2019-2020学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷试题（解析版）

2019-2020学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．若两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的面积之比是　　
A． B． C． D．
2．已知中，，，，那么的值　　
A． B． C． D．
3．已知，下列结论中，错误的是　　
A． B．
C． D．
4．已知、是两个非零向量，且，下列结论：①；②；③；④与同向，其中正确的有几个　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，在中，点、分别在边、上，，，那么下列各条件中，不一定能判定的是　　
A． B． C． D．
6．如图，在等腰中，，是边上的高，，则与的面积比是　　

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．如果，那么　　．
8．已知线段，，那么线段和的比例中项为　 　．
9．点是线段的黄金分割点，则　 　．
10．如果在比例尺为地图上，、两地的实际距离为280千米，那么、两地的图上距离为　　厘米．
11．在，，，则　 　．
12．已知在中，，，，那么　　．
13．如图，，，，，则　　．

14．如图，在中，点、分别在边、上，，且的周长为，那么的周长等于　　．

15．如图，在平行四边形中，，是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点，则的值为　　．

16．如图，已知，在中，，点是上一点，，，那么的值为　　．

17．如图，在中，点是两条中线、的交点，设，，如果用，表示，那么　　．

18．在中，，是边的中点，如果将绕着点旋转至△的位置，当落在边上时，，联结，则的正切值等于　　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．
20．已知：如图，两个不平行的向量和．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

21．如图，在中，点、分别在边、上，、交于点，，．
（1）如果，求的长；
（2）如果的面积为1，求的面积．

22．如图，在梯形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．

23．已知：如图，在等腰中，，是延长线上的一点，点是的中点，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．

24．如图，已知等腰中，，，与轴交于点，，．
（1）求点的坐标；
（2）求的长；
（3）探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，在矩形中，是对角线的中点，，，点是射线上的一个动点，点在射线上，且满足，过点作，交射线于点．
（1）求证：．
（2）如图1，当点在线段上时，设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）当时，求的长．



2019-2020学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．若两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的面积之比是　　
A． B． C． D．
【解答】解：相似三角形的周长之比是，
对应边之比为，
这两个三角形的面积之比是：，
故选：．
2．已知中，，，，那么的值　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：

在中，，，，
．
故选：．
3．已知，下列结论中，错误的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
，，，
所以正确，错误．
故选：．
4．已知、是两个非零向量，且，下列结论：①；②；③；④与同向，其中正确的有几个　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：、是两个非零向量，且，
；；，
与方向相反，
故①②③正确，④错误，
故选：．
5．已知，在中，点、分别在边、上，，，那么下列各条件中，不一定能判定的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
，，，
而得不出，
故选：．

6．如图，在等腰中，，是边上的高，，则与的面积比是　　

A． B． C． D．
【解答】解：作于，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故选：．

二、填空题（每题4分，共48分）
7．如果，那么　　．
【解答】解：把代入得．
故答案为．
8．已知线段，，那么线段和的比例中项为　4　．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是，则，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为4．
9．点是线段的黄金分割点，则　　．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
．
故答案为．
10．如果在比例尺为地图上，、两地的实际距离为280千米，那么、两地的图上距离为　28　厘米．
【解答】解：设、两地的实际距离是厘米，
比例尺为，、两地的实际距离为280千米，
、两地的图上距离厘米．
故答案为28．
11．在，，，则　　．
【解答】解：，，
，
则．
故答案为：．
12．已知在中，，，，那么　9　．
【解答】解：，
．
故答案是：9．
13．如图，，，，，则　　．

【解答】解：，
，
即，
解得：，
故答案为：．
14．如图，在中，点、分别在边、上，，且的周长为，那么的周长等于　12　．

【解答】解：，，
，
，
的周长为，
的周长为．
故答案为12．
15．如图，在平行四边形中，，是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点，则的值为　　．

【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，设，，
，，
，
，
故答案为．
16．如图，已知，在中，，点是上一点，，，那么的值为　　．

【解答】解：在和中
，




设，，
则


故答案为：．
17．如图，在中，点是两条中线、的交点，设，，如果用，表示，那么　　．

【解答】解：连接．

，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为．
18．在中，，是边的中点，如果将绕着点旋转至△的位置，当落在边上时，，联结，则的正切值等于　　．
【解答】解：如图，是边的中点，
，
如果将绕着点旋转至△的位置，当落在边上，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
延长交于，延长交于，
则四边形是正方形，，
，，，
，
，
设，则，
，
的正切值，
故答案为：．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．
【解答】解：原式，
，
．
20．已知：如图，两个不平行的向量和．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

【解答】解：．
如图即为所求．

21．如图，在中，点、分别在边、上，、交于点，，．
（1）如果，求的长；
（2）如果的面积为1，求的面积．

【解答】解：（1），，
，
，
，，
，，
．

（2），
，
．
22．如图，在梯形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．

【解答】解：（1）作于，如图1所示：
则四边形是矩形，
，，
，
设，则，
，
解得：，
，，；
（2）作于，如图2所示：
，，
，
的面积，
，
．


23．已知：如图，在等腰中，，是延长线上的一点，点是的中点，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．

【解答】（1）证明：点是的中点，，，
，；，

，



，
，





；
（2）证明：




又



．
24．如图，已知等腰中，，，与轴交于点，，．
（1）求点的坐标；
（2）求的长；
（3）探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，
过点作轴于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

（2）如图2，由（2）知，，
，
，
，，
，
过点作轴于，过点作轴于，
由（1）知，，
由（2）知，，
，
，
在中，，
，
；

（3）由（2）知，，，，，
由（1）知，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
①当时，
，
，
，
，
，，
②当时，
，
，
，
，
，
即：满足条件的点的坐标为，或．


25．如图，在矩形中，是对角线的中点，，，点是射线上的一个动点，点在射线上，且满足，过点作，交射线于点．
（1）求证：．
（2）如图1，当点在线段上时，设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）当时，求的长．

【解答】证明：（1）是斜边的中线，
，
，
，
，
又，，
，
，
，且，，
，
；
（2），，
，
，
设，则，
由（1）知：
，
，
，
，
，
设边上的高为，
，
，
．
（3）如图2，过点作，交于点，

，，
，
，，，，
，
，
，
设，
，
设，，
，

，
，
，
或（舍去）
，
，
，
，
．