人教版八年级数学上册14.3.1提公因式法分解因式课件 (共39张PPT)

(共39张PPT)
14.3.1 提公因式法
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
人教版·八年级上册
教学目标：
1、了解因式分解的意义，公因式的概念．会用提公因式法进行因式分解。
2、在探索提公因式法分解因式的过程，体会因式分解与整式乘法的关系，
学会逆向思维，渗透化归的思想方法。
教学重点：会用提公因式法分解因式。
教学难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式 。

1、计算：
（1）x（x+1）= .
（2）（x+1）（x-1）= .
（3）m（a+b+c）= .

一、复习引入
以上三道题是整式的乘法，是把“积”的形式转化为 的形式，属于恒等变形。
am+bm+cm
和
(x2+x)
(x2-1)

阅读课文p114-115页内容,完成下列问题.

都是多项式化为几个整式的积的形式

比一比，这些式子有什么共同点？
二、探究新知
1. 由复习引入中的3个小题，填空.
（1） =_________
（2） =_________
（3）am+bm+cm =__________
(x+1)(x-1)
x(x+1)
m(a+b+c)
归纳：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的 因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.

整式乘法

因式分解
多项式
整式的乘积
整式的乘法和因式分解是互逆变形
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法


形成概念
2．观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点.
（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m,叫公因式。
公因式：如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，
是整式乘法
每个因式必须是整式
pa+pb+pc

用提公因式法分解因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.






相同因式p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x3




相同因式x2
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3


字母：相同的字母
x




所以公因式是3x
指数：相同字母的最低次数


1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
正确找出多项式的公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.



如pa＋pb＋pc中，p是这个多项式的公因式。
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)． = x（x+1）.
提公因式法分解因式的步骤:
1、找公因式
2、把多项式的各项写成公因式与其它因式的乘积；
3、把公因式提前，写好剩余项。

三、讲解例题
例1：把 分解因式．
解：
(写成公因式与其它因式的乘积)
(公因式提在前)
例2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式。
用整式乘法检验
因式分解与整式乘法是互逆变形
解：原式=(b+c)(2a-3)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式(如例1)，
也可以是一个多项式的形式（如例2）.

四、当堂训练
1．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①(a+b)(a-b)=a2-b2 ②x2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=
(x2+2x
) ④a2-2ab+b2=(a-b)2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A

2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ） A.m(a+b)=ma+mb B. x2+3x-4=x(x+3)-4 C. x2-25=(x+5)(x-5) D. (x+1)(x+2)=x2+3x+2
四、当堂训练
c

四、当堂训练
3.多项式（m+1）(m-1)+（m-1）提取公因式（m-1）后，另一个因式为（ ）[来源: *科*网 A.m+1 B.2m C.2 D.m+2

4.计算 20172-2017×2016+1= .[.来源 5. 已知a+b=9 ab=7 则a?b+ab?= .
D
2018
63

四、当堂训练
(1) ax+ay； (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn； (4) 12xyz-x2y2

6．把下列各式分解因式：
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2 )
注意：全家搬走留1把家守(如第3小题)！
解：（1）原式=a(x+y)
(2)原式=3m（x-y）
(3)原式=2mn（4m+1）
(4)原式=xy（12z-xy）
(5)原式=2a(y-z)+3b(y-z)
=(y-z)(2a+3b)
(6)原式=(a2+b2)(p-q)
例3、把下列各式分解因式：
（1）2a(b-c)-3(c-b)
（2）2a(b-c)2-3(c-b)3
解：原式=
(b-c)
2a ? +3
= (b-c)
(2a+3)
?(b-c)
整体思想

问题探究2
因式分解：
(1)-3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
四、课堂练习

3、提取公因式法分解因式
技巧：
1、因式分解（分解因式）的定义；
2、公因式的定义；
.
这节课你学到了什么？
五、课堂小结
4、提取公因式法分解因式应注意：
（1）.分解因式是一种恒等变形；（2）.公因式,要提尽；
（3）.不要漏项； （4）.提负号，要注意变号.

六、布置作业
课本P119；复习巩固第1题。

把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).

错误

公因式没有提尽，还可以提出公因式2
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
把3x2 - 6xy+x分解因式.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
小亮的解法有误吗？



提出负号时括号里的项没变号
错误
把 - x2+xy-xz分解因式.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
小华的解法有误吗？
C
我会了！
下列是因式分解的是（ ）

巩固练习1

把4x2+8x分解因式
解：原式 =2x(2x +4)

错误
注意：公因式要提尽---括号里面分到“底”。

诊断
正确解：原式=4x(x+2)
判断是否正确


巩固练习2

多项式-4a2+16a分解因式结果是 。
-4a(a-4)
注意：首项有负常提负。

厉害了！

巩固练习3
因式分解下列多项式
解：原式=
太厉害了！

巩固训练4

巩固练习5
你同意这样的结果吗？
解：原式=
=
注意：相同因式写出幂的形式。

例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
课外检测
C
D
4.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
(y-x)(2y-x)
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________.
3a(x－y)2
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2)20132+2013-20142;
(3)(-2)101+(-2)100.
(2) 原式=2013(2013+1)-20142
=2013×2014-20142=2014×(2013-2014)
=-2014．
解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).
7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=0.5 .
将x= 0.5 代入上式，得
原式=4.
8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
拓展提升
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝－0.5(舍去)，
再见！