2.2 向量的线性运算培优训练题（解析版）

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向量的线性运算培优训练题
1．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由加法的三角形法则可得，，，，，故选B．

2．如图，已知＝ ，用，表示，则等于(　　)

A． － B． ＋ C．－ ＋ D．－ －
【解析】＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－ ＋ ，选C.
3．下列各式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由向量的运算法则可知：正确；正确；正确；只有、同向时成立，所以D不恒成立．故选D．
4．若，则（ ）
A．一定可以构成三角形
B．都是非零向量时可以构成一个三角形
C．一定不可以构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成三角形
【解析】，则都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形，而共线时不能构成三角形，故选D．
5．向量、均为非零向量，则下列说法不正确的是( )
A．若向量与反向，且，则向量与的方向相同
B．若向量与反向，且，则向量与的方向相同
C．若向量与同向，则向量与的方向相同
D．若向量与的方向相同或相反，则的方向必与、之一的方向相同
【解析】对于B，向量与的方向相同，故选B.
6．为四边形所在平面上一点，，
则为（ ）
A．四边形对角线交点 B．的中点
C．的中点 D．边上一点
【解析】∵，，，
∴，∴．∴点为线段的中点．故选B．
7．如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）

A． B．
C． D．
【解析】.故选C.
8．已知{与共线的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等且方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵表示与向量长度相等且共线（方向相同或相反）的向量，结合选项知B错误.
9．已知，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
解析∵，∴，，∴.
10．在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则( )

A．, B． C． D．
【解析】,即
故选：D.
11．点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【解析】：因为点是所在平面上一点，又，
所以,即,即，
则点在线段上，且,
又，,
又，即，
所以点在线段上，且,
，
故选：C.
12．在四边形中，且，则四边形的形状一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】C
【解析】因为，所以,四边形是平行四边形又，所以,四边形是菱形，故选C.
13．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
【解析】因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.


14．给出下列结论：
①两个单位向量是相等向量；
②若，，则；
③若一个向量的模为，则该向量的方向不确定；
④若，则；
⑤若与共线，与共线，则与共线.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【解析】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；
若，，则，向量相等具有传递性，②正确；
一个向量的模为，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；
若，则，还要方向相同才行，④错误；
与共线,与共线，则与共线，当为零向量时不成立，⑤错误.
15．如图，已知四边形是梯形，分别是腰的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，则（ ）

A． B． C． D．
【解析】
，则 故选D．
16．点D为内一点，且，则=( )
A． B． C． D．
【解析】

分别延长至 ，使得 ，则 ，则 ， ， ，故选D.
17．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
18．已知P?Q为中不同的两点，且0， 0，则 为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以 在与 平行的中位线上，且是该中位线的的一个三等分点，可得， 可得 是三角形 的重心，因此， ，故选A.
19．如图，在中，点在边上，且，点在边上，且，则用向量表示为（ ）

A． B．
C． D．
【解析】由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得,, ， ，

，又，
故选B.
20．已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由得是的重心；由得是的外心，故重心与外心重合，所以是等边三角形，选D.
21．（辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考）是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为
A． B． C． D．
【解析】
依题意有，化简得，所以到的距离等于到距离的三分之一，故的面积为.故选.
22．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，如图：

，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线

而
，，的面积之比等于
故选：．
23．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】

因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B

24．若向量，满足，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】，，异向共线时，取最小值为.
25．已知点是△的重心，则________.
【答案】
【解析】如图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，延长到点，使，则，，∴.

26．已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．
【答案】
【解析】

取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，
根据，有，∴为中点，同理也为中点，即与重合，∵，∴的面积为平行四边形面积的，又∵平行四边形的面为面积的，∴，故答案为．















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