(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
1
函数
你知道吗？
一次函数
反比例函数
二次函数
正比例函数
y=kx+b (k≠0)
y=kx(k≠0)
一条直线
双曲线
2
喷泉(1)
3
4
5
正方体的表面积
正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y=6x2. （1）
6
生活中的数学
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是
（2）
7
即
问题2 某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
分析： 这种产品的原产量是20 t，一年后的 产量是20(1+x) t，再经过一年后的产 量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量
（3）
8
函数（1）（2）（3）有什么共同点？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
二次项系数
自变量
一次项系数
常数项
9
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m?)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？
10
(共12张PPT)
22.1.2 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1
知识回顾:
二次函数y=ax?的图象及其特点？
1、顶点坐标？
（0，0）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）
3、图象具有以下特点：
一般地，二次函数y=ax? （ a≠0 ）的图象是一条抛物线；
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方（除顶点外）
2
例2
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象。
解：先列表：
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=2x2+1 ··· 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 ···
y=2x2-1 ··· 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 ···
3
描点绘图，得图象如图
4
（1）抛物线y=2x2+1,y+2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
（2）抛物线y=2x2+1,y+2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系
5
可以发现，抛物线y=2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；抛物线y=2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1
y=2x2+1的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点是（0，1）；抛物线y=2x2-1的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点式（0，-1）
6
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
y=ax2向上平移k个
单位即可得到y=ax2
+k
7
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上
5
下
11
下
4
上
7
上
9
y=4x2+3
y=-5x2-4
小试牛刀
8
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点吗?它与抛物线 有什么关系
练习
9
开口方向 顶点 对称轴
向上 （0,0） y轴
向上 （0,2） y轴
向上 （0，-2） y轴
向上 （0，k） y轴
10
练习
开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
y轴
y轴
(0 , k)
(0 , k)
11
谢谢
12
(共15张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
2
回顾
反比例函数的图象
一次函数的图象
二次函数的图象是什么样子的？
一条直线
双曲线
3
画二次函数 的图象。
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：
…
…
y
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
x
9
9
4
4
1
1
0
描点法
探索
4
（2）在平面直角坐标系中描点：
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
y = x2
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.
5
观察 这个函数的图象，它有什么特点?
6
特点
（1）抛物线 y=x2 的开口向上
（2）抛物线 y=x2 的图象是抛物线（0,0）是图象的顶点，也是最低点
（3）抛物线 y=x2 的对称轴是y轴，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
7
例2.画出函数y=2x2、 的图象：
1.列表：
2.描点：
3.连线：
只是开口
大小不同
a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同
顶点都是原点(0,0)
0
0
2
8
8
2
2
2
…
…
…
…
y= X2
8
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
向上
y轴
（0,0）
减小
增大
向下
y轴
（0,0）
增大
减小
9
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
x
y
o
A
10
练习
2、已知函数
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律
1、已知y=（k+2）x 是二次函数，
且当x>0时，y随X增大而增大，则k= ；
k2+k-4
2
11
12
回顾练习及提高
1、二次函数 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，
图像在 轴的 （顶点除外），开口方向向 ，当
时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着
的增大而增大。
2、抛物线 ，当 时， 随着 的增大而
减小，当 时，函数 有最 值，此时 ＝ 。
y轴
>0
（0,0）
向上
<0
上方
>0
=0
大
0
13
3、根据二次函数 的图像的性质，回答下列问题：
（1）如果点P 在抛物线 上，那么点Q 也在
这条抛物线上吗？为什么？
（2）当 时，设自变量 ， 的对应值分别为 ， ，
当 时，必有 吗？为什么？
在，因为此二次函数是关于y轴对称的
存在这样的关系，因为当a<0时，在y轴右方随着x的增大而减小
14
开 口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
越小,开口越大.
越大,开口越小.
归纳小结
15
(共10张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1
探究
在同一坐标系中作出二次函数 :y = - (x+1)2 ;y = - (x-1)2
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
y = - (x+1)2 ··· -4.5 -2 -0.5 0 0.5 -2 -4.5 ···
y = - (x-1)2 ··· -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 ···
请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?
2
请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?
在同一坐标系中作出二次函数y=?x? ;y = ?(x+2)2 ;y = ?(x-2)2
4.5
-5
2
-4
4.5
2
0.5
0
0.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
3
描点画图，得图象
4
可以看出，抛物线y=-1/2(x+1)2的开口向下，对称轴是经过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，把它记作x=-1,顶点式（-1,0）；抛物线y=-1/2(x-1)2的开口向下，对称轴是x=1，顶点式（1,0）
5
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=3
向下
向下
( 1 , 0 )
( 3, 0)
填空：
1、由抛物线y=2x?向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2
2、函数y= -5(x -4)2 的图象可以由抛物线
向 平移 4 个单位而得到的。
右
y= -5x 2
左
1
6
请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。
直线x=-m
(-m,0)
的图象
向上
小
大
向下
7
填空：
1、由抛物线y=2x?向 平移 个单位,
再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3。
2、函数y= 3(x - 2)2 + ?的图象。
可以由抛物线 ___ 向 __ 平移 __ 个单位，
再向 平移 个单位而得到的。
向下
3
向左
1
向上
0.5
向右
2
y= 3x 2
8
指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
课堂练习
9
10
(共16张PPT)
22.1.4 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
当x<0时，y随x的增大而减小
当x>0时，y随x的增大而增大
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
当x<0时，y随x的增大而增大
当x>0时，y随x的增大而减小
2
例题
例3.画出函数 的图像.指出它的开口
方向、顶点与对称轴、
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
解: 先列表
画图
再描点画图.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
3
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
讨论
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
4
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线
有什么关系?
5
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
6
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
7
练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(1,－2)
向下
向下
(3,7)
(2,－6)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,5)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
8
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
向上平移7个单位，向右平移3个单位
不能，平移不改变开口方向
9
练习
y= ?2（x+3）2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2+3
y= ?2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
10
函数 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性
y= 2（x-3）2+3 向上 x=3 (3,3) 3 x<3，递减；x>3，递增
y= ?2（x+3）2-2 向下 x=-3 (-3,-2) -2 x>-3，递减；x<-3，递增
y= ?2（x-2）2-1 向下 x=2 (2,-1) -1 x>-2，递减；x<-2，递增
y= 3（x+1）2+1 向上 x=-1 (-1,1) 1 x<-1，递减；x>-1，递增
11
例题
C(3,0)
B(1，3)
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
12
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
则a= 。
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是 。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
13
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
14
及时小结
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xy随着x的增大而减小。
当x>h时，
y随着x的增大而增大。
当xy随着x的增大而增大。
当x>h时，
y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
15
练习
开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
x=h
x=h
(h , k)
(h , k)
16
(共18张PPT)
22.1.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xy随着x的增大而减小。
当x>h时，
y随着x的增大而增大。
当xy随着x的增大而增大。
当x>h时，
y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
2
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 图象和性质
分析：这种函数形式并不是我们所熟悉的二次函数，所以考虑将其变形
配方可得：
3
根据前面的只是，我们知道：其变形过程如下所示
向右平移6个单位 长度
向上平移3个单位长度
还有什么方
法平移呢
4
如果我们直接画二次函数 的图象，可按如下步骤进行.
利用图形对称性列表：
x ······ 3 4 5 6 7 8 9 ·····
······ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ·····
描点画图：
由图象可知：
（1）在对称轴左侧，抛物线从左到右下降
（2）在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
5
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗？
6
一般的，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，其对称轴是：
顶点是：
7
从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以看出：
（1）：
如果a>0，当 时，y随x的增大而减小，当
时，y随x的增大而增大.
如果a>0，当
8
（2）：
如果a<0，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
9
分析
你知道吗?
用配方法
10
试一试
11
试一试
∴开口方向：由a决定;
要记住公式哦！
12
试一试
13
我来模仿
试一试
14
我来模仿
试一试
15
小试牛刀
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是 。
(0,3)
(1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交点有什么特征？
抛物线与x轴的交点有什么特征？
16
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
17
18
(共14张PPT)
22.1.4 二次函数y=ax?+bx+c的
图象和性质
用待定系数法求二次函数的解析式
1
温故而知新
我们知道，在学习一次函数的过程中，已知同一直线上的不同两点的坐标，我们可以求出这条直线的解析式.
例如：已知直线y=ax+b经过点A（1.1），点 B（-1，-1），那么这条直线的解析式为：y=x.
探究下面问题
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
2
分析
（1）确定一次函数.用待定系数法，求出k,b的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我们可以写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，求出a,b,c的值.由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a,b,c的三元一次方程组就可以求出a,b,c的值.
（2）设所求二次函数为y=ax2+bx+c由已知，函数图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程组
3
解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
所求二次函数是y=2x2-3x+5
4
用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：
一设、二代、三解、四还原
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的
解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
方 法 小 结
5
解：
根据题意得顶点为(－1,4)
由条件得与x轴交点坐标
(2,0)；(-4,0）
已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，
且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式
y
o
x
设二次函数解析式：y＝a(x＋1)2+4
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝—
故所求的抛物线解析式为 y= — (x＋1)2＋4
动 手 做 一 做
6
回 顾 与 反 思
已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
通常选择交点式
y
x
o
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，
7
已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12）
试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时
经过 这四个点？如果存在，请求出关系式；
如果不存在，请说明理由.
我思考，我进步
8
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
做 一 做
9
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，且BC＝ ，求二次函数关系式？
10
解：
根据题意得顶点为(－1,4)
由条件得与x轴交点坐标
(2,0)；(-4,0）
已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，
且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式
y
o
x
设二次函数解析式：y＝a(x＋1)2+4
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)2＋4
动 手 做 一 做
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回 顾 与 反 思
已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
通常选择交点式
y
x
o
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，
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已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12）
试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时
经过 这四个点？如果存在，请求出关系式；
如果不存在，请说明理由.
我思考，我进步
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1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数的解析式.
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1，-1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析式.
14
(共9张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
22.3.1 图形面积最值问题
1
1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
2
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，y的最 值是 .
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最___ 值，是 .
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 .
x=3
（3，5）
3
小
5
x=-4
（-4，-1）
-4
大
-1
x=2
（2,1）
2
大
1
3
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 m，场地的面积: (0S=l(30-l)
即S=-l2+30l
请同学们画出此函数的图象
4
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)
O
5
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
解决这类题目的一般步骤
6
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 。
7
1．将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则
这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
8
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
9
(共13张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
22.3.2 销售利润最值问题
1
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
直线x=3
(3 ，5)
3
小
5
直线x=-4
(-4 ，-1)
-4
大
-1
直线x=2
(2 ，1)
2
小
1
基础扫描
2
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
3
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
6000
（20+x）
（300-10x）
(20+x)( 300-10x)
(20+x)( 300-10x) =6090
自主探究
分析：没调价之前商场一周的利润为 元；
设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润
可表示为 元，每周的销售量可表示为
件，一周的利润可表示为
元，要想获得6090元利润可列方程 。
4
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
合作交流
5
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
6
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
7
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
(0≤x≤30)
怎样确定x的取值范围
8
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
怎样确定x的取值范围
9
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
解决这类题目的一般步骤
10
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
我来当老板
11
2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）
12
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,
y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
（2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
13
(共13张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
22.3.3 生活中抛物线问题
1
解一
解二
解三
探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
继续
2
解一
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
返回
3
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
4
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
此时,抛物线的顶点为(0,2)
返回
5
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
6
解三
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
此时,抛物线的顶点为(2,2)
∴这时水面的宽度为:
返回
7
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
8
一般步骤:
(1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的坐标,
(2).合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知条件或点的坐标,求出关系式,
(3).利用关系式求解实际问题.
总结
9
1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
练习
10
11
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?
(选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
12
x
y
13
