高中数学人教A版选修2-2课件：1．1．1-1．1．2变化率与导数（共25张ppt）

(共25张PPT)
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第一章 导数及其应用
授课老师:方芳
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念。随着深化，产生了微积分。
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。
微积分与处理四类科学问题
一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；
二、求曲线的切线；
三、求函数的最大值与最小值；
四、求长度、面积、体积和重心等.

问题1 气球膨胀率

吹气球时，我们发现：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，你能从数学的角度解答这现象吗？

1.1.1变化率问题
解：
气球膨胀率:
当空气容量v从0增加1L时,半径增加了
随着气球体积逐渐变大,
平均膨胀率逐渐变小.
当空气容量从v 增加到v 时,气球的平均膨胀率是多少呢?
问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么
探究: (1)运动员在这段时间里的静止 的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有 什么 问题吗?
如果上述的函数关系用y= 表示,那么函数从
平均变化率
平均变化率:
平均变化率
一般地:
增量
解题步骤:
1.求
2.求
3.求
平均变化率的几何意义

观察y=f(x)的图象平均变化率 表示什么?
o
x
y
Q
P
割线PQ的斜率
1.在平均变化率的定义中, 都不可能为0. ( )
随堂练
2.已知函数 ,当自变量 时, ( )
A. B.
C. D.
3.如果质点M按规律 运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ( )
A. 4 B. 4.1 C. 0.41 D. 3
X
D
B
4.当自变量从 时 ,函数值的增量与相应自变量的的增量之比是函数 ( )
随堂练
A.在区间 上的平均变化率

B. 在 处的平均变化率

C.在 处的平均变化率

D.等于



A
随堂练
5.已知函数 的图象上一点(1,1)及其邻近一点 ,则 求
[变式训练].求函数 从1到 的平均变化率.
问题4 瞬时速度


在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速度是不同,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,运动员的平均速度不一定能反映其在某一时刻的瞬时速度,那么如何求瞬时速度呢?
1.1.2导数的概念
通过考察(课本P4)运动员在t=2附近,任意取一时刻
( ),其区间[ ,2],[2 , ]内的平均速度
我们发现, 时,平均速度在t=2附近都趋近于一个确定的值-13.1,为了方便表达,我们用
表示”当t=2, 趋近于0时,平均速度 趋近于确定值-13.1 “,定值-13.1,是 当趋于0时的极限 .

也即函数 处的导数,记作
一般地,函数 处的瞬时变化率:
例1 将原油精炼为汽h油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第xh时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

分析: 在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率就是


解:根据导数的定义,


所以
同理
意义:在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别是-3和5,说明在第2h附近,原油的温度大约以3 的速率下降;在第6h附近,原油的温度大约以5 的速率上升.


求瞬时速度的三个步骤:
(1)求位移增量

(2)求平均速度

(3)取极限

即时训练1:某物体自由落体的运动按规律:

求物体在t=3s这一时刻的瞬时速度.

加强训练2:若某星球运动方程:

求此星球在t=2和t=4时的瞬时速度

综合训练3:一汽车的运动方程:

(1)求汽车在t=0到t=2这一时间段的平均速度;
(2)求在t=3s的瞬时速度


变式训练4:某运动质点按规律 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s) ,质点在t=2s时的瞬时速率是
16 ,求 a的值.

函数用y= :
小结:
平均变化率:
解题步骤:
1.求
2.求
3.求
平均变化率
函数 处的瞬时变化率(导数) 记作:
瞬时变化率
求瞬时速度的三个步骤:
(1)求位移增量

(2)求平均速度

(3)取极限

课后作业:1.讨论完成课本p6的”练习”
2.请你给最好的学习伙伴出一道类似问题或者变式问 题并解答,分享到班上.

同学们真棒!加油
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