江西省赣州市宁师中学2019-2020学年高一12月月考数学试卷

江西省赣州市宁师中学2019-2020学年高一12月月考
数学试卷
一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则=（ ）
A． B．
C． D．
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.已知幂函数的图象经过点，求（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
6．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的一个周期为?2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
9.已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c10．已知，，，这三个数的大小关系（ ）
A. B. C. D.
11．若在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)
A.2 B. C. D.
填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.设集合，，若，则的取值范围是________．
14.已知锐角终边上一点，则的弧度数为________.
15．已知则为________.
16．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：
① 映射的值域是；
② 映射不是一个函数；
③ 映射是函数，且是偶函数；
④ 映射是函数，且单增区间为，
其中正确说法的序号是___________.
说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是第三象限角，且。
（1）化简；
（2）若=，求的值。
18．计算求值
(1)
(2)已知,求和的值.
19．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)＝.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
21．已知函数（）．
（1）若，函数的最大值为，最小值为，求的值；
（2）当时，函数的最大值为，求的值．
22．设是实数，，
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）试用定义证明：对于任意，在上为单调递增函数；
（3）若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
数学试卷答案
选择题：BDBCC CADAA AB
二．填空题：13．k≥2 14． 15．0 16．③
12.解析：
作出函数的图象如图,
函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标满足，
则，，,
可得,
由，得，
则，可得，
即，，故选B.
解析：
运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．
三：解答题
17．解：（1）........................5分
（2）由已知： ..........8分
...........................................................................................9分
故 ...................................................................................10分
解：(1)原式==
.......................................................................6分
(2) .............................8分
∵ .............................10分
∴由得........................12分
19．解：(1)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝，...........2分
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，.......................................................4分
∴当x<0时， ...................... 6分
(2)由(1)知， .............7分
作出f(x)的图象如图所示： ..................................10分
由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，0]，
递增区间是[0，＋∞)...............................................12分
21．解：（1）由题意得当时，；.................................1分
当时，设，
由已知得，解得，所以，.............4分
故函数 ......................................................6分
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意并由（1）可得.............................................................8分
当时，为增函数，故；...... 9分
当时，，
，.......................................................................11分
所以当时，的最大值为12.5 ................................. 12分
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
解：（1）由题意，所以时，最大，时，最小.
.......................................................................................2分
可得，∴；..............................................4分
（2）∴g（x）＝f（x）﹣sin2x
＝2+asinx﹣sin2x（5分）
2﹣（sinx-）2，...........................................................6分
令t＝sinx，
g（t）2﹣（t）2，∵t∈[，1]，........................8分
分类讨论：
若，即a<-2，
gmax＝g（）＝2，故a；（舍去）；............9分
若1即﹣2≤a≤2，
gmax＝g（）2＝2，得a＝0；....................................10分
若1，即a>2，
gmax＝g（1）2+a-1＝2，得a＝1（舍去）.............................11分
∴综上可得：a＝0．....................................................................12分
22．解：（1）∵，且
∴（注：通过求也同样给分）∴................................3分
（2）证明：设，则
∵∴....5分
∴即。 所以在R上为增函数。...............6分
（3）因为为奇函数且在R上为增函数，
由得：
∴即对任意恒成立。...............7分
令问题等价于对任意恒成立。.................8分
令，其对称轴........................................................9分
当即时，，符合题意。............................................10分
当时，即时，对任意，恒成立，等价于
解得：...........................................................................................11分
综上所述，当时，不等式对任意恒成立
......................................................................................................................12分