课件23张PPT。24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系沪科版 九年级下圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.情境导入1.如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的圆O和圆O’，把两张纸叠在一起，使圆O与圆O’重合，用图钉钉住圆心，将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？探究新知讲解两个圆能够重合?新知讲解?AB=A’B’OM=OM’如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．·OABA′B′因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． 弦心距OM与OM’也重合弧AB=弧A′B′， AB=A’B’ OM=OM’新知讲解 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.∵ ∠AOB=∠A1OB1∟∟DD1∵OD⊥AB ,OD1⊥A1B1∴OD=OD1新知讲解思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？新知讲解 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。简记为：圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等新知讲解推论αABA′B ′α(1) 圆心角(2) 弧(3) 弦(4) 弦心距等对等定理整体理解：知一得三把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1o.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1o的弧. 这样,1o的圆心角对着1o的弧,
1o的弧对着1o的圆心角.
n o的圆心角对着no的弧,
n o的弧对着no的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。∵AB=BC=AC∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°?例题解析证明： 连接OA,OB,OC.例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。
求证：CD=EF证明：过点O作OK⊥CD、OK’⊥EF，垂足分别为K，K’
∵OK=OK’(角平分线性质)
∴CD=EFK’K新知讲解?解：连接OE?∴∠COE=40°∵OC=OE?∵CE//AB∴∠AOD=∠C=70°∴∠BOD=180°-70°=110°D60 °当堂练习A课堂练习4. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果弧AB=弧CD，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE OFAB=CDAB=CD弧AB=弧CD 弧AB=弧CD∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD=课堂练习5. 如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE， ∠COD=35°，求∠AOE的度数．解：∵弧BC=弧CD=弧DE，∴ ∠ BOC= ∠COD= ∠ DOE=35°.课堂练习?拓展提升?中考链接D40圆心角弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或等圆中概念：顶点在圆心的角应用提醒①要注意前提条件；
②要灵活转化.课堂总结板书设计圆心角顶点在圆心的角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.定理同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。推论作业布置谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系导学案
课题
圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、了解圆心角的概念、并能在图形中准确找出圆心角。?
2、掌握弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关证明题和计算题。
重点难点
重点：探究弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系
难点：利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系..
教学过程
知识链接
圆是中心对称图形吗？
合作探究
一、教材第18页
探究
1.如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的圆O和圆O’，把两张纸叠在一起，使圆O与圆O’重合，用图钉钉住圆心，将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
2、如图，顶点在圆心的角(∠AOB，∠A’OB’)叫做圆心角。当∠AOB=∠A’OB’时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆心角所对的AB与A'B'、弦AB与弦A’B’，弦心距OM与弦心距OM’之间有怎样的关系？
二、教材第19页
定理： 。
思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
推论： 。
简记为： 。
三、教材第19页
把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1o.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做 的弧.
这样,1o的圆心角对着 的弧,
1o的弧对着 的圆心角.
n o的圆心角对着 的弧,
n o的弧对着 的圆心角.
性质： 。
四、教材第19页
例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。
求证：CD=EF
五、教材第20页
例6、如图，AB、CD为圆O的两条直径，CE为圆O的弦，且CE//AB，CE为40°，求∠BOD的度数.
自主尝试
1．下面图形中的角是圆心角的是( )
A B C D
2．已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝ .
3．下列说法正确的是()
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等
D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【方法宝典】
利用圆心角定义以及定理进行解题
当堂检测
1．如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
3．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为( )
A．100° B．110°
C．120° D．135°
5．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
旋转的定义以及性质
参考答案：
当堂检测：
1．A．
2．A．
3．D．
4．C．
5．BE＝CE.理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
∵＝，∴＝.
∴BE＝CE.
沪科版数学九年级下24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学设计
课题
垂径定理
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1、了解圆心角的概念、并能在图形中准确找出圆心角。?
2、掌握弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关证明题和计算题。
过程与方法目标
学生经历操作、探究、归纳、总结弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生运用数学语言表示问题的能力，以及观察、比较、概括的逻辑思维能力．
情感态度与价值观目标
通过经历一系列的探究活动，培养学生的严谨的科学态度和探索精神，经历数学知识融于生活实际的学习过程，体验数学学习的乐趣.
重点
探究弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系。.
难点
利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：
师：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
生：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：
1.如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的圆O和圆O’，把两张纸叠在一起，使圆O与圆O’重合，用图钉钉住圆心，将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
生：两个圆能够重合
师：如图，顶点在圆心的角(∠AOB，∠A’OB’)叫做圆心角。当∠AOB=∠A’OB’时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆心角所对的AB与A'B'、弦AB与弦A’B’，弦心距OM与弦心距OM’之间有怎样的关系？
生：AB=A'B'
生：AB=A’B’
生：OM=OM’
师：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
生：根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． 弦心距OM与OM’也重合，弧AB=弧A′B′， AB=A’B’，OM=OM
师：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
师：思考
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
生：同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
师：等对等定理整体理解：
师： 把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1o.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1o的弧.
生：这样,1o的圆心角对着1o的弧,
1o的弧对着1o的圆心角.
n o的圆心角对着no的弧,
n o的弧对着no的圆心角.
师：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
课件展示：
例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。
课件展示：
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。
求证：CD=EF
例6、如图，AB、CD为圆O的两条直径，CE为圆O的弦，且CE//AB，CE为40°，求∠BOD的度数.
学生在纸上画圆，然后折叠，然后交流发现的问题.
学生猜测出两个圆心角所对的AB与A'B'、弦AB与弦A’B’，弦心距OM与弦心距OM’之间的关系
.
学生在老师的指导下，验证刚才的猜测，并总结定理和推论
师生共同分析圆心角所对的弧的度数
师生共同归纳性质
学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
通过观察，使学生形象、直观地理解圆的中心对称性.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
培养学生观察能力和探究问题的能力、动手能力，以及与他人合作交流的能力，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想，同时也突出了重点，突破难点.
通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
答案：D
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 答案:60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）
A.AB=CD B.AB>CD C.AB<CD D.不能确定
答案：A
4. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果弧AB=弧CD，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE OF
答案： (1)弧AB=弧CD， ∠AOB=∠COD
(2) AB=CD，∠AOB=∠COD
(3)弧AB=弧CD, AB=CD
(4)=
5. 如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE， ∠COD=35°，求∠AOE的度数．
答案：
解：∵弧BC=弧CD=弧DE，
∴ ∠ BOC= ∠COD= ∠ DOE=35°.
∴ ∠ AOE= 180°-3×35°=75°
拓展提升
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2 AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
答案：
解： CD?=2 AB成立，CD=2AB不成立.不是，取CD的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以AB=CE=DE. CD=2 AB?，弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
中考链接
1.【哈尔滨中考】半径为6的圆中，圆心角α 的余弦值为12 ，则角α所对的弦长等于 ( )
A、42? B、10? C、8? D、6
答案：D
2.【广安中考】如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于 度
答案：40
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
圆心角
顶点在圆心的角
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等
推论：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
