专题03 一元一次方程专题详解
TOC \o "1-4" \h \z \u 专题03 一元一次方程专题详解 1
3.1从算式到方程 2
知识框架 2
一、基础知识点 2
知识点1 方程和一元一次方程的概念 2
知识点2 方程的解与解方程 2
知识点3 等式的性质 2
二、典型题型 4
题型1 依题意列方程 4
题型2 运用等式的性质解方程 4
三、难点题型 5
题型1 利用定义求待定字母的值 5
3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 6
知识框架 6
一、基础知识点 6
知识点1 合并同类项解一元一次方程 6
知识点2 移项解一元一次方程 6
二、典型题型 8
题型1 一元一次方程的简单应用 8
3.3解一元一次方程-去括号与去分母 9
知识框架 9
一、基础知识点 9
知识点1 去括号 9
知识点2 去分母 9
二、典型题型 11
题型1 去括号技巧 11
题型2 转化变形解方程 11
题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 11
三、难点题型 13
题型1 待定系数法 13
题型2 同解问题 13
题型3 含参数的一元一次方程 13
题型4 利用解的情况求参数的值 13
题型5 整体考虑 13
3.4实际问题与一元一次方程 15
一、基础知识点 15
知识点1 列方程解应用题的合理性 15
知识点2 建立书写模型常见的数量关系 15
知识点3 分析数量关系的常用方法 15
二、典型例题 17
3.1从算式到方程
知识框架
一、基础知识点
知识点1 方程和一元一次方程的概念
1） 方程：含有未知数的等式。 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1.
例：；；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0
例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？
①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+23；⑤x-=2；
⑥y=10；⑦3y2+2y=0；⑧3a<-5a；⑨3x2+2x-1=0；⑩
例2.指出下列方程中哪些是一元一次方程，并说明理由：
①5+4x=11；②2x+y=5；③x2-5x+6=0；
④=3；⑤
知识点2 方程的解与解方程
1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值
解方程：求方程的解的过程
例1. 下列方程的解是x=0的是：
A.2x+3=2x+1 B.3x2=5x C. D.
例2. 已知x=5是关于方程3x-2a=7的解，求a的值。
知识点3 等式的性质
1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）
2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。即：（此处字母可表示数字，也可表示式子）
例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5
5x5=-55 x=-1
3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
例1.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍然是等式，并说明理由。
①如果3x+8=26，那么3x=26- ，理由： ；
②如果-5x=25，那么x= ，理由： ；
③如果x-=y-0.75，那么x= ，理由： ；
④如果=7，那么x= ，理由： 。
例2. 已知等式x=y中一定能得到的等式是（ ）
A. B. C.x2=y2 D.2x=3y
二、典型题型
题型1 依题意列方程
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
例1.用方程的形式描述下列给出的条件。
（1）x的3倍与7的差等于24.
（2）某数的2倍比它的相反数小5.
（3）x的平方的2倍减去1等于x的3倍加1
（4） 某数与4的差的2倍比该数与1的和的一半大5.
例2. 8名学生去春游，共需要费用若干元。如果在增加2名学生，总费用不变，则每人可少摊3元。请问总费用是多少？
题型2 运用等式的性质解方程
解题技巧：①通过等式的性质，将方程转化成mx=n的形式；②x=
例1.用等式的性质求x，并检验：
三、难点题型
题型1 利用定义求待定字母的值
解题技巧：依据定义，x的次数为1，系数不为0
例1.若（m-2）是关于x的一元一次方程，求m的值。
例2.如果方程a=0是关于x的一元一次方程，求a、b的取值。
例3.已知（）是关于x的一元一次方程，求
3.2解一元一次方程-合并同类项和移项
知识框架
一、基础知识点
知识点1 合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程
方法：1）合并同类项；2）系数化为1
例1.解下列方程
1）x－7x+5x=2－6
2）2x+0.5x－4.5x=2－6
3）－4x+5x=2
4）－3x－7x=5
知识点2 移项解一元一次方程
（1）移项
例：2x-3=4x-7
利用等式的性质：2x-3+3=4x-7+3（左边的﹣3变到右边变成了+3）
2x=4x-4
2x-4x=4x-4-4x（右边的4x变到左边变成了－4x）
-2x=-4
x=
x=2
①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
例： 2x-3=4x-7
2x-4x=-7+3 移项
-2x=-4 合并同类项
x=2 未知数系数化为1
例1. 解下列方程：
①4a-7=6a+10； ②3x-5=1-2x；
③-x+1-x-1=0； ④-y=y+3；
⑤-0.4x+0.1=-0.5x+0.2； ⑥2x-
二、典型题型
题型1 一元一次方程的简单应用
解题技巧：解决实际问题时，需要用方程的知识。首先，先将实际问题转化为数学问题；然后求解方程；最后验证数学问题的解是否为实际问题的解。
例1.某乡由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了20%，并且今年人均收入比去年的1.5倍少1200元。这个乡去年农民人均收入是多少？
例2.一个三角形三边的比式3:3:5，它的周长是33cm，求三边的长。
3.3解一元一次方程-去括号与去分母
知识框架
一、基础知识点
知识点1 去括号
1）去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。例：KP94例2，例1
2）方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
3）顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
4）去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
例1.解方程4y-3（20-y）=6y-7（11-y）
例2.解方程30%（x-1）=20%（x+1）+0.2
知识点2 去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
例：
这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使解方程中的计算更简便些。
利用等式性质：等式两边同时乘一个数，结果仍相等。在这个方程中，乘分母的最小公倍数为42，方程两边同乘42，得：
42×（）=42×33
42×+42×
28x+21x+6x+42x=1386
97x=1386
x=
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，注意必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
例1.解方程：
①；②
二、典型题型
题型1 去括号技巧
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
例1.解方程
（1）x－
（2）
例2.解方程：
题型2 转化变形解方程
解题技巧：在解题过程中，我们往往不是对问题进行正面的、直接的解决，而是把问题进行恰当地变形转化，直到把它转化为某个熟悉的或已经解决的问题。这种解决问题的思想方法就是转化的思想方法。在解方程中，将复杂的方程转化为简单的方程的。
例1.解方程
（1）
（2）
（3）y－
（4）
题型3 解分子分母中含有小数系数的方程
解题技巧：此类题型，需要运用分数的基本性质，首先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数。然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
例1.解方程：
例2.解方程：
三、难点题型
题型1 待定系数法
解题技巧：两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。
例1.若等式，求A。
例2.若a，求：（1）a+b+c+d+e；（2）b+d
题型2 同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、
例1.若方程与关于x的方程x+的解相同，求a的值。
例2.已知方程2（x+1）=3（x—1）的解为x=a+2，求方程2[2（x+3）—3（x—a）]=3a的解。
题型3 含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax+b=0的解由a，b共同决定。
1）若a≠0，则方程有唯一解x=；
2）若a=0，且b=0，方程变为0x=0，则方程有无数；
3）若a=0，且b≠0，则方程变为0x=b，则方程无解
例1.解关于x的方程：。
例2.解关于x的方程：ax+b=。
题型4 利用解的情况求参数的值
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程
例1.关于x的方程8x-5+a=bx+12有唯一解，求a、b满足的条件。
例2.已知关于x的方程a（3x-1）=2x-3无解，求a的值。
题型5 整体考虑
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
例1.解方程：3（x+1）
例2.解方程：
3.4实际问题与一元一次方程
一、基础知识点
知识点1 列方程解应用题的合理性
列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要同一。
例1.一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/小时的速度行进，走了18分钟，学校要将一紧急通知传达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
知识点2 建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽）
正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价
速度×时间=路程
工作效率×时间=总工作量等。
例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？
知识点3 分析数量关系的常用方法
1）译式法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
例1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
二、典型例题
一元一次方程的应用，仅简单举例说明，具体题型见专题4（一元一次方程的应用专题突破）
例1.甲、乙两人骑自行车，同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度是17.5km/h，乙的速度是15km/h，经过几小时甲、乙两人相距32.5km？（2解）
例2.某校运动会在400m的环形跑道上进行10000m长跑比赛。甲、乙两运动员同时起跑后，乙速度超过甲速度。在第15分钟，甲加速，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙；在第23分钟，甲再次追上乙，且在第23分50秒时，甲到达终点。求乙跑完全程所用的时间？
专题03 一元一次方程专题详解
TOC \o "1-4" \h \z \u 专题03 一元一次方程专题详解 1
3.1从算式到方程 2
知识框架 2
一、基础知识点 2
知识点1 方程和一元一次方程的概念 2
知识点2 方程的解与解方程 3
知识点3 等式的性质 3
二、典型题型 5
题型1 依题意列方程 5
题型2 运用等式的性质解方程 5
三、难点题型 7
题型1 利用定义求待定字母的值 7
3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 8
知识框架 8
一、基础知识点 8
知识点1 合并同类项解一元一次方程 8
知识点2 移项解一元一次方程 8
二、典型题型 11
题型1 一元一次方程的简单应用 11
3.3解一元一次方程-去括号与去分母 12
知识框架 12
一、基础知识点 12
知识点1 去括号 12
知识点2 去分母 13
二、典型题型 14
题型1 去括号技巧 14
题型2 转化变形解方程 15
题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 17
三、难点题型 19
题型1 待定系数法 19
题型2 同解问题 19
题型3 含参数的一元一次方程 20
题型4 利用解的情况求参数的值 21
题型5 整体考虑 21
3.4实际问题与一元一次方程 23
一、基础知识点 23
知识点1 列方程解应用题的合理性 23
知识点2 建立书写模型常见的数量关系 23
知识点3 分析数量关系的常用方法 24
二、典型例题 26
3.1从算式到方程
知识框架
一、基础知识点
知识点1 方程和一元一次方程的概念
1） 方程：含有未知数的等式。 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1.
例：；；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0
例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？
①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+23；⑤x-=2；
⑥y=10；⑦3y2+2y=0；⑧3a<-5a；⑨3x2+2x-1=0；⑩
【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩
方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。同时满足则2个条件的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩
例2.指出下列方程中哪些是一元一次方程，并说明理由：
①5+4x=11；②2x+y=5；③x2-5x+6=0；
④=3；⑤
【答案】①是一元一次方程，因为是只含有1个未知数，且次数为1的整式方程。
②不是一元二次方程，因为未知数的有2个。
③不是一元二次方程，因为未知数次数为2.
④不是一元二次方程，因为不是整式方程
⑤是一元一次方程，因为是只含有1个未知数，且次数为1的整式方程。
知识点2 方程的解与解方程
1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值
解方程：求方程的解的过程
例1. 下列方程的解是x=0的是：
A.2x+3=2x+1 B.3x2=5x C. D.
【答案】方程的解是使方程两边相等的未知数的值，将x=0代入4个选项中，判断看那个选项的方程两边相等。
A选项中，将x=0代入得：0+3=0+1，不成立，A错误；
B选线中，将x=0代入得：0=0，成立，B正确；
C选项中，将x=0代入得：0+4=0，不成立，C错误；
D选项中，将x=0代入得：0+1=0，不成立，D错误。
例2. 已知x=5是关于方程3x-2a=7的解，求a的值。
【答案】因为x=5时方程的解
所以将x=5代入方程，方程两边依旧成立，即：
3×5－2a=7
15－2a=7
利用知识点3（等式的性质），可解得：
a=4
知识点3 等式的性质
1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）
2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。即：（此处字母可表示数字，也可表示式子）
例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5
5x5=-55 x=-1
3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
例1.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍然是等式，并说明理由。
①如果3x+8=26，那么3x=26- ，理由： ；
②如果-5x=25，那么x= ，理由： ；
③如果x-=y-0.75，那么x= ，理由： ；
④如果=7，那么x= ，理由： 。
【答案】 ①如果3x+8=26，那么3x=26－ 8 ，理由：等式两边同时减去8，等式仍成立
②如果-5x=25，那么x= ，理由：等式两边同时除（－5），等式仍然成立；
③如果x－=y－0.75，那么x= y－0.75+，理由：等式两边同时加上，等式仍成立；
④如果=7，那么x= 7×4 ，理由：等式两边同时乘4，等式仍成立。
例2. 已知等式x=y中一定能得到的等式是（ ）
A. B. C.x2=y2 D.2x=3y
【答案】A错误，t不能等于0；
B错误，t+7不能等于0；
C正确，等式两边同时加减同一个数，等式不变；
D错误，等式两边乘的数不同
二、典型题型
题型1 依题意列方程
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
例1.用方程的形式描述下列给出的条件。
（1）x的3倍与7的差等于24.
（2）某数的2倍比它的相反数小5.
（3）x的平方的2倍减去1等于x的3倍加1
（4） 某数与4的差的2倍比该数与1的和的一半大5.
【答案】（1）3x-7=24；
（2）-x-2x=5
（3）
（4）2（x-4）-5=
例2. 8名学生去春游，共需要费用若干元。如果在增加2名学生，总费用不变，则每人可少摊3元。请问总费用是多少？
【答案】设总费用为x元。
依据题意，等量关系为：8人平摊的费用=10人平摊的费用+3
解得：x=120
答：总费用为120元。
题型2 运用等式的性质解方程
解题技巧：①通过等式的性质，将方程转化成mx=n的形式；②x=
例1.用等式的性质求x，并检验：
【答案】
等式两边同时减去x
等式两边同时加2
x=5÷（） 等式两边同时除
x=
验算：将x=代入得：
=
因为等式两边相等，所以x=是方程的解。
三、难点题型
题型1 利用定义求待定字母的值
解题技巧：依据定义，x的次数为1，系数不为0
例1.若（m-2）是关于x的一元一次方程，求m的值。
【答案】因为方程是一元一次方程
所以
解得：
综上得：m=－2
例2.如果方程a=0是关于x的一元一次方程，求a、b的取值。
【答案】此题需要分2种情况讨论
情况一：当a=0时，方程变为：－x+3=0，是一元一次方程，成立
因此，当a=0，b为任意值时，方程是一元一次方程
情况二：当a≠0是，方程变为：a=0
要想方程是一元一次方程，则方程的次数必须为1，即b+1=1
解得：b=0
方程变为：ax－x+3=0，化简为：（a－1）x+3=0
所以a－1≠0
解得：a≠1
综上得：a＝0，b为任意值；或a≠0且a≠1，b=0时，方程是一元一次方程。
例3.已知（）是关于x的一元一次方程，求
【答案】方程是关于x的一元一次方程
所以y的系数必须为0，x的次数为1，且系数不为0
即：
解得：a=－4，b=4
3.2解一元一次方程-合并同类项和移项
知识框架
一、基础知识点
知识点1 合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程
方法：1）合并同类项；2）系数化为1
例1.解下列方程
1）x－7x+5x=2－6
2）2x+0.5x－4.5x=2－6
3）－4x+5x=2
4）－3x－7x=5
【答案】1）x－7x+5x=2－6
（1－7+5）x=－4 合并同类项
－x=－4
x=4 等式两边同时除（－1）
2）2x+0.5x－4.5x=2－6
（2+0.5－4.5）x=－4 合并同类项
－2x=－4
x=2 等式两边同时除（－2）
3）－4x+5x=2
（－4+5）x=2 合并同类项
x=2
4）－3x－7x=5
（－3－7）x=5 合并同类项
－10x=5
x=－ 等式两边同时除（－10）
知识点2 移项解一元一次方程
（1）移项
例：2x-3=4x-7
利用等式的性质：2x-3+3=4x-7+3（左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4 2x-4x=4x-4-4x（右边的4x变到左边变成了－4x） -2x=-4
x= x=2
①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
例： 2x-3=4x-7
2x-4x=-7+3 移项
-2x=-4 合并同类项
X=2 未知数系数化为1
例1. 解下列方程：
①4a-7=6a+10； ②3x-5=1-2x；
③-x+1-x-1=0； ④-y=y+3；
⑤-0.4x+0.1=-0.5x+0.2； ⑥2x-
【答案】①4a-7=6a+10
-2a=17 移项并合并同类项
a=
②3x-5=1-2x
5x=6
x=
③-x+1-x-1=0
-2x=0
x=0
④-y=y+3
y=3
y=
⑤-0.4x+0.1=-0.5x+0.2
0.1x=0.1
x=1
⑥2x-
x=
二、典型题型
题型1 一元一次方程的简单应用
解题技巧：解决实际问题时，需要用方程的知识。首先，先将实际问题转化为数学问题；然后求解方程；最后验证数学问题的解是否为实际问题的解。
例1.某乡由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了20%，并且今年人均收入比去年的1.5倍少1200元。这个乡去年农民人均收入是多少？
【答案】设去年农名的人均收入是x元
依据题意，等量关系式为：今年的收入=去年的收入×1.5－1200
（1+20%）x=1.5x－1200
求得：x=4000
答：去年的收入为4000元。
例2.一个三角形三边的比式3:3:5，它的周长是33cm，求三边的长。
【答案】设三角形三边长分别为3x、3x、5x
依据题意，等量关系式为：三边和=周长
3x+3x+5x=33
解得：x=3
所以，三边长分别为：9 cm、9 cm、15 cm
答：三角形三边长分别为9cm，9cm，15cm
3.3解一元一次方程-去括号与去分母
知识框架
一、基础知识点
知识点1 去括号
1）去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。例：KP94例2，例1
2）方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
3）顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
4）去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
例1.解方程4y-3（20-y）=6y-7（11-y）
【答案】4y-60+3y=6y-77+7y
-60+77=13y-7y
6y=17
y=
例2.解方程30%（x-1）=20%（x+1）+0.2
【答案】30%（x-1）=20%（x+1）+0.2
30(x-1)=20(x+1)+20
30x-30=20x+20+20
10x=70
x=7
知识点2 去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
例：
这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使解方程中的计算更简便些。
利用等式性质：等式两边同时乘一个数，结果仍相等。在这个方程中，乘分母的最小公倍数为42，方程两边同乘42，得：
42×（）=42×33
42×+42×
28x+21x+6x+42x=1386
97x=1386
X=
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，注意必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
例1.解方程：
①；②
【答案】①分母为2和3，最小公倍数为6
方程两边同乘6得：
3x－2（x+2）=6
3x－2x－4=6
x=6+4
x=10
②分母为3和6，最小公倍数为6
方程两边同时乘6得：
2（2x－1）－（3x+1）=6
4x－2－3x－1=6
x=6+2+1
x=9
二、典型题型
题型1 去括号技巧
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
例1.解方程
（1）x－
（2）
【答案】（1）先去中括号，因为可以和及2先约分。
x－
x－[（）－3]=－2
x－
－
x=8
（2）因为等式左右两边都有（x－1），将（x－1）整体上把握
=
=
（x－1）=
x=
例2.解方程：
【答案】先去大括号，在去中括号，最后去小括号
x=
题型2 转化变形解方程
解题技巧：在解题过程中，我们往往不是对问题进行正面的、直接的解决，而是把问题进行恰当地变形转化，直到把它转化为某个熟悉的或已经解决的问题。这种解决问题的思想方法就是转化的思想方法。在解方程中，将复杂的方程转化为简单的方程的。
例1.解方程
（1）
（2）
（3）y－
（4）
【答案】（1）
y=-1
（2）
所以x－1=0
x=1
（3）y－
y－
y+
所以y=0
（4）
=
=
=
=
所以10=
x=1
题型3 解分子分母中含有小数系数的方程
解题技巧：此类题型，需要运用分数的基本性质，首先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数。然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
例1.解方程：
【答案】
4（）－12x=9（x+4）－131
200x+800－12x=9x+36－131
179x=－895
x=－5
例2.解方程：
【答案】
3（3x+5）=2（2x－1）
9x+15=4x－2
5x=－17
x=
三、难点题型
题型1 待定系数法
解题技巧：两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。
例1.若等式，求A。
【答案】设A=ax+b
则（ax+b）（x－3）=a
所以a
所以a=1，b－3a=－1，－3b=－6
解得：a=1，b=
所以A=x+2
例2.若a，求：（1）a+b+c+d+e；（2）b+d
【答案】（1）令x=1，则a+b=
化简得：a+b+c+d+e=16
（2）令x=－1，则a+b=
化简得：a－b+c－d+e=256
则：（a+b+c+d+e）－（a－b+c－d+e）=16－256
化简得：2（b+d）=－240
b+d=－120
题型2 同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、
例1.若方程与关于x的方程x+的解相同，求a的值。
【答案】先解方程
2（1－2x）+4（x+1）=12－3（2x+1）
2－4x+4x+4=12－6x－3
解得：x=
因为两个方程的解相同
所以x=也是x+的解
代入得：
化简得：3+6－2a=a－9
解得：a=6
例2.已知方程2（x+1）=3（x—1）的解为x=a+2，求方程2[2（x+3）—3（x—a）]=3a的解。
【答案】将x=a+2代入方程2（x+1）=3（x—1）得：
2（a+3）=3（a－1）
解得：a=3
将a=3代入方程2[2（x+3）—3（x—a）]=3a得：
2[2（x+3）—3（x—3）]=9
化简得：4（x+3）－6（x－3）=9
解得：x=
题型3 含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax+b=0的解由a，b共同决定。
1）若a≠0，则方程有唯一解x=；2）若a=0，且b=0，方程变为0x=0，则方程有无数；
3）若a=0，且b≠0，则方程变为0x=b，则方程无解
例1.解关于x的方程：。
【答案】化简得：（6a+2）x=
根据方程解的特点，有3种情况
情况一：当6a+2≠0时，x=
情况二：当6a+2=0，且9是，方程有无数解
情况三：当6a+2=0，且9是，方程无解
例2.解关于x的方程：ax+b=。
【答案】化简得：（a－1）x=－b+
根据方程解的特点，有3种情况
情况一：当a－1≠0时，即a≠1时，x=
情况二：当a－1=0，且－b+时，即时，方程有无数解
情况三：当a－1=0，且－b+时，即时，方程无解
题型4 利用解的情况求参数的值
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程
例1.关于x的方程8x-5+a=bx+12有唯一解，求a、b满足的条件。
【答案】化简得：（8－b）x+（a－17）=0
因为方程有唯一解，则8－b≠0，a－17可为任意值
解得：a为任意值，b≠8
例2.已知关于x的方程a（3x-1）=2x-3无解，求a的值。
【答案】化简得：（3a－2）x+（3－a）=0
因为方程无解
所以3a－2=0，且3－a≠0
解得：a=
题型5 整体考虑
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
例1.解方程：3（x+1）
【答案】3（x+1）+=2（x－1）+
3（x+1）=2（x－1）
x=－5
例2.解方程：
【答案】
（）（x+2）=0
x=－2
3.4实际问题与一元一次方程
一、基础知识点
知识点1 列方程解应用题的合理性
列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要同一。
例1.一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/小时的速度行进，走了18分钟，学校要将一紧急通知传达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
【答案】设经过x小时可以追上学生队伍
18分=0.3h
依据题意，等量关系式为：学生走的路程=通讯员走的路程
方程为：5（0.3+x）=14x
解得：x=
=10min
答：需要10分钟追上队伍。
本题中，时间单位不统一，需要先换算成相同的时间单位，在进行计算。
知识点2 建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽）
正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价
速度×时间=路程
工作效率×时间=总工作量等。
例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？
【答案】设x分钟能够追上救生圈，船静水的速度为v1，水流速度为v2
依据题意，等量关系式为：救生圈走的路程=船走的路程
v2（5+x）=x
解得：x=5
答：需要5分钟追上救生圈。
常见的几种等量关系公式，我们需要熟练掌握
知识点3 分析数量关系的常用方法
1）译式法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
例1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。
【答案】设原十位数字为x，则百位数字为x+1，个位数字为3x－2
依据题意，等量关系式为：原来三位数+变换后的三位数=1171
100（x+1）+10x+（3x－2）+100（3x－2）+10x+（x+1）=1171
解得：x=3
故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为3×3－2=7
三位数为：437
译式法时最常见的列写等式方程的方法之一
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
【答案】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系
售价（元） 数量（支） 售出总价（元）
按标价出售 6 100－x 6（100－x）
打折出售 6×90% x 6×90%x
设有x支钢笔打9折，则不打折的钢笔为（100－x）支
依据题意，等量关系式为：售出的费用－进货费用=利润
6（100－x）+690%－100=188
解得：x=20
答：有20支钢笔打折出售。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
【答案】在行程问题当中，我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系
设甲出发x秒后与乙相遇
依据题意，等量关系为：甲走的距离+乙走的距离=285
8x+6（x－）=285
解得：x=21
答：甲出发21秒后与乙相遇
二、典型例题
一元一次方程的应用，仅简单举例说明，具体题型见专题4（一元一次方程的应用专题突破）
例1.甲、乙两人骑自行车，同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度是17.5km/h，乙的速度是15km/h，经过几小时甲、乙两人相距32.5km？（2解）
答案：（1）甲乙两人还未相遇，之间的距离为32.5km，设需要x小时
（17.5+15）x=65-32.5
解得x=1
（2）两人相遇后，继续骑行，之间的距离再次为32.5km，设需要y小时。
（17.5+15）y=65+32.5
解得y=3
所以综上得，经过1h和3h，甲、乙两人相距32.5km
例2.某校运动会在400m的环形跑道上进行10000m长跑比赛。甲、乙两运动员同时起跑后，乙速度超过甲速度。在第15分钟，甲加速，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙；在第23分钟，甲再次追上乙，且在第23分50秒时，甲到达终点。求乙跑完全程所用的时间？
答案：设乙的速度为xm/min，甲一开始的速度为ym/min，后来的速度为zm/min。
15（x-y）=（18-15）（z-x）
（23-18）（z-x）=400
15y+（23）z=10000
解得：
则乙所用的时间为=25（min）
