2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二（上）第三次联考数学试卷试题及答案（word解析版）（理科）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二（上）第三次联考数学试卷试题及答案（word解析版）（理科） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-16 15:14:34 | ||
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文档简介
2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二（上）第三次联考数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知直线；，，若，则的值为
A．8 B．2 C． D．
2．对于任意实数，，，，给定下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．在中，若点满足，点为的中点，则
A． B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则
A．8 B．18 C． D．14
5．中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则
A． B． C．或 D．或
6．若，满足，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
8．已知，是两条直线，，是两个平面，则下列命题中正确的是
A．，， B．，
C．，，， D．，，
9．已知某几何体的三视图（单位：如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
10．如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
11．已知直线：与圆：交于、两点，为该圆上异于、的动点，则的面积的最大值为
A．8 B．16 C．32 D．64
12．如图，直角的斜边长为2，，且点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方，设，，记，，分别考察，的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
二、填空题
13．已知角的终边经过点，则的值为 ．
14．过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为 ．
15．已知实数，，，则的最小值是 ．
16．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．
三、解答题
17．已知为两个不共线向量，，
（Ⅰ）若，求实数；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
19．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．
（1）若，求证：；
（2）求证：平面．
20．在中，，，所对的边分别为，，且，．
（1）求边长；
（2）著的面积．求的周长．
21．已知圆经过点，，圆心在直线上，是直线上的任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，求四边形的面积的最小值．
22．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二（上）第三次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知直线；，，若，则的值为
A．8 B．2 C． D．
【解答】解：由题意得，，，
则直线的斜率是，的斜率是，
，，解得，
故选：．
2．对于任意实数，，，，给定下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：、当时，不成立；
、当时，不成立
、，，
一定有．故成立；
、当．时，不成立；
故选：．
3．在中，若点满足，点为的中点，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．设等差数列的前项和为，若，，则
A．8 B．18 C． D．14
【解答】解：因为数列为等差数列，设其公差为，前项和为，则．
所以，即，
又，所以，
所以公差，
．
故选：．
5．中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则
A． B． C．或 D．或
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得：．
，可得：，，
或．
故选：．
6．若，满足，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；
结合图象知目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，
所以的最小值为．
故选：．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
【解答】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选：．
8．已知，是两条直线，，是两个平面，则下列命题中正确的是
A．，， B．，
C．，，， D．，，
【解答】解：对于，，，或，不正确；
对于，，，，不正确；
对于，，，、位置关系不确定，不正确；
对于，，，，，，正确，
故选：．
9．已知某几何体的三视图（单位：如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
该几何体的体积．
故选：．
10．如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
【解答】解：取中点，连接，，，因为，
所以异面直线与所成角为或其补角，
在中，，，所以，
故选：．
11．已知直线：与圆：交于、两点，为该圆上异于、的动点，则的面积的最大值为
A．8 B．16 C．32 D．64
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为，
为定长，的面积最大时，到的距离最大
到的最大距离为
的面积的最大值为
故选：．
12．如图，直角的斜边长为2，，且点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方，设，，记，，分别考察，的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
【解答】解：，，，
，．
设，则，且，
，，，，
当，即时，取到最大值．
，，，
，
当，即时，取得最小值．
故选：．
二、填空题
13．已知角的终边经过点，则的值为 ．
【解答】解：已知角的终边经过点，则，，，
，，
，
故答案为：．
14．过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为 ．
【解答】解：验证知点在圆内，
当最小时，直线与垂直，
由圆的方程，圆心
，
，整理得
故应填
15．已知实数，，，则的最小值是 ．
【解答】解：根据题意，，
则，
又由，，则，
当且仅当，时等号成立，
则的最小值是；
故答案为：．
16．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．
【解答】解：由题意，画图如下：
根据题意及图，连接，，
四边性为正方形，．
又正方体中，面，面．
．
即，，
面，
．
同理可证面，即得．
，．
面．
过点作交于点，再过点作交于点．
很明显，面面．
面．
只在面上运动才能保持，
动点在正方体表面上运动，
动点的轨迹即为的三条边．
在中，，
．
动点的轨迹的周长为．
故答案为：．
三、解答题
17．已知为两个不共线向量，，
（Ⅰ）若，求实数；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角．
【解答】解：（Ⅰ），，
即，
，解得．
（Ⅱ），，
，
，
又，，
，
，
与的夹角为．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【解答】解：（1），
当时，，解得．
当时，，化为，
数列是等比数列，首项为2，公比为3．
．
（2），
．
．
19．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．
（1）若，求证：；
（2）求证：平面．
【解答】证明：（1）取的中点，连结，，
因为，所以为等腰三角形，所以．
因为，所以为等腰三角形，所以．
又，所以平面．
因为平面，所以．
解：（2）由为中点，连，则，
又平面，所以平面．
由，以及，所以，
又平面，所以平面．
又，所以平面平面，
而平面，所以平面．
20．在中，，，所对的边分别为，，且，．
（1）求边长；
（2）著的面积．求的周长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理可得：，可得：，
，可得：，可得：，
又，可得：，
可得：，
解得．分
（2）的面积，，
解得：，
由余弦定理可得：，
解得：，或（舍去），
的周长．分
21．已知圆经过点，，圆心在直线上，是直线上的任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，求四边形的面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆心坐标为，则
圆过两点，，
，圆心坐标为圆的半径为2
圆的方程为；
（2）由题意过点作圆的两条切线，切点分别为，，
可知四边形的面积是两个三角形的面积的和，因为，，
显然最小时，四边形面积最小，此时最小
是直线上的动点，
．．
四边形面积的最小值为．
22．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【解答】解法一：
（1）证明：平面，，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，2，．分
不妨令，0，，，
，
．分
（2）解：设平面的法向量为，
由，得，
令，解得：．． 分
设点坐标为，0，，，
则，要使平面，只需，
即，
得，从而满足的点即为所求．分
（3）解：平面，是平面的法向量，
由题意得，分
又平面，是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为分
，
故所求二面角的余弦值为．分
解法二：
（Ⅰ）证明：连接，则，，
又，，分
又平面，，又，
分
（Ⅱ）解：过点作交于点，则平面，
且有分
再过点作交于点，则平面且，
平面平面分
平面．从而满足的点即为所求．分
（Ⅲ）解：平面，是与平面所成的角，且．
分
取的中点，则，平面，
在平面中，过作于，连接，则平面，
则即为二面角的平面角分
，，
，且
，，
．分．
一、选择题
1．已知直线；，，若，则的值为
A．8 B．2 C． D．
2．对于任意实数，，，，给定下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．在中，若点满足，点为的中点，则
A． B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则
A．8 B．18 C． D．14
5．中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则
A． B． C．或 D．或
6．若，满足，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
8．已知，是两条直线，，是两个平面，则下列命题中正确的是
A．，， B．，
C．，，， D．，，
9．已知某几何体的三视图（单位：如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
10．如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
11．已知直线：与圆：交于、两点，为该圆上异于、的动点，则的面积的最大值为
A．8 B．16 C．32 D．64
12．如图，直角的斜边长为2，，且点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方，设，，记，，分别考察，的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
二、填空题
13．已知角的终边经过点，则的值为 ．
14．过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为 ．
15．已知实数，，，则的最小值是 ．
16．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．
三、解答题
17．已知为两个不共线向量，，
（Ⅰ）若，求实数；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
19．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．
（1）若，求证：；
（2）求证：平面．
20．在中，，，所对的边分别为，，且，．
（1）求边长；
（2）著的面积．求的周长．
21．已知圆经过点，，圆心在直线上，是直线上的任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，求四边形的面积的最小值．
22．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二（上）第三次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知直线；，，若，则的值为
A．8 B．2 C． D．
【解答】解：由题意得，，，
则直线的斜率是，的斜率是，
，，解得，
故选：．
2．对于任意实数，，，，给定下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：、当时，不成立；
、当时，不成立
、，，
一定有．故成立；
、当．时，不成立；
故选：．
3．在中，若点满足，点为的中点，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．设等差数列的前项和为，若，，则
A．8 B．18 C． D．14
【解答】解：因为数列为等差数列，设其公差为，前项和为，则．
所以，即，
又，所以，
所以公差，
．
故选：．
5．中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则
A． B． C．或 D．或
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得：．
，可得：，，
或．
故选：．
6．若，满足，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；
结合图象知目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，
所以的最小值为．
故选：．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
【解答】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选：．
8．已知，是两条直线，，是两个平面，则下列命题中正确的是
A．，， B．，
C．，，， D．，，
【解答】解：对于，，，或，不正确；
对于，，，，不正确；
对于，，，、位置关系不确定，不正确；
对于，，，，，，正确，
故选：．
9．已知某几何体的三视图（单位：如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
该几何体的体积．
故选：．
10．如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
【解答】解：取中点，连接，，，因为，
所以异面直线与所成角为或其补角，
在中，，，所以，
故选：．
11．已知直线：与圆：交于、两点，为该圆上异于、的动点，则的面积的最大值为
A．8 B．16 C．32 D．64
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为，
为定长，的面积最大时，到的距离最大
到的最大距离为
的面积的最大值为
故选：．
12．如图，直角的斜边长为2，，且点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方，设，，记，，分别考察，的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
【解答】解：，，，
，．
设，则，且，
，，，，
当，即时，取到最大值．
，，，
，
当，即时，取得最小值．
故选：．
二、填空题
13．已知角的终边经过点，则的值为 ．
【解答】解：已知角的终边经过点，则，，，
，，
，
故答案为：．
14．过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为 ．
【解答】解：验证知点在圆内，
当最小时，直线与垂直，
由圆的方程，圆心
，
，整理得
故应填
15．已知实数，，，则的最小值是 ．
【解答】解：根据题意，，
则，
又由，，则，
当且仅当，时等号成立，
则的最小值是；
故答案为：．
16．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．
【解答】解：由题意，画图如下：
根据题意及图，连接，，
四边性为正方形，．
又正方体中，面，面．
．
即，，
面，
．
同理可证面，即得．
，．
面．
过点作交于点，再过点作交于点．
很明显，面面．
面．
只在面上运动才能保持，
动点在正方体表面上运动，
动点的轨迹即为的三条边．
在中，，
．
动点的轨迹的周长为．
故答案为：．
三、解答题
17．已知为两个不共线向量，，
（Ⅰ）若，求实数；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角．
【解答】解：（Ⅰ），，
即，
，解得．
（Ⅱ），，
，
，
又，，
，
，
与的夹角为．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【解答】解：（1），
当时，，解得．
当时，，化为，
数列是等比数列，首项为2，公比为3．
．
（2），
．
．
19．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．
（1）若，求证：；
（2）求证：平面．
【解答】证明：（1）取的中点，连结，，
因为，所以为等腰三角形，所以．
因为，所以为等腰三角形，所以．
又，所以平面．
因为平面，所以．
解：（2）由为中点，连，则，
又平面，所以平面．
由，以及，所以，
又平面，所以平面．
又，所以平面平面，
而平面，所以平面．
20．在中，，，所对的边分别为，，且，．
（1）求边长；
（2）著的面积．求的周长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理可得：，可得：，
，可得：，可得：，
又，可得：，
可得：，
解得．分
（2）的面积，，
解得：，
由余弦定理可得：，
解得：，或（舍去），
的周长．分
21．已知圆经过点，，圆心在直线上，是直线上的任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，求四边形的面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆心坐标为，则
圆过两点，，
，圆心坐标为圆的半径为2
圆的方程为；
（2）由题意过点作圆的两条切线，切点分别为，，
可知四边形的面积是两个三角形的面积的和，因为，，
显然最小时，四边形面积最小，此时最小
是直线上的动点，
．．
四边形面积的最小值为．
22．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【解答】解法一：
（1）证明：平面，，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，2，．分
不妨令，0，，，
，
．分
（2）解：设平面的法向量为，
由，得，
令，解得：．． 分
设点坐标为，0，，，
则，要使平面，只需，
即，
得，从而满足的点即为所求．分
（3）解：平面，是平面的法向量，
由题意得，分
又平面，是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为分
，
故所求二面角的余弦值为．分
解法二：
（Ⅰ）证明：连接，则，，
又，，分
又平面，，又，
分
（Ⅱ）解：过点作交于点，则平面，
且有分
再过点作交于点，则平面且，
平面平面分
平面．从而满足的点即为所求．分
（Ⅲ）解：平面，是与平面所成的角，且．
分
取的中点，则，平面，
在平面中，过作于，连接，则平面，
则即为二面角的平面角分
，，
，且
，，
．分．
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