质与求法 14
题型2 相反数与数轴相结合 14
1.2.4绝对值 15
知识框架 15
一、基础知识点 15
知识点1 绝对值的意义 15
知识点2 绝对值的性质 15
知识点3 绝对值与数的大小 16
二、典型题型 16
题型1 由数求绝对值，由绝对值求数 16
题型2 比较有理数大小的方法 16
题型3 含有字母的绝对值的化简求值 17
题型4 绝对值非负性的应用 17
三、难点题型 18
题型1 求绝对值的值 18
题型2 含字母绝对值的化简（复杂） 18
题型3 借助数轴解绝对值问题 18
1.3有理数的加减法 20
知识框架 20
一、基础知识点 20
知识点1 有理数的加法 20
知识点2 有理数的加法运算律 20
知识点3 运用运算律简化计算 21
知识点4 有理数减法的意义 21
知识点5 有理数的加减混合运算 21
二、典型题型 21
题型1 有理数加法的应用 21
题型2 加法运算定律的应用 22
题型3 有理数减法的应用 22
题型4 运用作差法比较有理数的大小 22
三、难点题型 22
题型1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 23
题型2 定义新运算 23
1.4有理数的乘除法 24
知识框架 24
一、基础知识点 24
知识点1 有理数的乘法法则 24
知识点2 有理数乘法的运算律 24
知识点3 倒数的概念 25
知识点4 有理数的除法法则 25
知识点5 有理数四则混合运算 25
知识点6 正负数的表示方法 26
二、典型题型 27
题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 27
三、难点题型 27
题型1 ±1赋值问题 27
题型2 定义新运算 27
1.5有理数的乘方 29
知识框架 29
一、基础知识点 29
知识点1 乘方的意义 29
知识点2 乘方运算法则 30
知识点3 科学记数法的概念 30
知识点4 近似数与准确数 30
知识点5 理解精确度 30
二、典型题型 31
题型1 有理数的混合运算 31
题型2 乘方的简便计算 31
题型3 确定末位数字 31
题型4 由近似数估算准确数的取值范围 32
三、难点题型 32
题型1 乘方在实际问题中的应用 32
题型2实际问题中的近似数 32
1.1正数和负数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 负数的产生
1） 负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。
知识点2 相反意义的量的表示方式
1）用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减少量。
2）注意：
a.相反意义的量是成对出现的；
b.相反意义的量必须是同类量；
c.用正负表示时，一定要说明数量和单位；
3）在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。
例1. 小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______，﹣4万元表示________________。
例2.下列说法中正确的是（ ）
A.上升与下降具有相反意义的量
B.前进20m具有相反意义的量
C.向南50m与向北40m是相反意义的量
D.收入20元于下降2m具有相反意义的量
知识点3 正数、负数及0的意义
1）正数：大于零的数，如3，，π等，其中（+）可以省略
2）负数：小于零的数，如-1，-，﹣30%等，其中（﹣）不可以省略
3）0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。（0并非表示没有）
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义
如：+（﹣）3，﹣（﹣）3 （+）--肯定 （﹣）--否定
例1. 下列说法中，正确的有哪些：
①0是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0可以表示海平面的高度；④正数比0大，负数比0小，0是正数和负数的分界线；⑤0只表示什么都没有；⑥0是非正数。
例2. 下列说法中正确的有：
①0℃表示没有温度；②0是最小的正数；③0是偶数，也是自然数；④不带负号的数都是正数；⑤带负号的数不一定是负数。
二、典型题型
题型1 平均数与正负数
性质：某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负
解题技巧：求一组数的平均数，可以用正负数的思想解决。首先目测选取这组数中较为居中的数为基准数“0”；然后将实际数与基准数进行比较，用正负数表示这组数据，超出记为正，不足记为负；接着求出这组数据正负数的平均值；最后用正负数的平均值与基准数比较，得出这组数的实际平均值。
例1.下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京早的时数）：
城市 时差 城市 时差
纽约 -13 东京 1
巴黎 -7 芝加哥 -14
如果现在北京时间是7:00，那么现在纽约时间是几点？
例2.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每相邻两个可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度。下表是某次测量数据的一部分（A-C表示观测点A相对观测点C的高度，例如，下表第一列表示A比C高90米）。
A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米
根据这些观测的数据，观测点A相对观测点B的高度时多少米？
题型2 用正负数表示误差范围
性质：a±b表示取值范围为：a－b至a+b之间
解题技巧：首先根据a±b的实际意义，先求出物体允许的误差范围；在将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格。
例1. 一商品的标准价格是120元，但随着季节的变化，商品的价格可以浮动10%。
①10%的含义是什么？
②请你计算该商品的最高价格和最低价格
例2. 下面几个数表示的是四个足球的质量与标准质量偏差的克数，其中质量较好的是：
A.+10 B.-20 C.-5 D.+15
题型3 正负数规律探究
解题技巧：规律探究题分两步寻找规律。首先寻找数字间的规律；然后再寻找正负号间的规律；最后将正负号和数字结合起来，得到最终结果。
例1.观察下面排列的一列，请写出后面的数。
（1）－1，，－3，，－5， ， ，
（2），，，， ， ，
例2. 观察这一串数字：等，试问是第几个数？
1.2有理数
1.2.1有理数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数及相关概念
正整数：像1， 2， 3， 4等这样的数叫作正整数
负整数：像－1， －2， －3等这样的数叫作负整数
正分数：像，0.24， 1.64等这样的数叫作正分数
负分数：像－，－3.56， 0.78等这样的数叫作负分数
整数：正整数、0、负整数统称为整数
分数：正分数、负分数统称为分数
有理数：整数和分数统称为有理数
例1. 下列说法中，错误的有：
①-2是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数
例2. 下列说法中，正确的是：
Ａ．正有理数和负有理数统称为有理数
Ｂ．正整数和负整数统称为整数
Ｃ．整数和分数统称为有理数
Ｄ．非正数就是指0、负整数和所有分数
知识点2 小数分类补充
1）小数
2）①有限小数可以转化为分数，故我们将这类小数划分为分数类。如0.3=
②无限循环小数也可以转化为分数，故我们也将这类小数划分为分数类。如0.=
③无限不循环小数不可以转化为分数，故不是分数，也不是有理数。如π
知识点3 有理数的分类
1）分类：
①按整数、分数分类
②按数的正负性分
注：无论怎么分类，一共有5类，不可重复，也不可遗漏
拓展：无理数，如π
例1. 将下列各数填在相应位置
-50，+10，1，，+102， 51.2，-3.06，0，，+1，（+2），2，3.12
正整数有：
分数有：
正分数有：
非正数有：
无理数有：
知识点4 常用数学概念的含义
1）
2）正整数：既是正数，又是整数
3）负整数：既是负数，又是整数
4）正分数：既是整数，又是分数
5）负分数：既是负数，又是分数
6）非正数：负数和0
7）非负数：正数和0
8）非正整数：负整数和0
9）非负整数：正整数和0
例1.下列结论错误的是：
A.负分数都是负有理数
B.分数中除了正分数就是负分数
C.有理数中除了分数就是小数
D.有限小数是分数，也是有理数
例2. 在有理数中，是整数而不是正数的数统称为：
是负数而不是分数的数统称为：
二、典型题型
题型1 数集问题
性质：有理数的分类
注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
例1. 如下图所示，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入它所属于的集合的圆内：15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333
例2.请将以下数据按要求填入对应框图中：－7，－3.5，0，－3， 2，2.5，8，
题型2 规律探究
解题技巧：该类题型比较灵活，需视具体情况而定。在有理数的规律探究题型中，往往需要寻找两部分规律：（1）数字之间的规律；（2）正负号的规律
例1.有一列数：，，，，…，求第7个数。
例2.有一列数：，，，，…，求第5个数和第6个数。
例3. 如下表所示，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2019个格子中的数为：
3 a b c -1 2 ...
1.2.2数轴
知识框架
一、基础知识点
知识点1 数轴的概念
1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴
2）三要素：①原点—参考点，正负数分界点；
②方向—一般选取向右为正方向；
③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致
例1.画数轴需要三个条件，即 、 方向和 长度。（三要素）
知识点2 数轴的读数与画法
1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。
2）画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…） e.标数（用实心点标数）
例1. .下图是几位同学所画数轴，其中正确的是：
①
②
③
④
⑤
2.
例2. 如下图所示，在数轴上的点M表示的数可能是：
A.1.5 B.-1.5 C.-2.4 D.2.4
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）
1）数轴上的点并不是都是有理数
2）正方向可以不按照常规方向选取
3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
例1. 下列说法中正确的是：
A.规定了原点、正方向的直线是数轴
B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数
C.有理数如-在数轴上无法表示出来
D.任何一个有理数都可以再数轴上找到它对应的唯一点
例2. 数轴上点A到原点的距离是2，点B到原点的距离是3，则A，B两点的距离是多少？
知识点4 数轴与数的大小
1）正方向上，离原点越远，数越大
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例1. 下表是四个城市今年二月份某天的气温，请画出数轴，并依据数轴判断气温最低的城市是哪个。
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温 -8 -16 5 -25
二、典型题型
题型1 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
例1.如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示－16，点G表示8.
（1）表示原点的点是： ，点C表示的数是：
（2）若数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离。
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，点P到A点的距离与P到G点的距离之和为24，则这样的P点有 个。
题型2 数轴上点的运动
性质：数轴数形结合的应用
注：若题干中有说明运动的方向，则结果为唯一确定值；若未说明运动的方向，则也会存在向左右两边运动的多解情况。
解题技巧：此类题型考察的是数轴数形结合的应用。先画出数轴，根据题干要求标出参考点；再根据题干要求进行相应的运动，确定最终位置并解答题目。需注意点为：若运动过程中未指出运动方向，则会存在多解情况。
例1. 点P从数轴（向右为正方向）上的－1出发，分别按照下列条件移动两次后到达终点，说出点P在终点时所表示的数。
（1）先向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；
（2）先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度。
例2. 数轴上点A对应的数是-1，一只小虫从点A出发，沿着数轴以每秒钟4个单位的速度爬行至点B，再立即沿原路返回至点A，共用9秒钟。
（1）小虫爬行的路程是多少个单位长度？
（2）点B对应的数是多少？
1.2.3相反数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 相反数的概念
相反数：像2和—2、5和—5、3和—3这样，只有符号不同的两个数互为相反数（注：0的相反数是0）
注：相反数是成对出现的
知识点2 相反数的意义
（1）代数意义：只有符号不同的两个数，一个是另一个的相反数，0的相反数是0
（2）几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
例1.在数轴上描出表示5、—2、—5、+2 这四个数的点。
观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是2的点有 个，这些点表示的数是 ；与原点的距离是5的点有 个，这些点表示的数是 。从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是 ，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称。
例2.－2017的相反数是：
A.2017 B.-2017 C. D.-
例3.下列说法中正确的是：
A.正数和负数互为相反数
B.任何一个数的相反数都与它本身不同
C.任何一个数都有它的相反数
D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数
知识点3 多重符号的化简
1）“-”表示否 “+”表示是
2）看“-”的个数，奇数个为负，偶数个为正。“+”个数不影响结果。
3）a.负负得正
b.负正得负
c.正正得正
例1. 化简下列各数：
a.-（-12） b.-（+5） c.+（-6） d.+（+3）
e.-[-（-3）] f.-[+（-a）]
二、典型题型
题型1 相反数的性质与求法
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）
c.一组相反数的和为0
解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。
（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
例1.若-a不是负数，则a：
A.是正数 B.不是负数 C.是负数 D.不是正数
例2.求a-b的相反数
例3.已知2a-1与7-a互为相反数，则a的值是：
例4.如果a，b都是有理数，在什么条件下：a+b与a-b互为相反数
题型2 相反数与数轴相结合
性质：相反数几何意义为数轴上原点两旁，与原点距离相等的点所表示的数。
解题技巧：利用相反数的几何意义，先在数轴上表示出互为相反数的两个点，在根据题干要求，利用数轴分析求解题目。
例1.有理数x，y在数轴上的对应点如图所示：
试把x，y，0，-x，-y这五个数按从大到小的顺序排列
例2. 已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a和b（a>b），且A，B两点间的距离是6，则a和b分别是多少？
1.2.4绝对值
知识框架
一、基础知识点
知识点1 绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
例1. 求下列各的绝对值
①-2.1 ②+（-3） ③-
例2.下图中两点距离原点的距离以及对应的绝对值分别是多少，发现了什么规律？
例3.若=-a，则数a在数轴上的对应点一定在：
A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧
知识点2 绝对值的性质
1）绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性>0，即：
2）互为相反数的两个数绝对值相等
例1. 下列说法中正确的是：
A.一定是正数 B.不是正数 C.-是负数 D.不是负数
知识点3 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
例1. 排序：－，，－，0，2.
例2. （1）若a<0，b<0，且，则a〇b
（2）若a>0，b<0，且，则a〇b
二、典型题型
题型1 由数求绝对值，由绝对值求数
1）由数求绝对值：一定为非负数，即
2）由绝对值求数
a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负数的数不存在。
b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）
例1. a.绝对值是3的数有几个，求出这几个数；
b.绝对值是0的数有几个，求出这几个数；
c.是否存在绝对值等于-4的数？
例2. 已知=2，=3，且x
题型2 比较有理数大小的方法
性质：a.在数轴上从左往右的顺序，数字依次增大
b.两个负数，绝对值大的反而小
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；
（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数
（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小
（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
例1.比较－4，－2 ，0 ，－ ，3 ，1的大小。
例2.已知a＜0＜b，且。比较a，b，－a，－b，0的大小。
例3.已知a，b，c的关系时a＜0，b＞0，c＜0且，请比较a，b，c，0，－a，－b，－c的大小。
题型3 含有字母的绝对值的化简求值
性质：，即
注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。
解题技巧：（1）此类题型的关键是去掉绝对值符号，而去绝对值的关键是判断绝对值里面的式子是正数还是负数。若为正数，则可以直接去绝对值，绝对值里面的式子不变；若为负数，则去掉绝对值后，对绝对值里面的式子这个整体添加“﹣”号，使得到的结果为非负数。
（2）有时，无法判断绝对值中式子的政府性，此时需要分类讨论。讨论的关键点在于找出对应零点，再根据零点进行讨论。
例1．若3＜a＜5，化简：
例2.若x的绝对值小于1，化简
例3.化简：
题型4 绝对值非负性的应用
性质：，即非负性
注：a为任意实数
解题技巧：此类题型往往出题为几个非负数相加，结果为0，则这每个非负数必须为零。即若，，…，为非负数，且，则必有
例1．若，求x+y的值。
例2. 若互为相反数，求的值。
例3.x，y是有理数，求的最小值。
三、难点题型
题型1 求绝对值的值
性质：，即
解题技巧：先利用绝对值性质去掉式子中的绝对值，然后在进行求值计算。若无法判断绝对值符号中代数式的正负时，需要分类讨论。
例1.若，，且，求x+y的值。
题型2 含字母绝对值的化简（复杂）
性质：绝对值的非负性
解题技巧：去绝对值，关键是判断绝对值里面的正负。若为正数或0，则直接去绝对值；若绝对值里面为负数，则去绝对值后，整体加负号。
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（特值法）
注：分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1.化简：
例2.已知y=，求y的最大值。
题型3 借助数轴解绝对值问题
性质：几何意义：表示x到点a的距离
解题技巧：（1）找零点；（2）根据零点分段数轴；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法
例1.求的最小值。
例2.问x为何值时，=3。
例3.设0＜a＜b＜c，求y=的最小值。
1.3有理数的加减法
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数的加法
有理数分为2个部分：符号+数值
因此，有理数的计算，我们需要完成2个工作。（1）判断符号；（2）计算数值
规律：①同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号相加，取绝对值大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数同0相加，结果仍然为0.
例1. （1）.若a>0，b>0，则a+b=+（+）
（2）.若a<0，b<0，则a+b=
（3）.若a>0，b<0，且>，则a+b=
（4）.若a>0，b<0，<。则a+b=
例2. 计算：16+（-25）+24+（-32）+（-5）+（-13）
知识点2 有理数的加法运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：a+b+c=a+（b+c）
例1.利用有理数的加法运算定律计算
①12+（-13）+8+（-7）；②1.125+（-3）+（-）+（-0.6）
知识点3 运用运算律简化计算
1）相反数结合——抵消
2）同号结合——符号易确定
3）同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）
4）凑整数
5）同行结合法——分数拆分为整数和分数
例1.用简便方法计算：
①-2.4+（-3.7）+（-4.6）+5.7；②-+13+（-）+17
知识点4 有理数减法的意义
有理数减法法则：减一个数，等于加上这个数的相反数
a-b=a+（﹣b）
例1. 计算：①2.3-（+3.7）； ②； ③；
④0-7； ⑤（-6）-0； ⑥7.3-（-5.7）
知识点5 有理数的加减混合运算
1）可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）
例：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
2）多重符号化简
例：（－2）+（+3）－（+5）－（－4）=－2+3－5+4
例1. 计算：①0.75+（+0.125）+
②3.586-（-5）+-（+1.586）
二、典型题型
题型1 有理数加法的应用
性质：有理数加法的运算法则
解题技巧：该类题型的实质是有理数加法的计算，通过理解题干意思，列写有理数运算算式，利用有理数加法运算规律进行计算求值。
例1. 判断题：
（1）两个负数的和一定是负数；
（2）绝对值相等的两个数的和等于零；
（3）若两个有理数相加时的和为负数，这两个有理数一定都是负数；
（4）若两个有理数相加时的和为正数，这两个有理数一定都是正数。
例2. 温度从-2℃上升3℃后是 ℃
例3.已知│a│= 8，│b│= 2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值；
（2）当a、b异号时，求a+b的值。
题型2 加法运算定律的应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
例1. 在一次知识竞赛中，记分的办法是：基准分为100分，答对一题得10分，不答得0分，打错一提得-10分，某对的得分情况是：-10、0、10、10、10、-10、10，这个对的最后得分是多少？
例2. 杨梅开始采摘了，每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：-0.1、-0.3、+0.2、+0.3，则这四框杨梅的总质量是多少？
题型3 有理数减法的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。
例1. 小明和小超是同班同学，在一次数学活动课上，玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张卡片上都写着一个数字，二人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于10，就加上这个数字；若抽到的卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。第一轮抽卡片完毕二人抽到的卡片数字如下；
小明：-4.5、11、5.5、10
小超：10.5、-4、5.2、9.8
若规定从0开始计算，结果小者为胜，那么谁获胜？
例2. 一口水井，深10米，蜗牛从底部向上爬，白天怕3米，晚上下滑2米，问需要几天可以爬出井口？
题型4 运用作差法比较有理数的大小
性质：当a－b>0时，a>b；
当a－b=0时，a=b；
当a－b<0时，a解题技巧：有时，两个数之间不方便直接比较，我们可以利用作差法比较大小。（1）将需要比较的两个数作差；（2）化简；（3）判断作差结果的正负性。若为正数，则被减数大；若差为0，则两个数一样大；若差为负数，则减数大。
例1.已知M=，N=，比较M与N的大小。
三、难点题型
题型1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合
解题技巧：该类题型是将有理数的多个知识点融合在一起进行考察。解此类题型，要明确题干考察的知识点，然后回顾对应知识点的性质和解题技巧，利用合适方法求解题目。
例1. 有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则下列式子正确的有：
①b+c>0；②a+b>a+c；③a+c<0；④a+b>0
例2. 若与互为相反数，求x+y的值。
题型2 定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线后记作，定义。计算。
例2.定义一种运算，规定ab=。计算23。
1.4有理数的乘除法
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数的乘法法则
1）规律：①几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负，偶数个为正）
②任何数乘0，积为0
例1. 计算：①（-2）×3×4×（-1）
②1.2×（-1）×（-2.5）×（-）
③（-3）×（-1）×2×（-6）×0×（-7）
知识点2 有理数乘法的运算律
1）正数乘法运算定律可推广到有理数中：
①交换律：a×b=b×a
②结合律：a×b×c=a×（b×c）
③分配率：a×（b+c）=a×b+a×c
注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换
2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号）
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。
如：12×（）
例1. 计算：
①
②
③1.25×（-4）×（-25）×（-8）
④
⑤
知识点3 倒数的概念
1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0无倒数。即a×b=1（a，b0）
注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数。
2）相反数：仅符号不同的两个数互为相反数，0的相反数为0.即a+b=0
例1. -1的倒数是 ，-3.2的倒数是 。
例2. 的倒数与4的相反数的商是多少？
知识点4 有理数的除法法则
1）有理数除法法则；①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
②符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正
2）有理数乘除法运算步骤：①绝对值运算数值
②根据奇偶判断符号
例1.计算
①-2+（-2）
②（-0.4）0.02×（-5）
③
④
知识点5 有理数四则混合运算
正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级之间从左往右依次计算。
例1.计算
①
②（-28+14）
③×6+3.95×6
知识点6 正负数的表示方法
有理数a、b
①
②
③
④
例1.下列说法中正确的是：
A.
B.若a+b>0，则ab>0
C.若a+b<0，则ab<0
D.若a+b>0，且ab<0，则a>0，b<0
E.若a+b<0，且ab>0，则a<0，b<0
例2. 3个有理数的积为零，可以确定：
A.3个数都为零
B.3个数中有一个为零，其余都不为零
C.3个数中有两个为零
D.3个数中至少有一个为零
1.
二、典型题型
题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用
性质：
解题技巧：=
首先判断绝对值内算式的正负，利用绝对值的性质去绝对值。若绝对值内为正，则直接去绝对值；若绝对值内为负，则去绝对值，并对整体添“﹣”号。当绝对值内为正时，则除以它本身结果为1；若绝对值内为负时，则除以它本身结果为﹣1.
例1.若三个有理数满足xyz>0，求式子的值
例2.已知ab<0，试求的值
三、难点题型
题型1 ±1赋值问题
解题技巧：对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。
用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.一只渡船往返于一条小河的左右两岸之间。若最初渡船是在左岸，它过河2019次之后，是停在左岸还是右岸？
例2.桌上放5个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子。问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上？
题型2 定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1.形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，请计算
例2.规定a*b=a+b+ab
（1）求（－2）*3；（2）（1*2）*3；（3）1*（2*3）
1.5有理数的乘方
知识框架
一、基础知识点
知识点1 乘方的意义
1）①n个相同因素a的乘积运算叫做乘方，即（n是正整数）。a--底数 n--指数 结果--幂
②通常a2读作a的平方，a3读作a的立方。
③0n=0（n），根据定义易理解
1n=1（n），根据定义易理解
a0=1（），规定，且规定00无意义
④当a>0时，（-a）n=
例1. 填空：（1）（-2）3的底数是 ，指数是 ，它表示 ；
（2）-23的底数是 ，指数是 ，它表示 。
（3）的底数是 ，指数是 ，它表示 ；
（4）的底数是 ，指数是 ，它表示 。
知识点2 乘方运算法则
1）乘方就是多个数相乘的运算，因此在运算法则中应排在加减前面；又因乘方是一个不可分割的乘法整体，故也应排在乘除前。
那么就是，先括号，后乘方，再乘除，最后加减。（有括号，永远是括号的等级最高）
例1. 计算：①（-4）3； ②-43； ③（-）3； ④-；
⑤（-1）2017； ⑥（）3； ⑦-23×（-3）2； ⑧（-0.2）3
例2. 计算：①（-2）4
②
③
知识点3 科学记数法的概念
1）把一个大于10的数表示成a×10n的形式，（其中：12）如何用科学记数法表示一个大数：
①取a，1②求n，n为正整数，即要使a扩大多少个10倍，也即小数点后还有几位数字。 如12300 n=4； 12000 n=4
3）将科学记数法的数还原为原来数
a×10n中，将a的小数点向右移动n位，不够的在右边添0。
例1.用科学记数法表下列各数：
①2000000；②-6300000；③-3978.5；
④89725.6；⑤-974255.8；⑥32万
例2.把下列科学记数法表示的数写成原数：
①1×104；②6.25×105；③-7.05×104
知识点4 近似数与准确数
1）在许多情况下，我们难以取得准确的数或不必要使用精确数，这是我们就可以使用近似数。
2）近似数产生的原因：
①测量工具精度不够
②不易或不可得到精确数字，如：人口普查
③不必使用精确数字，如：有20亿元
④计算产生近似数，如：除不尽
知识点5 理解精确度
四舍五入法：按需要截取到指定数位时，如果省略部分的数小于5，就直接舍去；若大于等于5，则向前进一位。
几种表示方式：①精确到百分位；②保留2为小数；③保留3位有效数字
注：①取近似数时，要用约等于（≈）；②保留几位小数时，若第几位为0，也需要保留
例1.将59.997精确到个位约是（ ），精确到十分位约是（ ），精确到百分位约是（ ）。
例2.将2.3955保留一位有效数字约是（ ），保留两位有效数字是（ ），保留四位有效数字是（ ）。
二、典型题型
题型1 有理数的混合运算
解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级运算：乘方运算。规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算从左到右依次进行。
（1）有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；（2）先乘方、再乘除、最后加减；（3）同级运算，按从左往右依次进行。
当然，在准守上述计算原则的前提下，也需要灵活使用运算律，以简化运算。
例1. 计算：①（-2）3+（-3）×[（-4）2-2]-（-3）2（-）；
②1-×[3×（-）2-（-1）4]+（-）3；
③；
④
⑤
题型2 乘方的简便计算
性质：
解题技巧：利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
例1. 计算：（-0.125）2016×（8）2017
例2. 若，求2的值。
题型3 确定末位数字
解题技巧：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
例1. 试确定22010的末位数字
例2. 试确定72017-52017的个位数字
题型4 由近似数估算准确数的取值范围
解题技巧：此类题型为求近似数的逆过程，已知近似数，求原数的取值范围。原数的最大值为：近似数+精确度后一位数字为4+精确度后剩下数为9；原数的最小值为：（近似数精确度位数－1）+精确度后一位数字为5+精确度后剩下数为0.
例1.近似值是1.73的三位小数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。
例2. 由四舍五入法得到的近似数a2.1，b2.10，那么a的范围为： ，b的范围为 。
三、难点题型
题型1 乘方在实际问题中的应用
解题技巧：此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1.拉面师傅用一根苗条，把两头捏在一起拉伸，再次捏合，再拉伸，如此反复。
（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？
（2）捏合到第几次后可拉成128根面条？
例2. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个。按此规律，5小时候细胞存活的个数是多少？
题型2实际问题中的近似数
解题技巧：在实际问题中，除了“四舍五入”法求近似数外，还需要用到“去尾法”和“进一法”。
“去尾法”是把一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字无论为多少，全部舍去。
“进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1.
例1.要用50厘米的圆钢截成3厘米长的一段零件，最多可以截多少段？
例2.某校546人，租用45座的客车秋游，应租多少辆车？
专题01 有理数专题详解
TOC \o "1-4" \h \z \u 专题01 有理数专题详解 1
1.1正数和负数 4
知识框架 4
一、基础知识点 4
知识点1 负数的产生 4
知识点2 相反意义的量的表示方式 4
知识点3 正数、负数及0的意义 5
二、典型题型 5
题型1 平均数与正负数 5
题型2 用正负数表示误差范围 6
题型3 正负数规律探究 6
1.2有理数 8
1.2.1有理数 8
知识框架 8
一、基础知识点 8
知识点1 有理数及相关概念 8
知识点2 小数分类补充 9
知识点3 有理数的分类 9
知识点4 常用数学概念的含义 10
二、典型题型 10
题型1 数集问题 10
题型2 规律探究 11
1.2.2数轴 13
知识框架 13
一、基础知识点 13
知识点1 数轴的概念 13
知识点2 数轴的读数与画法 13
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 14
知识点4 数轴与数的大小 15
二、典型题型 15
题型1 利用数轴求两点间距离 15
题型2 数轴上点的运动 16
1.2.3相反数 17
知识框架 17
一、基础知识点 17
知识点1 相反数的概念 17
知识点2 相反数的意义 17
知识点3 多重符号的化简 18
二、典型题型 18
题型1 相反数的性质与求法 18
题型2 相反数与数轴相结合 19
1.2.4绝对值 20
知识框架 20
一、基础知识点 20
知识点1 绝对值的意义 20
知识点2 绝对值的性质 20
知识点3 绝对值与数的大小 21
二、典型题型 22
题型1 由数求绝对值，由绝对值求数 22
题型2 比较有理数大小的方法 23
题型3 含有字母的绝对值的化简求值 24
题型4 绝对值非负性的应用 25
三、难点题型 26
题型1 求绝对值的值 26
题型2 含字母绝对值的化简（复杂） 27
题型3 借助数轴解绝对值问题 28
1.3有理数的加减法 30
知识框架 30
一、基础知识点 30
知识点1 有理数的加法 30
知识点2 有理数的加法运算律 31
知识点3 运用运算律简化计算 31
知识点4 有理数减法的意义 31
知识点5 有理数的加减混合运算 32
二、典型题型 32
题型1 有理数加法的应用 32
题型2 加法运算定律的应用 33
题型3 有理数减法的应用 33
题型4 运用作差法比较有理数的大小 34
三、难点题型 34
题型1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 34
题型2 定义新运算 35
1.4有理数的乘除法 36
知识框架 36
一、基础知识点 36
知识点1 有理数的乘法法则 36
知识点2 有理数乘法的运算律 36
知识点3 倒数的概念 37
知识点4 有理数的除法法则 38
知识点5 有理数四则混合运算 39
知识点6 正负数的表示方法 40
二、典型题型 41
题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 41
三、难点题型 42
题型1 ±1赋值问题 42
题型2 定义新运算 42
1.5有理数的乘方 44
知识框架 44
一、基础知识点 44
知识点1 乘方的意义 44
知识点2 乘方运算法则 45
知识点3 科学记数法的概念 46
知识点4 近似数与准确数 47
知识点5 理解精确度 47
二、典型题型 48
题型1 有理数的混合运算 48
题型2 乘方的简便计算 49
题型3 确定末位数字 50
题型4 由近似数估算准确数的取值范围 50
三、难点题型 51
题型1 乘方在实际问题中的应用 51
题型2实际问题中的近似数 51
1.1正数和负数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 负数的产生
1） 负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。
知识点2 相反意义的量的表示方式
1）用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减少量。
2）注意：
a.相反意义的量是成对出现的；
b.相反意义的量必须是同类量；
c.用正负表示时，一定要说明数量和单位；
3）在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。
例1. 小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______，﹣4万元表示________________。
【答案】－2万元
支取4万元
例2.下列说法中正确的是（ ）
A.上升与下降具有相反意义的量
B.前进20m具有相反意义的量
C.向南50m与向北40m是相反意义的量
D.收入20元于下降2m具有相反意义的量
【答案】A.错误，无数量
B.错误，相反意义的量是成对出现的
C.正确
D.错误，收入和下降不是同类意义量
知识点3 正数、负数及0的意义
1）正数：大于零的数，如3，，π等，其中（+）可以省略
2）负数：小于零的数，如-1，-，﹣30%等，其中（﹣）不可以省略
3）0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。（0并非表示没有）
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义
如：+（﹣）3，﹣（﹣）3 （+）--肯定 （﹣）--否定
例1. 下列说法中，正确的有哪些：
①0是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0可以表示海平面的高度；④正数比0大，负数比0小，0是正数和负数的分界线；⑤0只表示什么都没有；⑥0是非正数。
【答案】①正确，0是自然数
②正确，数分为正数、负数和0，其中0既不是正数也不是负数
③正确，通常以0作为正负数的分界线，0可以表示海平面高度
④正确，正负数的定义就是与0作比较
⑤错误，如0℃并非表示没有温度
⑥正确，非正数包括负数和0
例2. 下列说法中正确的有：
①0℃表示没有温度；②0是最小的正数；③0是偶数，也是自然数；④不带负号的数都是正数；⑤带负号的数不一定是负数。
【答案】①错误，0℃表示温度为水结冰的临界点温度，并非没有温度
②错误，0不是正数
③正确，0是自然数，也是偶数
④，⑤都错误，判断正负，不能仅仅根据符号判定，而需要与0比较大小。
二、典型题型
题型1 平均数与正负数
性质：某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负
解题技巧：求一组数的平均数，可以用正负数的思想解决。首先目测选取这组数中较为居中的数为基准数“0”；然后将实际数与基准数进行比较，用正负数表示这组数据，超出记为正，不足记为负；接着求出这组数据正负数的平均值；最后用正负数的平均值与基准数比较，得出这组数的实际平均值。
例1.下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京早的时数）：
城市 时差 城市 时差
纽约 -13 东京 1
巴黎 -7 芝加哥 -14
如果现在北京时间是7:00，那么现在纽约时间是几点？
【答案】－13表示比北京时间晚13个小时
∵北京 时间为7:00
∴纽约时间为前一天18:00
例2.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每相邻两个可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度。下表是某次测量数据的一部分（A-C表示观测点A相对观测点C的高度，例如，下表第一列表示A比C高90米）。
A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米
根据这些观测的数据，观测点A相对观测点B的高度时多少米？
【答案】设A的高度为0
则C的高度为－90
D为－170
E为－230
F为－180
G为－250
B为－210
∴A－B=210
题型2 用正负数表示误差范围
性质：a±b表示取值范围为：a－b至a+b之间
解题技巧：首先根据a±b的实际意义，先求出物体允许的误差范围；在将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格。
例1. 一商品的标准价格是120元，但随着季节的变化，商品的价格可以浮动10%。
①10%的含义是什么？
②请你计算该商品的最高价格和最低价格
【答案】①10%表示商品价格上加波动为10%，即商品价格范围为：120×（1－10%）至120×（1+10%）
②最低价格为：120×（1－10%）=108元
最高价格为：120×（1+10%）=132元
例2. 下面几个数表示的是四个足球的质量与标准质量偏差的克数，其中质量较好的是：
A.+10 B.-20 C.-5 D.+15
【答案】C
正数表示比标准质量中，负数表示比标准质量轻，其中－5表示的偏差为5，是最小偏差。
题型3 正负数规律探究
解题技巧：规律探究题分两步寻找规律。首先寻找数字间的规律；然后再寻找正负号间的规律；最后将正负号和数字结合起来，得到最终结果。
例1.观察下面排列的一列，请写出后面的数。
（1）－1，，－3，，－5， ， ，
（2），，，， ， ，
【答案】
（1）符号规律为负正间或出现，数字规律为整数分数间或出现，且依次增大
故后面的数字分别为：
（2）符号规律为正负间或出现，数字规律为分子从1开始依次增加，分母比分子大1
故后面的数字分别为：
例2. 观察这一串数字：等，试问是第几个数？
【答案】符号规律为正负间或出现
数字规律为：分母从1开始，分子也从1开始逐渐增大，依次至与分母一样大，然后在依次降至1为止
分母为1的数有1个；分母为2的有3个；分母为3的有5个；分母为4的有7个；分母为5的有9个；分母为6的有11个；分母为7的有13个；分母为8的有15个；分母为9的有17个；分母为10的有19个。
共计为：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100个
故第100个数为－
后续数依次为：
∴在第107个位置
1.2有理数
1.2.1有理数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数及相关概念
正整数：像1， 2， 3， 4等这样的数叫作正整数
负整数：像－1， －2， －3等这样的数叫作负整数
正分数：像，0.24， 1.64等这样的数叫作正分数
负分数：像－，－3.56， 0.78等这样的数叫作负分数
整数：正整数、0、负整数统称为整数
分数：正分数、负分数统称为分数
有理数：整数和分数统称为有理数
例1. 下列说法中，错误的有：
①-2是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数
【答案】①-2既是分数又是负数，正确
②1.5时分数不是正数，正确
③非负有理数包括正有理数和0，错误
④正数、负数和0统称为有理数，错误
⑤负数比0小，错误
⑥3.14为分数，是有理数，错误
例2. 下列说法中，正确的是：
Ａ．正有理数和负有理数统称为有理数
Ｂ．正整数和负整数统称为整数
Ｃ．整数和分数统称为有理数
Ｄ．非正数就是指0、负整数和所有分数
【答案】A错误，有理数还包含0；
B正确，有理数包含正数和分数；
C错误，漏掉了0
D错误，非正数指0和负数
知识点2 小数分类补充
1）小数
2）①有限小数可以转化为分数，故我们将这类小数划分为分数类。如0.3=
②无限循环小数也可以转化为分数，故我们也将这类小数划分为分数类。如0.=
③无限不循环小数不可以转化为分数，故不是分数，也不是有理数。如π
知识点3 有理数的分类
1）分类：
①按整数、分数分类
②按数的正负性分
注：无论怎么分类，一共有5类，不可重复，也不可遗漏
拓展：无理数，如π
例1. 将下列各数填在相应位置
-50，+10，1，，+102， 51.2，-3.06，0，，+1，（+2），2，3.12
正整数有：
分数有：
正分数有：
非正数有：
无理数有：
【答案】
正整数有：+10，1，+102
分数有：，51.2，-3.06，，+1，3.12
正分数有：51.2， ，+1，3.12
非正数有：-50，，-3.06，0
无理数有：（+2），2
知识点4 常用数学概念的含义
1）
2）正整数：既是正数，又是整数
3）负整数：既是负数，又是整数
4）正分数：既是整数，又是分数
5）负分数：既是负数，又是分数
6）非正数：负数和0
7）非负数：正数和0
8）非正整数：负整数和0
9）非负整数：正整数和0
例1.下列结论错误的是：
A.负分数都是负有理数
B.分数中除了正分数就是负分数
C.有理数中除了分数就是小数
D.有限小数是分数，也是有理数
【答案】C
有限小数和无限循环小数为分数，无限不循环小数不是有理数
例2. 在有理数中，是整数而不是正数的数统称为：
是负数而不是分数的数统称为：
【答案】非正整数
负整数
二、典型题型
题型1 数集问题
性质：有理数的分类
注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
例1. 如下图所示，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入它所属于的集合的圆内：15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333
【答案】
例2.请将以下数据按要求填入对应框图中：－7，－3.5，0，－3， 2，2.5，8，
【答案】
题型2 规律探究
解题技巧：该类题型比较灵活，需视具体情况而定。在有理数的规律探究题型中，往往需要寻找两部分规律：（1）数字之间的规律；（2）正负号的规律
例1.有一列数：，，，，…，求第7个数。
【答案】符号规律为负正间或出现
数字规律为：分子从1开始依次增大；分母为
故第7个数为：
例2.有一列数：，，，，…，求第5个数和第6个数。
【答案】符号规律为正负间或出现
数字规律：分母为n×（n+1），分子为1
故第5个数为：
第6个数为：
例3. 如下表所示，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2019个格子中的数为：
3 a b c -1 2 ...
【答案】∵任意三个相邻格子中所填整数之和相等
∴3+a+b=a+b+c
a+b+c=b+c+（－1），依次类推得：
3 －1 2 3 －1 2 3 －1 2 3 ...
发现规律：该组数为3，－1， 2循环出现
2019÷3=673
因此第2019个数为第673组最后一个数，为2
1.2.2数轴
知识框架
一、基础知识点
知识点1 数轴的概念
1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴
2）三要素：①原点—参考点，正负数分界点；
②方向—一般选取向右为正方向；
③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致
例1.画数轴需要三个条件，即 、 方向和 长度。（三要素）
【答案】数轴三要素：原点、正方向和单位长度
知识点2 数轴的读数与画法
1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。
2）画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…） e.标数（用实心点标数）
例1. .下图是几位同学所画数轴，其中正确的是：
①
②
③
④
⑤
2.
【答案】①错误，无原点；
②错误，无正方向；
③错误，负半轴从右往左应该依次为－1、－2、－3等
④正确
⑤错误，表示同一个单位长度的线段不一样长
例2. 如下图所示，在数轴上的点M表示的数可能是：
A.1.5 B.-1.5 C.-2.4 D.2.4
【答案】点M在－3与－2之间，表示－2点几，选择C
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）
1）数轴上的点并不是都是有理数
2）正方向可以不按照常规方向选取
3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
例1. 下列说法中正确的是：
A.规定了原点、正方向的直线是数轴
B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数
C.有理数如-在数轴上无法表示出来
D.任何一个有理数都可以再数轴上找到它对应的唯一点
【答案】A错误，还有单位长度；
B错误，若正方向向左，则原点左边的数为正数；
C错误，任何一个有理数和无理数都能在数轴上表示出来；
D正确
例2. 数轴上点A到原点的距离是2，点B到原点的距离是3，则A，B两点的距离是多少？
【答案】∵点A到原点的距离是2，则A为2或－2；
点B到原点的距离是3，则B为3或－3
则有4种情况：
①a=2，b=3，A，B两点间的距离为1；
②a=2，b=－3，A，B两点间的距离为5；
③a=－2，b=3，A，B两点间的距离为5；
④a=－2，b=－3，A，B两点间的距离为1；
∴综上得：点A与点B之间的距离为1或5.
知识点4 数轴与数的大小
1）正方向上，离原点越远，数越大
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例1. 下表是四个城市今年二月份某天的气温，请画出数轴，并依据数轴判断气温最低的城市是哪个。
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温 -8 -16 5 -25
【答案】将温度表示在数轴上得：
因为数轴上的数，从左到右依次增大，－25最小，即阿泰勒温度最低
二、典型题型
题型1 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
例1.如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示－16，点G表示8.
（1）表示原点的点是： ，点C表示的数是：
（2）若数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离。
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，点P到A点的距离与P到G点的距离之和为24，则这样的P点有 个。
【答案】∵－16与8之间共有24个单位长度，点A与点G之间共有6段
∴每段的距离为24÷6=4
∴A：－16；B：－12；C：－8；D：－4；E：0；F：4；G：8
（1）原点是：E，点C表示－8
（2）点M到点E的距离为4，则M为4或－4；
点N到点E的距离为3，则N为3或－3
则有4种情况：
①a=4，b=3，M，N两点间的距离为1；
②a=4，b=－3，M，N两点间的距离为7；
③a=－4，b=3，M，N两点间的距离为7；
④a=－4，b=－3，M，N两点间的距离为1；
∴综上得：点M与点N之间的距离为1或7
（3）AG之间的距离恰好是24，因此点P在AG之间或A，G上皆可
这样的P点个数有：24+1=25个
题型2 数轴上点的运动
性质：数轴数形结合的应用
注：若题干中有说明运动的方向，则结果为唯一确定值；若未说明运动的方向，则也会存在向左右两边运动的多解情况。
解题技巧：此类题型考察的是数轴数形结合的应用。先画出数轴，根据题干要求标出参考点；再根据题干要求进行相应的运动，确定最终位置并解答题目。需注意点为：若运动过程中未指出运动方向，则会存在多解情况。
例1. 点P从数轴（向右为正方向）上的－1出发，分别按照下列条件移动两次后到达终点，说出点P在终点时所表示的数。
（1）先向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；
（2）先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度。
【答案】（1）P为－1，向右移动3个单位长度，变为2；在向右移动2个单位长度，变为4
（2）P为－1，向右移动2个单位长度，变为1；在向左移动3个单位长度，变为－2
例2. 数轴上点A对应的数是-1，一只小虫从点A出发，沿着数轴以每秒钟4个单位的速度爬行至点B，再立即沿原路返回至点A，共用9秒钟。
（1）小虫爬行的路程是多少个单位长度？
（2）点B对应的数是多少？
【答案】（1）路程为：9×4=36个单位长度
（2）因为总路程36为往返距离，所以A与B点间的距离为18
当点B在点A左侧时，B为－19；
当点B在点A右侧是，B为17
1.2.3相反数
知识框架
一、基础知识点
知识点1 相反数的概念
相反数：像2和—2、5和—5、3和—3这样，只有符号不同的两个数互为相反数（注：0的相反数是0）
注：相反数是成对出现的
知识点2 相反数的意义
1）代数意义：只有符号不同的两个数，一个是另一个的相反数，0的相反数是0
2）几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
例1.在数轴上描出表示5、—2、—5、+2 这四个数的点。
观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是2的点有 个，这些点表示的数是 ；与原点的距离是5的点有 个，这些点表示的数是 。从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是 ，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称。
【答案】数轴如下
数轴上与原点距离是2的点有2个，这些点表示的数是：±2
与原点距离是5的点有2个，这些点表示的数是：±5
另一个是－a
例2.－2017的相反数是：
A.2017 B.-2017 C. D.-
【答案】A
相反数为仅两个数符号不同的数，故为2017
例3.下列说法中正确的是：
A.正数和负数互为相反数
B.任何一个数的相反数都与它本身不同
C.任何一个数都有它的相反数
D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数
【答案】C
正数和负数必须距离原点的距离相等的点表示的数才是相反数，A错误
0的相反数是自己本身，B错误
任何一个数都有相反数，C正确
数轴上原点两侧，且与原点距离相等的点表示的数才为相反数，D错误
知识点3 多重符号的化简
1）“-”表示否 “+”表示是
2）看“-”的个数，奇数个为负，偶数个为正。“+”个数不影响结果。
3）a.负负得正
b.负正得负
c.正正得正
例1. 化简下列各数：
a.-（-12） b.-（+5） c.+（-6） d.+（+3）
e.-[-（-3）] f.-[+（-a）]
【答案】
－（－12）=12 －（+5）=－5 +（－6）=－6
+（+3）=3 －[－（－3）]=－3 －[﹢（－a）]=a
二、典型题型
题型1 相反数的性质与求法
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）
c.一组相反数的和为0
解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。
（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
例1.若-a不是负数，则a：
A.是正数 B.不是负数 C.是负数 D.不是正数
【答案】∵－a不是负数
∴－a为正数或0
∴－a的相反数a为负数或0，选D
例2.求a-b的相反数
【答案】a－b的相反数即在这个式子前面添﹣
即－（a－b）=－a+b
例3.已知2a-1与7-a互为相反数，则a的值是：
【答案】∵（2a－1）与（7－a）互为相反数
∴（2a－1）+（7－a）=0
解得：a=－4
例4.如果a，b都是有理数，在什么条件下：a+b与a-b互为相反数
【答案】∵（a+b）与（a－b）互为相反数
∴（a+b）+（a－b）=0
化简得：2a=0，a=0
因此成立的条件为：a=0，b为任意有理数
题型2 相反数与数轴相结合
性质：相反数几何意义为数轴上原点两旁，与原点距离相等的点所表示的数。
解题技巧：利用相反数的几何意义，先在数轴上表示出互为相反数的两个点，在根据题干要求，利用数轴分析求解题目。
例1.有理数x，y在数轴上的对应点如图所示：
试把x，y，0，-x，-y这五个数按从大到小的顺序排列
【答案】数轴如下：
根据数轴性质，数轴上的数从左到右依次增大
y＜－x＜0＜x＜－y
例2. 已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a和b（a>b），且A，B两点间的距离是6，则a和b分别是多少？
【答案】数轴如下：
如图，因为a＞b，且ab互为相反数
所以A点在原点右侧，B点在原点左侧，且两点到原点距离相等
因为A、B两点的距离为6
所以B到原点的距离与A到原点的距离都为3
所以a=3，b=－3
1.2.4绝对值
知识框架
一、基础知识点
知识点1 绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
例1. 求下列各的绝对值
①-2.1 ②+（-3） ③-
【答案】
例2.下图中两点距离原点的距离以及对应的绝对值分别是多少，发现了什么规律？
【答案】，－1距离原点的距离是1；=4，4距离原点的距离是4
规律：绝对值越大，距离原点的距离越远
例3.若=-a，则数a在数轴上的对应点一定在：
A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧
【答案】因为=－a
所以a为负数或为0
所以选B
知识点2 绝对值的性质
1）绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性>0，即：
2）互为相反数的两个数绝对值相等
例1. 下列说法中正确的是：
A.一定是正数 B.不是正数 C.-是负数 D.不是负数
【答案】一个数的绝对值一定是大于或等于0的数
A错误，还可能为0
B错误，为正数或0
C错误，有可能为0
D正确，绝对值一定为正数或0，不可能为负数
知识点3 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
例1. 排序：－，，－，0，2.
【答案】正数＞0＞负数；负数的绝对值越大，反而越小
因为，所以
所以＜＜0＜＜2
例2. （1）若a<0，b<0，且，则a〇b
（2）若a>0，b<0，且，则a〇b
【答案】（1）∵a<0，b<0
∴绝对值大的数反而小
∵
∴a＜b
（2）∵a＞0为正数，b＜0为负数
∴a＞b
二、典型题型
题型1 由数求绝对值，由绝对值求数
1）由数求绝对值：一定为非负数，即
2）由绝对值求数
a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负数的数不存在。
b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）
例1. a.绝对值是3的数有几个，求出这几个数；
b.绝对值是0的数有几个，求出这几个数；
c.是否存在绝对值等于-4的数？
【答案】a.绝对值是3的数有2个，分别为±3
b.绝对值是0的数有1个，为0
c.绝对值是－4的数没有
例2. 已知=2，=3，且x【答案】∵ ∴x=±2
∵ ∴y=±3
所以又4种组合：
①x=2，y=3；
②x=2，y=－3
③x=－2，y=3
④x=－2，y=－3
又因为x＜y
所以组合①③成立
题型2 比较有理数大小的方法
性质：a.在数轴上从左往右的顺序，数字依次增大
b.两个负数，绝对值大的反而小
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；
（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数
（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小
（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
例1.比较－4，－2 ，0 ，－ ，3 ，1的大小。
【答案】∵ ∴－4＜＜
∴－4＜＜＜0＜1＜3
例2.已知a＜0＜b，且。比较a，b，－a，－b，0的大小。
【答案】画数轴如下：
所以－b＜a＜0＜－a＜b
例3.已知a，b，c的关系时a＜0，b＞0，c＜0且，请比较a，b，c，0，－a，－b，－c的大小。
【答案】画数轴如下：
所以c＜－b＜a＜0＜－a＜b＜－c
题型3 含有字母的绝对值的化简求值
性质：，即
注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。
解题技巧：（1）此类题型的关键是去掉绝对值符号，而去绝对值的关键是判断绝对值里面的式子是正数还是负数。若为正数，则可以直接去绝对值，绝对值里面的式子不变；若为负数，则去掉绝对值后，对绝对值里面的式子这个整体添加“﹣”号，使得到的结果为非负数。
（2）有时，无法判断绝对值中式子的政府性，此时需要分类讨论。讨论的关键点在于找出对应零点，再根据零点进行讨论。
例1．若3＜a＜5，化简：
【答案】
=（2+a）+（5－a）+[－（a－6）]
=2+a+5－a+6－a
=13－a
例2.若x的绝对值小于1，化简
【答案】
=（x－1）+（x+1）
=x－1+x+1
=2x
例3.化简：
【答案】①x＜3时
=－（x－3）=－x+3
②x≥3时
=（x－3）=x－3
题型4 绝对值非负性的应用
性质：，即非负性
注：a为任意实数
解题技巧：此类题型往往出题为几个非负数相加，结果为0，则这每个非负数必须为零。即若，，…，为非负数，且，则必有
例1．若，求x+y的值。
【答案】∵
∴，即x=－1，y=2
x+y=－1+2=1
例2. 若互为相反数，求的值。
【答案】因为互为相反数的两个数有两种情况：一正一负或2个0
显然题干中2个绝对值不可能为负数
所以x－1=0，y－2=0
解得：x=1，y=2
=1
例3.x，y是有理数，求的最小值。
【答案】因为绝对值≥0，
所以要使为最小值
则这两个绝对值都为0
2x－8=0，3x－4y－12=0
解得：x=4，y=0
原式最小值为：0+0+3=3
三、难点题型
题型1 求绝对值的值
性质：，即
解题技巧：先利用绝对值性质去掉式子中的绝对值，然后在进行求值计算。若无法判断绝对值符号中代数式的正负时，需要分类讨论。
例1.若，，且，求x+y的值。
【答案】因为 所以x－y＜0
∵ ∴x=±3
∵ ∴y=±2
所以又4种组合：
①x=3，y=2；
②x=3，y=－2
③x=－3，y=2
④x=－3，y=－2
又因为x－y＜
所以组合③④成立
所以x+y为－1或－5
题型2 含字母绝对值的化简（复杂）
性质：绝对值的非负性
解题技巧：去绝对值，关键是判断绝对值里面的正负。若为正数或0，则直接去绝对值；若绝对值里面为负数，则去绝对值后，整体加负号。
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（特值法）
注：分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1.化简：
【答案】
情况一：x＜－时
原式=－（3x+1）－（2x－1）
=－3x－1－2x+1
=－5x
情况二：－时
原式=（3x+1）－（2x－1）
=3x+1－2x+1
=x+2
情况三：x≥时
原式=（3x+1）+（2x－1）
=3x+1+2x－1
=5x
例2.已知y=，求y的最大值。
【答案】
情况一：x＜－4时
原式=－（2x+8）－（x－2）+4（x+2）
=－2x－8－x+2+4x+8
=x+2
当x=－4时，有最大值，为－2
情况二：－4≤x＜－2时
原式=（2x+8）－（x－2）+4（x+2）
=2x+8－x+2+4x+8
=5x+18
当x=－2时，有最大值，为8
情况三：－2≤x＜2时
原式=（2x+8）－（x－2）－4（x+2）
=2x+8－x+2－4x－8
=－3x+2
当x=－2时，有最大值，为8
情况四：x≥2时
原式=（2x+8）+（x－2）－4（x+2）
=2x+8+x－2－4x－8
=－x－2
当x=2时，有最大值，为－4
综上得，当x=－2时有最大值，最大值为8
题型3 借助数轴解绝对值问题
性质：几何意义：表示x到点a的距离
解题技巧：（1）找零点；（2）根据零点分段数轴；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法
例1.求的最小值。
【答案】借助数轴，表示点P到－1和3的距离的和
从数轴上可看出，当点P在数轴的－1至3之间时，距离和有最小值
最小值为：4
例2.问x为何值时，=3。
【答案】借助数轴，表示点P到－1和4的距离的差
从数轴上可看出，当点P在数轴的－4处或在数轴3处时，距离差为3
所以x=－4或x=3
例3.设0＜a＜b＜c，求y=的最小值。
【答案】借助数轴，表示点P到a，b，c三点之间的距离和。
从数轴上可以看出，当点P在a、c两点之间时，距离和最小，最小值为c－a
1.3有理数的加减法
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数的加法
有理数分为2个部分：符号+数值
因此，有理数的计算，我们需要完成2个工作。（1）判断符号；（2）计算数值
规律：①同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号相加，取绝对值大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数同0相加，结果仍然为0.
例1. （1）.若a>0，b>0，则a+b=+（+）
（2）.若a<0，b<0，则a+b=
（3）.若a>0，b<0，且>，则a+b=
（4）.若a>0，b<0，<。则a+b=
【答案】（2）.若a<0，b<0，则a+b=－（+）
（3）.若a>0，b<0，且>，则a+b=－
（4）.若a>0，b<0，<。则a+b=－（－）
例2. 计算：16+（-25）+24+（-32）+（-5）+（-13）
【答案】原式=16+24+（－25）+（－5）+（－32）+（－13）=40+（－30）+（－45）
=－35
知识点2 有理数的加法运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：a+b+c=a+（b+c）
例1.利用有理数的加法运算定律计算
①12+（-13）+8+（-7）；②1.125+（-3）+（-）+（-0.6）
【答案】（1）原式=12+8+（－13）+（－7）=20+（－20）=0
（2）1.125+（－）+=1+（－4）=－3
知识点3 运用运算律简化计算
1）相反数结合——抵消
2）同号结合——符号易确定
3）同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）
4）凑整数
5）同行结合法——分数拆分为整数和分数
例1.用简便方法计算：
①-2.4+（-3.7）+（-4.6）+5.7；②-+13+（-）+17
【答案】（1）原式=[－2.4+（－4.6）]+[（－3.7）+5.7]=－7+2=－5
（2）原式=[]+（13+17）=29
知识点4 有理数减法的意义
有理数减法法则：减一个数，等于加上这个数的相反数
a-b=a+（﹣b）
例1. 计算：①2.3-（+3.7）； ②； ③；
④0-7； ⑤（-6）-0； ⑥7.3-（-5.7）
【答案】（1）原式=2.3+（－3.7）=－1.4
（2）原式=
（3）原式==－6
（4）原式=0+（－7）=－7
（5）原式=－6+0=－6
（6）原式=7.3+5.7=13
知识点5 有理数的加减混合运算
1）可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）
例：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
2）多重符号化简
例：（－2）+（+3）－（+5）－（－4）=－2+3－5+4
例1. 计算：①0.75+（+0.125）+
②3.586-（-5）+-（+1.586）
【答案】（1）原式=（0.75－2）+（0.125－4）－12
=－2－4－12
=－18
（2）原式=（3.586－1.586）+5－5
=2+5+7－8
=5
二、典型题型
题型1 有理数加法的应用
性质：有理数加法的运算法则
解题技巧：该类题型的实质是有理数加法的计算，通过理解题干意思，列写有理数运算算式，利用有理数加法运算规律进行计算求值。
例1. 判断题：
（1）两个负数的和一定是负数；
（2）绝对值相等的两个数的和等于零；
（3）若两个有理数相加时的和为负数，这两个有理数一定都是负数；
（4）若两个有理数相加时的和为正数，这两个有理数一定都是正数。
【答案】（1）正确，两个负数相加，结果为负
（2）错误，绝对值相等，必须符号相反，和才为0
（3）错误，当一正一负，且负数绝对值大时，和也为负
（4）错误，当一正一负，且正数绝对值大时，和也为正
例2. 温度从-2℃上升3℃后是 ℃
【答案】－2+3=1℃
例3.已知│a│= 8，│b│= 2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值；
（2）当a、b异号时，求a+b的值。
【答案】（1）情况一：a=8，b=2，a+b=10
情况二：a=－8，b=－2，a+b=－10
（2）情况一：a=8，b=－2，a+b=6
情况二：a=－8，b=2，a+b=－6
题型2 加法运算定律的应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
例1. 在一次知识竞赛中，记分的办法是：基准分为100分，答对一题得10分，不答得0分，打错一提得-10分，某对的得分情况是：-10、0、10、10、10、-10、10，这个对的最后得分是多少？
【答案】100+（－10）+0+10+10+10+（－10）+10=120
例2. 杨梅开始采摘了，每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：-0.1、-0.3、+0.2、+0.3，则这四框杨梅的总质量是多少？
【答案】5×4+（－0.1）+（－0.3）+0.2+0.3=20.1kg
题型3 有理数减法的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。
例1. 小明和小超是同班同学，在一次数学活动课上，玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张卡片上都写着一个数字，二人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于10，就加上这个数字；若抽到的卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。第一轮抽卡片完毕二人抽到的卡片数字如下；
小明：-4.5、11、5.5、10
小超：10.5、-4、5.2、9.8
若规定从0开始计算，结果小者为胜，那么谁获胜？
【答案】小明：0－（－4.5）+11－5.5－10=0
小超：0+10.5－（－4）—5.2—9.8=－0.5
所以小超获胜
例2. 一口水井，深10米，蜗牛从底部向上爬，白天怕3米，晚上下滑2米，问需要几天可以爬出井口？
【答案】设向上爬为正，向下滑为负
白天：+3，晚上：－2
所以一整天为：3+（－2）=1
经过7天后，蜗牛爬了7米
第8天白天：7+3=10，刚好爬出水井
因此，需要8天
题型4 运用作差法比较有理数的大小
性质：当a－b>0时，a>b；
当a－b=0时，a=b；
当a－b<0时，a解题技巧：有时，两个数之间不方便直接比较，我们可以利用作差法比较大小。（1）将需要比较的两个数作差；（2）化简；（3）判断作差结果的正负性。若为正数，则被减数大；若差为0，则两个数一样大；若差为负数，则减数大。
例1.已知M=，N=，比较M与N的大小。
【答案】M－N=（）=
所以M＞N
三、难点题型
题型1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合
解题技巧：该类题型是将有理数的多个知识点融合在一起进行考察。解此类题型，要明确题干考察的知识点，然后回顾对应知识点的性质和解题技巧，利用合适方法求解题目。
例1. 有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则下列式子正确的有：
①b+c>0；②a+b>a+c；③a+c<0；④a+b>0
【答案】因为，所以b+c＜0，①错误
因为b＞c，所以a+b>a+c，②正确
因为，所以a+c＞0，③错误
因为a＞0，b＞0，所以a+b＞0，④正确
例2. 若与互为相反数，求x+y的值。
【答案】因为与互为相反数
所以x+3=0且2y－4=0
解得：x=－3，y=2
x+y=－1
题型2 定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线后记作，定义。计算。
【答案】=（26－）+（）=26－－23
例2.定义一种运算，规定ab=。计算23。
【答案】
1.4有理数的乘除法
知识框架
一、基础知识点
知识点1 有理数的乘法法则
1）规律：①几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负，偶数个为正）
②任何数乘0，积为0
例1. 计算：①（-2）×3×4×（-1）
②1.2×（-1）×（-2.5）×（-）
③（-3）×（-1）×2×（-6）×0×（-7）
【答案】（1）原式=24
（2）原式==－3
（3）原式=0
知识点2 有理数乘法的运算律
1）正数乘法运算定律可推广到有理数中：
①交换律：a×b=b×a
②结合律：a×b×c=a×（b×c）
③分配率：a×（b+c）=a×b+a×c
注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换
2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号）
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。
如：12×（）
例1. 计算：
①
②
③1.25×（-4）×（-25）×（-8）
④
⑤
【答案】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式==－10×100=－1000
（4）原式==6－1－=4
（5）原式=25×（）=25
知识点3 倒数的概念
1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0无倒数。即a×b=1（a，b0）
注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数。
2）相反数：仅符号不同的两个数互为相反数，0的相反数为0.即a+b=0
例1. -1的倒数是 ，-3.2的倒数是 。
【答案】，倒数为－
－3.2，倒数为－
例2. 的倒数与4的相反数的商是多少？
【答案】，倒数为－
－
知识点4 有理数的除法法则
1）有理数除法法则；①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
②符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正
2）有理数乘除法运算步骤：①绝对值运算数值
②根据奇偶判断符号
例1.计算
①-2+（-2）
②（-0.4）0.02×（-5）
③
④
【答案】（1）原式=－2+（－）
=－2
（2）原式=－
=100
（3）原式=（）×（－24）
=×（－24）×（－24）+（－24）
=－6+12－4
=2
（4）原式=×（－）×
=－
知识点5 有理数四则混合运算
正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级之间从左往右依次计算。
例1.计算
①
②（-28+14）
③×6+3.95×6
【答案】（1）原式=（－）÷（）
=（－）÷（－）
=
（2）原式=（-28+14）×
=－28×14×
=－4+2
=－2
（3）原式=×18－×18+
=14－15+3+15
=17
知识点6 正负数的表示方法
有理数a、b
①
②
③
④
例1.下列说法中正确的是：
A.
A.若a+b>0，则ab>0
B.若a+b<0，则ab<0
C.若a+b>0，且ab<0，则a>0，b<0
D.若a+b<0，且ab>0，则a<0，b<0
【答案】此题考查正负数的表示方法
答案为：D
ab＞0，表示a、b同为正数或同为负数
在由a+b＜0可得，a与b都为负数
因此选D
例2. 3个有理数的积为零，可以确定：
A.3个数都为零
B.3个数中有一个为零，其余都不为零
C.3个数中有两个为零
D.3个数中至少有一个为零
【答案】0与任何数相乘，积都为0。因此，只要乘法算式中有一个值为0，则乘积必为0.所以选D
二、典型题型
题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用
性质：
解题技巧：=
首先判断绝对值内算式的正负，利用绝对值的性质去绝对值。若绝对值内为正，则直接去绝对值；若绝对值内为负，则去绝对值，并对整体添“﹣”号。当绝对值内为正时，则除以它本身结果为1；若绝对值内为负时，则除以它本身结果为﹣1.
例1.若三个有理数满足xyz>0，求式子的值
【答案】x，y，z为对称关系
情况一：设x＞0，y＞0，z＞0
原式=
=1+1+1
=3
情况二：设x＞0，y＜0，z＜0
原式=
=1－1－1
=－1
例2.已知ab<0，试求的值
【答案】因为a，b为对称关系，设a＞0，则b＜0
原式=
=1－1－1
=－1
三、难点题型
题型1 ±1赋值问题
解题技巧：对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。
用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.一只渡船往返于一条小河的左右两岸之间。若最初渡船是在左岸，它过河2019次之后，是停在左岸还是右岸？
【答案】用1表示左岸，则右岸为－1。每渡一次河，相当于×（－1）
1×=－1
所以船在右岸
例2.桌上放5个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子。问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上？
【答案】设杯口朝上为1，朝下为－1
原来为：1×1×（－1）×（－1）×（－1）=－1
每翻动一个杯子，相当于乘－1
则每次翻动4个杯子，相当于
所以，无论翻动多少次，5个杯子的乘积一定为－1
而杯口全部朝上，则5个杯子的乘积为1，不能实现
题型2 定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1.形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，请计算
【答案】=11
例2.规定a*b=a+b+ab
（1）求（－2）*3；（2）（1*2）*3；（3）1*（2*3）
【答案】（1）原式=（－2）+3+（－2）×3=－5
（2）原式=[1+2+1×2]*3=5*3=5+3+5×3=23
（3）原式=1*[2+3+2×3]=1*11=1+11+1×11=23
1.5有理数的乘方
知识框架
一、基础知识点
知识点1 乘方的意义
1）①n个相同因素a的乘积运算叫做乘方，即（n是正整数）。a--底数 n--指数 结果--幂
②通常a2读作a的平方，a3读作a的立方。
③0n=0（n），根据定义易理解
1n=1（n），根据定义易理解
a0=1（），规定，且规定00无意义
④当a>0时，（-a）n=
例1. 填空：（1）（-2）3的底数是 ，指数是 ，它表示 ；
（2）-23的底数是 ，指数是 ，它表示 。
（3）的底数是 ，指数是 ，它表示 ；
（4）的底数是 ，指数是 ，它表示 。
【答案】（1）底数是：－2，指数是：3，表示：3个－2相乘的积
（2）底数是：2，指数是：3，表示3个2相乘的积的相反数
（3）底数数：，指数是：3，表示3个相乘的积
（4）底数是：2，指数是：3，表示3个2相乘的积的
知识点2 乘方运算法则
1）乘方就是多个数相乘的运算，因此在运算法则中应排在加减前面；又因乘方是一个不可分割的乘法整体，故也应排在乘除前。
那么就是，先括号，后乘方，再乘除，最后加减。（有括号，永远是括号的等级最高）
例1. 计算：①（-4）3； ②-43； ③（-）3； ④-；
⑤（-1）2017； ⑥（）3； ⑦-23×（-3）2； ⑧（-0.2）3
【答案】（1）原式=－64
（2）原式=－64
（3）原式=－
（4）原式=－
（5）原式=－1
（6）原式=
（7）原式=－8×9=－72
（8）原式=－0.008
例2. 计算：①（-2）4
②
③
【答案】（1）原式=16÷+
=
=
（2）原式=
= （）
=－
（3）原式=+
=+－
=
=
知识点3 科学记数法的概念
1）把一个大于10的数表示成a×10n的形式，（其中：12）如何用科学记数法表示一个大数：
①取a，1②求n，n为正整数，即要使a扩大多少个10倍，也即小数点后还有几位数字。 如12300 n=4； 12000 n=4
3）将科学记数法的数还原为原来数
a×10n中，将a的小数点向右移动n位，不够的在右边添0。
例1.用科学记数法表下列各数：
①2000000；②-6300000；③-3978.5；
④89725.6；⑤-974255.8；⑥32万
【答案】2000000=2×
－6300000=6.3×
－3978.5=3.9785×
89625.6=8.96256×
－974255.8=9.742258×
32万=3.2×
例2.把下列科学记数法表示的数写成原数：
①1×104；②6.25×105；③-7.05×104
【答案】1×=10000
6.25×
－7.05×
知识点4 近似数与准确数
1）在许多情况下，我们难以取得准确的数或不必要使用精确数，这是我们就可以使用近似数。
2）近似数产生的原因：
①测量工具精度不够
②不易或不可得到精确数字，如：人口普查
③不必使用精确数字，如：有20亿元
④计算产生近似数，如：除不尽
知识点5 理解精确度
四舍五入法：按需要截取到指定数位时，如果省略部分的数小于5，就直接舍去；若大于等于5，则向前进一位。
几种表示方式：①精确到百分位；②保留2为小数；③保留3位有效数字
注：①取近似数时，要用约等于（≈）；②保留几位小数时，若第几位为0，也需要保留
例1.将59.997精确到个位约是（ ），精确到十分位约是（ ），精确到百分位约是（ ）。
【答案】精确到个位是：60
精确到十分位是：60.0
精确到百分位是：60.00
例2.将2.3955保留一位有效数字约是（ ），保留两位有效数字是（ ），保留四位有效数字是（ ）。
【答案】保留一位有效数字是：2
保留一位有效数字是：2.4
保留四位有效数字是：2.396
二、典型题型
题型1 有理数的混合运算
解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级运算：乘方运算。规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算从左到右依次进行。
（1）有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；（2）先乘方、再乘除、最后加减；（3）同级运算，按从左往右依次进行。
当然，在准守上述计算原则的前提下，也需要灵活使用运算律，以简化运算。
例1. 计算：①（-2）3+（-3）×[（-4）2-2]-（-3）2（-）；
②1-×[3×（-）2-（-1）4]+（-）3；
③；
④
⑤
【答案】（1）原式=－8+（－3）×（16－2）－9÷（－）
=－8－42+18
=－32
（2）原式=1－×（3×）+
= 1－
=－
（3）原式=
=×－2
=－9－14－2
=－25
（4）原式=25×（－）+49×（－）+（－74）×（－）
=（－）×（25+49－74）
=0
（5）原式=÷÷+1
=11
题型2 乘方的简便计算
性质：
解题技巧：利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
例1. 计算：（-0.125）2016×（8）2017
【答案】原式=
=1×8
=8
例2. 若，求2的值。
【答案】原式=2××
=2×5×5×5+1
=251
题型3 确定末位数字
解题技巧：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
例1. 试确定22010的末位数字
【答案】此题仅研究个位数，因此下面找规律的过程中，仅写出个位数的值
，，，，，…
可见，个位数为4个循环
2010÷4=502…2
因此，末未数为4
例2. 试确定72017-52017的个位数字
【答案】此题仅研究个位数，因此下面找规律的过程中，仅写出个位数的值
，，，，，…
可见，个位数为4个循环
2017÷4=504…1
因此，末未数为2
题型4 由近似数估算准确数的取值范围
解题技巧：此类题型为求近似数的逆过程，已知近似数，求原数的取值范围。原数的最大值为：近似数+精确度后一位数字为4+精确度后剩下数为9；原数的最小值为：（近似数精确度位数－1）+精确度后一位数字为5+精确度后剩下数为0.
例1.近似值是1.73的三位小数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。
【答案】最大值为：1.734
最小值为：1.725
例2. 由四舍五入法得到的近似数a2.1，b2.10，那么a的范围为： ，b的范围为 。
【答案】2.05≤a≤2.14
2.095≤b≤2.104
三、难点题型
题型1 乘方在实际问题中的应用
解题技巧：此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1.拉面师傅用一根苗条，把两头捏在一起拉伸，再次捏合，再拉伸，如此反复。
（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？
（2）捏合到第几次后可拉成128根面条？
【答案】每捏合一次，苗条根数变为原来2倍，即
（1）根
（2） 解得n=7
例2. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个。按此规律，5小时候细胞存活的个数是多少？
【答案】1小时后，有2×2－1=3个
2小时后，有2×3－1=5个
3小时后，有2×5－1=9个
4小时后，有2×9－1=17个
5小时后，有2×17－1=33个
题型2实际问题中的近似数
解题技巧：在实际问题中，除了“四舍五入”法求近似数外，还需要用到“去尾法”和“进一法”。
“去尾法”是把一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字无论为多少，全部舍去。
“进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1.
例1.要用50厘米的圆钢截成3厘米长的一段零件，最多可以截多少段？
【答案】50÷3≈16.67=16（段）
例2.某校546人，租用45座的客车秋游，应租多少辆车？
【答案】546÷45≈12.13=13（辆）
